高中数学空间线面位置关系的内容与证明
高中数学空间线面位置关系的内容与证明 一、空间点、线、平面之间的位置关系 此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间 线线、线面、面面位置关系的判定与性质，以考查学生的分 析、解决问题的能力，难度适中. 【例1】如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF 与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=■AD，BE=■ AF，G、H分别为FA、FD的中点. （1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？ [解题思路]要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明 GH∥BC或GB∥HC即可；
要证明C，D，E，F共面，可通过证明 四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即 可. （1）证明：由题意知，FG=GA，FH=HD，所以GH=■AD.又BC=■AD，故GH=BC.所以四边形BCHG是平行四边形. （2）解：C、D、F、E四点共面.理由如下：
由BE=■AF，G是FA的中点知，BE=GF，所以EF=BG. 由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.又点D 在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面. 【方法指导】解决空间线面位置关系的组合判断题常有 以下方法：
（1）借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、 线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决 问题；
（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模 型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定 某些选项，并作出选择. 二、线线、线面位置关系此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与 垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添 加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面 的平行与垂直的相互转化能力. 【例2】如图所示，正三棱柱A■B■C■ABC中，点D是BC 的中点，BC=■BB■，设B■D∩BC■=F.求证：（1）A■C∥ 平面AB■D；
（2）BC■⊥平面AB■D. [解题思路]本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行 及垂直关系，第（1）问可利用“线线平行”或“面面平行”， 第（2）问可利用“线线垂直”证“线面垂直”. 证明（1）连接A■B，设A■B与AB■交于E，连接DE. ∵点D是BC中点，点E是A■B中点， ∴DE∥A■C，∵A■C？埭平面AB■D， DE？奂平面AB■D， ∴A■C∥平面AB■D.（2）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B■BCC■， 平面ABC∩平面B■BCC■=BC，AD？奂平面ABC， ∴AD⊥平面B■BCC■， ∵BC■？奂平面B■BCC■，∴AD⊥BC■. ∵点D是BC的中点，BC=■BB■，∴BD=■BB■. ∵■=■=■，∴Rt△B■BD∽Rt△BCC■. ∴∠BDB■=∠BC■C. ∴∠FBD+∠BDF=∠C■BC+∠BC■C=90°. ∴BC■⊥B■D.因为B■D∩AD=D， ∴BC■⊥平面AB■D. 【方法指导】将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构 造平面是比较常用的方法.当然，记住公式、定理、概念等 基础知识是解决问题的前提. 三、面面位置关系 此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关 系，涉及的知识点多，综合性强，通常用于考查面面位置关 系的判定及性质，以及学生的推理论证能力. 【方法指导】解决空间两个平面位置关系的思维方法是 “以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线 问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系. 参考文献：
[1]柯厚宝，柯延伟.空间直线、平面位置关系的判断及 证明[J].试题与研究，2009. [2]欧阳亮.空间点、线、面位置关系
学习引导[J].中学 生数理化（高一版），2011.
