测评指标体系【小学低段数学符号意识测评指标体系的初步构建】

小学低段数学符号意识测评指标体系的初步构建

小学低段数学符号意识的第一步是符号的抽象，而抽象是数 学核心素养的重要组成部分，也是公民的基本素养之一。可 以说，符号意识是小学生数学抽象思维的第一步，也是人的 抽象能力形成的基础，而长期以来却被人们所忽视。因此， 我们通过以小见大、从微观到宏观的研究，从小学低段数学 符号意识测评指标体系的构建去反映小学生抽象思维和数 学核心素养中的抽象能力的形成过程。本文是在小学低段数 学符号意识内涵再认识基础上，尝试构建小学低段数学符号 意识的可操作定义，并通过实证研究首次构建出小学低段数 学符号意识的测评指标体系，这为小学生的数学符号意识、 数学抽象思维，甚至为人的抽象思维的培养提供了理论支撑。

一、小学低段数学符号意识内涵的再认识 目前，已有学者从不同的角度对数学符号意识的内涵做 了界定，但在认识上还不一致。如有学者从学生应具有什么 样的数学符号意识列举了数学符号意识的八种行为表现：正确把握数学符号的功能、正确解读数学符号和应用数学符号、 对数学符号表达式进行技术处理、从等价的数学符号表达式 解读出不同的涵义、正确选择数学符号来表达语言或图像中 的数学信息、灵活地操纵数学符号、正确反思数学符号的涵 义以及理解不同数学情境中数学符号的涵义.[2]也有学者 从数学符号意识的不同取向得出数学符号意识的内涵主要 由数学符号感知、数学符号运算、数学符号推理和数学符号 表征所构成。对于小学低段而言，我们通过研究《标准》和 小学数学教材，结合教学实践调查，已经探析出小学低段的 数学符号意识主要是指学生对表示数学概念、数学关系等数 学符号的感知、认识、理解、运用等方面所做的一种反应， 这些反应主要表现在学生对数学符号的认识、读写、理解、 掌握和运用等方面的能力。

鉴于本研究目的和已有研究分析，我们对小学低段数学 符号意识的内涵做了进一步探析，尝试构建出小学低段数学 符号意识行为描述的可操作性定义，即：一是从具体情境中 抽象出数、数量关系和空间形式的属性，并用抽象的统一记 号去表示属性；
二是识别不同类型的数学符号，并能规范读 写；
三是知道符号所代表的含义；
四是根据符号间的区别和 联系，按照数学的规则对符号进行操作；
五是运用符号表示 数、数量关系和变化规律；
六是通过对数学符号的运算和推 理去解决具体情境中的简单问题。

二、小学低段数学符号意识的实证研究开展实证研究的目的是通过从不同角度对不同对象进 行调查，从而探索小学低段数学符号意识的内涵指标，为构 建小学低段数学符号意识的测评指标体系提供依据和参考。

我们的实证研究主要包含三个阶段：一是通过专家咨询初步 确定小学低段数学符号意识的内涵指标；
二是通过探索性因 素分析提取出小学低段数学符号意识的主要内涵指标；
三是 通过验证性因素分析验证小学低段数学符号意识内涵指标 的合理性。

（一）专家咨询 通过对高校数学教育专家和小学数学优秀教研员进行 深度访谈，寻求他们对小学低段数学符号意识的认识和理解。

根据研究目的和需要，近两年来，我们先后对香港大学、北 京师范大学、中央民族大学、西南大学、重庆师范大学、贵 州师范大学等多所高校的数学教育专家，以及上海、重庆、 贵阳等地的部分小学数学教研员和一线教师进行多次访谈。

主要涉及问题有：数学符号意识的内涵，小学低段数学符号 意识的表现形式，测评小学低段学生数学符号意识的主要指 标。专家咨询结果表明，小学低段数学符号意识的内涵主要 包括：(1)强调学生在现实情境中体会数学符号的意义和作 用；
(2)认识数学符号（识别单个数学符号并知道它们的含 义、知道单个数学符号的读法和写法、根据同类数学符号的 含义作简单运算）；
(3)理解数学符号（规范读写数学符号 并区分它们的含义，知道不同类型数学符号之间的联系和区别，能根据数学符号间的联系和区别做简单运算）；
(4)运 用数学符号（运用数学符号表示数、数量关系和变化规律， 在具体情景中使用数学符号进行运算和推理，能在具体情景 中借助数学符号工具解决简单实际问题）。

此外，有部分高校数学教育专家还提出如下建议和意 见：(1)肯定我们对小学低段数学符号意识内涵的再认识；

(2)强调数学符号的抽象过程对发展小学低段学生的符号意 识十分重要，但建议此阶段学生只是初步感知和体会符号抽 象的过程，可适当降低要求；
(3)建议根据《标准》对数学 符号意识的要求，适当加强学生对数学符号的理解和运用；

综上，我们根据小学低段数学符号意识内涵的再认识和 专家咨询结果，初步确定出小学低段数学符号意识的内涵维 度是由数学符号的抽象、数学符号的识记、数学符号的理解、 数学符号的掌握、数学符号的运用五个方面构成，每个内涵 维度下表现出不同的行为因素。

（二）探索性因素分析 在第一阶段专家咨询结果基础上，我们初步构想出小学 低段数学符号意识5个内涵维度的测评指标，这一阶段实证 研究目的是试图通过探索性因素分析提取出主要的内涵指 标。为此，我们组织了重庆、贵州两地的数学教育专家、一 线教师和教研员共同编制了小学低段数学符号意识的学生 测试题，试题编制的基本构想是将小学低段数学符号意识的 测评划分为5个内涵维度（数学符号的抽象、数学符号的识记、数学符号的理解、数学符号的掌握、数学符号的运用）， 每个维度下预设相应的行为因素。通过在贵阳市东山小学进 行预测，形成比较正式的测试题。该测试题共包含11个测试 题(Tl、T2、……、Tll，各题项具体反映的测试维度见表1)， 整套测试题的cronbach´s alpha系数为0.684。正式 施测是在贵阳市南明小学、贵阳市师范学校附小、贵阳市东 山小学，共回收300份有效测试卷。

虽然题目反映的内涵维度基本独立，但反映到每个内涵 维度下预设的行为因素有部分交叉。因此，为较科学合理地 探索出因素的主要成份，我们对11个测试题的得分作为原始 数据进行探索性因素分析。通过对11个题项的K()M与 Bartlett进行检验，得到其KMO值为0.707，表示各题目间有 共同因素存在，可以对数据进行因素分析。用主成份分析法 提取特征值大于1的因子。（见表2） 根据表2的结果，对照原假设题目所反映的测试项目， 并综合考虑各因素的共同性和在各抽取因子上的负荷量差 异，得到以下结果：(1)从11个反映小学低段数学符号意识 内涵的测试项中提取出3个主要成份，即把预设的5个内涵维 度降维成3个内涵维度；
(2)数学符号的抽象和识记两个内涵 维度被相对独立地提取出来；
(3)提取含T8项的主成份与理 论不相符，因此考虑删去T8项（结果见表3）；
(4)数学符号 的理解、掌握和运用被提取到了一起，我们认为一方面是测 试项中数学符号的理解、掌握和运用三者的区分度不高，另一方面是三者的测试项都落脚到对所学数学符号及其概念 的运用上，因此我们把提取的这一成份重新组合记为数学符 号的应用。

综上，我们从原构想的5个内涵维度指标中提取并重新 组合得到了3个主要内涵维度指标，即数掌符号的抽象（主 要包括2个行为因素）、数学符号的识记（主要包括2个行为 因素）、数学符号的应用（主要包括3个行为因素）。

（三）验证性因素分析 经探索性因素分析，我们得到小学低段数学符号意识主 要包含了3个一级内涵维度指标和7个二级行为因素。为验证 此结果是否与实际数据适配，探索3个内涵维度与小学低段 数学符号意识的关系，我们通过对原测试题的删减和修正， 重新编制了小学低段数学符号意识的学生测试题。该测试题 的设计与编制是上一阶段测试题的基础上完成的，尽量避免 了题目和测试指标之间的交叉性，使每个题目尽可能对应1 个行为因素。同样正式施测的测试题是在贵阳市南明小学进 行预测后形成的。该测试题共包含5个大题(Tl、T2、……、 Tll)，其cron-bach´s alpha系数为0.782。每个题目 对应的具体测量指标是：Tl设置2个小问，主要对应数学符 号抽象的2个行为因素；
T2设置2个小问，主要对应学生对数 字符号、关系符号和运算符号识记的2个行为因素；
T3、T4、 T5分别对应数学符号应用的3个行为因素。虽然数学符号的 抽象和识记都只包含2个行为因素，但有研究表明：当样本量等于400时，其收敛率为82. 4%，当样本量等于1000时， 其收敛率为93. 0%。因此，为保证因素分析结果的有效性， 我们选择了贵阳市级优质小学、市级中等小学、区级中心小 学、乡镇农村小学为样本进行正式施测，具体包括贵阳市的 南明小学、贵阳市东山小学、贵阳市乌当区新九学校、贵阳 市乌当区三江小学，共回收有效测试卷1 000份，保证数据 的收敛率高于93%。

首先考虑一阶验证性因素分析，使用AMOS21.O得到其标 准化的估计模型图（见图1）所示，经过修正后得到的模型 各项适配主要适配指标(见表4)。由图1和表4的数据结果可 知，小学低段数学符号意识的一阶测评结构模型的基本适配 指标均达到检验标准，表示一阶验证性因素分析模型与实际 观察数据的适配情况良好。初步说明我们通过探索性因素分 析得到的3个一级内涵维度和7个二级行为因素的是比较合 理的。

三、小学低段数学意识测评指标体系的初步构建 目前已有学者构建了学生数学符号意识的PORE评价框 架，但我们认为此评价框架的普适性和可操作性还有待进一 步在教学实践中加以验证。因此我们根据对小学低段数学符 号意识内涵的再认识和实证研究，尝试构建出适合小学低段 数学符号意识的测评指标体系。

（一）指标要素构成 根据指标设计的目的性、综合性和可操作性原则，在思辨和实证研究结果的基础上，本文拟从数学符号的抽象、数 学符号的理解和数学符号的应用三个方面着手，初步构建出 由3个一级指标和7个二级指标构成的小学低段数学意识测 评指标，一级指标表示小学低段数学符号意识的内涵维度， 二级指标表示各内涵维度的行为表现（详见表5）。下面以 新人教版教材①的素材为例描述各指标的具体内容。

数学符号的抽象指标。数学的抽象首先是保留量的关系 和空间形式而舍弃了其他的一切‘7]，是一种脱离了具体物 体集合的性质。小学低段数学符号的抽象是表示从具体情境 中抽取出相对独立的数、数量关系和空间形式的属性，并用 统一的符号去表示属性。具体表现在：一是从具体情境中概 括出相对独立的数、数量关系和空间形式的属性（如通过“农 家小院”的情境图，说出1个老奶奶、1只小狗、1座房子、1 串玉米和2个食盘、2个筐、2只鹅等数量信息）；
二是抽取 出共同的本质属性（如对1个老奶奶、1只小狗、1座房子、1 串玉米的认识抽取出共同的、本质的数量属性“1”）；
三 是对抽取出来的数、数量关系和空间形式的属性给予特定符 号进行表示（如抽象出共同的数量属性“1”用阿拉伯数字 “1”来表示）。

数学符号的识记指标。这里所指的识记是识别不同类型 的数学符号，并在理解符号所代表含义的基础上记忆符号， 因此它比布鲁姆认知领域教育目标分类的中识记的要求要 略高些。具体表现在：一是能识别不同类型的数学符号（如识别符号“1、2、3，+、一、×、÷，△、口，……”）， 知道它们的记号、写法和读法。二是知道数学符号所代表的 含义（如对数字符号“3”，知道它可以表示3只小鸭的数量 或第3只小鸭的位置或顺序）。

数学符号的应用指标。这里指的应用是对所学的概念、 法则、原理的运用，能正确地把抽象概念运用于适当的情况。

小学低段数学符号的应用是表示对数学符号进行的初步简 单应用，具体表现在：一是按照数学的规则对纯粹的数学符 号进行操作（如在口里填上适当的数学符号：9口4=5、12口 21、6+口>9）；
二是运用符号表示数、数量关系和变化规律 （如用数表示表示物体的个数，用符号表示数的大小关系、 运算关系等）；
三是通过符号的运算和推理解决具体情境中 简单问题。

（二）指标权数设定 权数是指标体系结构中不可忽略的部分，它反映了某一 个体在整体中的相对地位。首先我们通过因素分析中因子得 分，以三个因子的方差贡献率占总方差贡献率的比重作为权 数进行加权计算，结果得出三个因子的权数分别是28. 07% （数学符号的抽象）、32. 75%（数学符号的识记）、39. 18% （数学符号的应用）。其次根据因素分析中三个主成份的系 数矩阵和旋转后的三个特征值计算得出各二级指标的权数。

最后我们对一级指标的权数值四舍五入后取整十数，对二级 指标的权数值四舍五入后取整数，最终得到小学低段数学符号意识各测评指标的权数（详见表5）。

四、小学低段数学符号意识测评指标体系的初步验证 检验上述测评指标体系的主要方式和目的，是通过调查 不同群体对小学低段数学符号意识测评指标的认同度来初 步验证各项指标的合理性、可行性和可操作性以及指标的权 数判断。为此，我们自编了小学低段数学符号意识测评指标 认同度的调查问卷，该问卷采用五级量表记分方式，选项包 括“比较同意”“同意”“不确定”“不同意”“比较不同 意”。借助贵阳市小学数学教研活动平台对一线教师进行预 测后形成比较正式的问卷，且问卷的cronbach´s al-pha系数为0.807。问卷正式实施主要依托2016年5月在重 庆举行的“第二届全国小学数学文化优质课大赛暨课堂教学 观摩研讨会”现场开展较大规模调查，调查群体来自全国17 个省市的一线教师代表群、参赛教师群，以及来自高校教学 名师、省市教科院所、一线教研员组成的评委群。此外我们 还调查了数学教育方向博士、硕士群和数学与应用数学、统 计学专业本科生群。同时还借助重庆、海南、山东、浙江、 辽宁、贵阳等多个省市的小学数学教研员，在他们的帮助下 完成部分小学优秀数学教师及教研员的二次调查。总计不同 群体的调查，我们共发放问卷1 400份，回收1 138份，回收 率81.3%。最后我们统计得出每一类调查群体对小学低段数 学符号意识测评指标的整体认同度（取整数）。（见表6） 我们综合上述不同群体对小学低段数学符号意识测评指标的整体认同度得到比较同意占31%、同意占62%、不同意 和比较不同意为0%（即同意以上的认同度高达93%），说明 不同群体对小学低段数学符号意识测评指标的整体认同度 很高。此外，我们通过对上述群体中部分专家、一线教师和 教研员进行访谈，调查得出他们对三个一级内涵维度指标权 重比为3:3:4，即数学符号的抽象(30%)、数学符号的识记 (3026)、数学符号的应用(40%)，这也初步说明了我们在实 证调查中的结果与专家们的经验判断基本吻合。由此可以初 步判断我们构建的小学低段数学符号意识测评指标体系是 基本合理的、可行和可操作的。

五、结论与思考 本文主要是在小学低段数学符号意识内涵再认识的基 础上，尝试构建出小学低段数学符号意识的可操作性定义， 结合实证研究初步构建出小学低段数学符号意识的测评指 标体系。

1．小学低段数学符号意识的一级内涵测评指标由数学 符号的抽象、数学符号的识记和数学符号的应用三个维度构 成，其三者的权重比约为3:3:4。

2．小学低段数学符号意识的内涵维度指标主要包括7个 二级行为指标，每个一级内涵指标对二级行为指标的直接效 果值都大于0.5，表明该指标体系中二级行为指标对一级内 涵指标的解释度较好，即我们构建的这两级指标之间的吻合 程度较好。3．通过对小学低段数学符号意识测评指标认同度的较 大规模调查，初步验证我们构建的测评指标体系是合理的、 可行和可操作的。

但从实证研究的数据来看，我们初步构建的小学低段数 学符号意识测评指标体系还有一些地方有待进一步思考和 完善。具体包括：
1．数学符号的抽象和数学符号的识记两个内涵维度指 标的二级行为指标可以完善为3个指标，这样可保证测评结 构模型中数据的收敛率。

2．小学低段数学符号意识测试题的编制还有待进一步 改进和完善，一方面使其内部一致性更高，另一方面使其每 个题目测试的指标更独立和明确。

3．构建小学低段数学符号意识的测评指标体系目的是 为培养和发展学生的数学符号意识提供理论支撑。因此，无 论是数学符号意识指标体系的构建，还是学生数学符号的学 习都还需要注意淡化形式、注重实质。

总之，本文尝试构建的小学低段数学符号意识测评指标 体系，实际是为小学生数学符号意识的培养和发展，为小学 生数学抽象思维、数学核心素养（数学抽象）的发展，甚至 是为人的抽象思维的发展提供了重要参考。