材料力学类比教学方法|材料力学

材料力学类比教学方法

关键词材料力学；
弹性力学；
分析思路；
类比思维 1引言 材料力学[1-2]是固体力学的一个分支，与弹性力学[3] 相比，研究的构件局限在杆件这一相对简单的形式上，包括 在载荷或温度变化作用下杆件的强度、刚度和稳定性问题。

材料力学是一门重要的技术基础课，包括机械、土木、水利 和交通等专业的学生都要求必须修读。虽然大部分学生在中 小学就学习了牛顿力学的基本常识，但是一般直到开始学习 材料力学，才开始接触力学中最重要的一些概念，比如应力 和应变等。由于材料力学本身内容繁杂，概念抽象，对数学 工具的应用要求较高，再加上力学课程的课时安排在很多高 校中并不充裕，在实际的教学实践中发现相当多的学生对这 门课的掌握并不理想。笔者经过多年的教学实践发现，学生 如果在材料力学的学习中对各部分内容孤立地学习，那么学 习效率将会变得极其低下，往往会陷入大量抽象的知识点中， 无法系统理解这门学科。实际上在整个力学体系中，材料力 学相对而言是比较简单的。这一简单性主要体现在材料力学结构比较清晰，如果采用类比思维，将前后内容对照，会发 现很多问题的概念、分析思路和公式等都是相似的。从这一 角度出发，可以让学生从一个更高的视角俯视材料力学课程。

这就如一个人陷在迷宫中会无法自拔，迷失方向；
如果能看 到迷宫的全局，那么就会豁然开朗。这就是让学生把书越读 越薄的方法。本文从材料力学分析思路和概念、问题类型以 及公式等角度，详细类比说明材料力学分析的框架结构。

2分析思路和概念的类比 材料力学引进了许多新的力学概念，如外力、内力、应 力、变形和应变[1-2]。不同于弹性力学，材料力学处理的 构件局限在杆件这种一维结构。如同生物体，给予刺激就会 有反应。外力相当于对杆件的刺激，其他的物理量则代表相 应的反应，它们的关系如图1所示。在材料力学中，外力包 括主动载荷和约束力，往往是首先需要分析的。不同的外力 对应不同的基本变形，例如：作用线与轴线重合的力引起轴 向拉压变形；
作用面与杆件横截面重合的力偶引起扭转。外 力的分析需要掌握理论力学静力学的相关内容，并且将分析 结果分解成各个基本变形对应的外力。外力分析完后，根据 基本变形类型，都有相应的内力、应力、变形和应变。如图 1所示，第一个需要分析的就是内力。轴向拉压、扭转和弯 曲的内力分别是轴力、扭矩和弯矩加剪力。这里弯曲稍有特 殊，它往往有两个内力。内力都有约定的正方向，建议用截 面法分析的时候，受力图中的内力一律往正方向画。这样做的好处显而易见：如果假设内力方向正确，内力符号就是正 的；
如果假设内力方向有误，正好内力符号是负的，这就避 免了纠缠于内力正负号问题，让截面法平衡方程自然得出结 果。各个内力都有相应的内力图，集中载荷、分布载荷对应 的内力图特征都是相似的，比如轴向外力、集中扭转外力偶、 集中弯曲力偶和横向力分别会使轴力图、扭矩图、弯矩图和 剪力图不连续，突变大小等于相应集中外载荷。图1显示内 力的获得是对各种基本变形进一步分析的基础。如果是强度 分析，则需要计算应力。不同于弹性力学基于几个基本假设 利用严密的逻辑推导计算公式，材料力学往往借助于简化分 析。在轴向拉压、扭转和弯曲中最重要的一个假设就是平截 面假设。这一假设顾名思义，表示横截面在杆件变形过程中 始终保持为平面。不同的是：在轴线拉压中横截面保持平面， 只是距离发生变化，横截面上各处沿轴向的变形均匀分布；

在扭转中横截面保持为平面且绕轴线发生相对转动，变形大 小与到圆心的距离成正比；
在纯弯曲中横截面保持为平面且 绕中性轴发生相对转动，两横截面之间的纵向纤维的长度变 化沿梁的高度线性变化。基于平截面假设获得的变形分布规 律，进而借助于材料均匀性假设，由物理关系可以知道应力 的分布规律，最终由静力平衡关系得到应力计算公式。上述 各个基本变形的应力推导思路是相似的，最终得到的应力计 算公式也具有惊人的相似性，都可以表示为：应力=（横截 面上内力/横截面几何参数）×应力分布参数。公式中各个基本变形所用的量见表1。横截面内力在轴向拉压、扭转和 弯曲中分别是轴力、扭矩和弯矩；
横截面几何参数则分别是 横截面面积、极惯性矩和轴惯性矩；
应力分布参数分别是 “1”、到圆心的距离和到中性轴的距离，分别代表应力的 均匀分布、与到圆心的距离成正比和沿梁的高度线性变化。

如果是刚度分析，那么图1所示可以根据内力计算变形。这 里以等内力等截面为例，变形=横截面内力×杆件长度/（材 料参数×横截面几何性质）。如表1所示，对于轴向拉压， 变形是杆的长度变化，内力是轴力，材料参数是弹性模量， 横截面几何性质则仍然是横截面面积。对于扭转，这些参数 则分别是相对扭转角、扭矩、切变模量和横截面极惯性矩。

弯曲变形相对复杂，变形的度量用挠度和转角表示，载荷种 类多，可以是弯曲力偶、横向集中力和分布载荷。不过，如 果考虑等截面梁两端加弯曲力偶的纯弯曲，转角=弯矩×杆 件长度/（弹性模量×相对于中性轴的惯性矩）。

3问题类型的类比 材料力学主要解决三类问题：强度问题、刚度问题和稳 定性问题[1-2]。强度是指杆件在外载荷作用下抵抗断裂和 过量塑性变形的能力。刚度是指杆件在外载荷作用下抵抗弹 性变形的能力。稳定性在材料力学中范围比弹性力学中的窄 了很多，特指杆件在轴向压力作用下保持其原有平衡状态的 能力。这三类问题反映了固体构件在外载荷作用下力学性能 的三个不同的侧面。这三类问题的计算公式大部分情况下可以统一表示为：横截面内力/包含横截面几何性质的参数≤ 许可量。根据这一表达式，每一类问题进一步可以细分为校 核、截面设计、许可载荷问题。校核问题就是验证这一不等 式是否成立，如果成立则表示相关问题类型安全，否则判定 为不安全。这类问题的计算关键往往是确定危险截面的内力。

截面设计问题则是根据这一不等式确定包含横截面几何性 质的参数的最小值，进而给出截面尺寸的设计意见。许可载 荷问题是利用该不等式算出横截面内力的最大值，进而根据 内力与外力的关系给出构件外载荷值的安全范围。公式中的 横截面内力、包含横截面几何性质的参数和许可量，在轴向 拉压的强度问题中分别是轴力、横截面面积和许可正应力；

在扭转的强度问题中则分别是扭矩、抗扭截面模量和许可切 应力；
在弯曲正应力强度问题中分别是弯矩、抗弯截面模量 和许可弯曲正应力。在连接件的强度计算中，在挤压问题中 公式可以表述为：挤压力/挤压面面积≤许可挤压应力。而 剪切强度问题中则为：剪切力/剪切面面积≤许可切应力。

在考虑扭转的刚度问题时，公式中的横截面内力、包含横截 面几何性质的参数和许可量分别是扭矩、截面抗扭刚度和许 可单位扭转角，其中抗扭刚度=切边模量×极惯性矩。在刚 度问题中由于考虑弹性变形，相应的公式中往往有像切变模 量之类的材料弹性常数。在截面设计时，通过抗扭刚度中的 极惯性矩可以算出圆轴直径。材料力学中的稳定性问题主要 局限在压杆稳定性问题。在这部分内容中，大部分篇幅是关于临界压力和临界应力的计算方面。临界应力计算的前提是 通过压杆的柔度对杆件分类。柔度是一根压杆的固有性质， 综合反映了压杆的横截面尺寸和长度以及杆端约束对压杆 稳定性的影响，一般情况下柔度越大，压杆的稳定性越差。

根据柔度，压杆可以分为小柔度杆、中柔度杆和大柔度杆。

不同种类杆之间的柔度分界取决于材料参数，比如大柔度压 杆的柔度下限取决于弹性模量和比例极限。小柔度压杆的临 界应力就是屈服极限，这是材料的一个强度指标。从这个角 度看，压杆的临界应力和屈服极限都是极限应力。前者主要 通过比如理想中心受压直杆的欧拉公式等计算获得，后者则 主要由轴向拉伸实验得到。在强度问题中，许可应力=极限 应力/强度安全系数；
同样，在稳定性问题中，可以定义稳 定许可应力=临界应力/稳定安全系数。由此，强度计算和稳 定计算有了统一的形式：轴向压力/横截面面积≤许可应力。

4结语 本文将材料力学从整个学科出发，对不同部分进行类比 说明，试图给出一个新的角度理清材料力学的学习思路。学 习材料力学不能孤立地学习零星的知识点，而是应该前后对 照，将各部分内容有机地连为一体。首先，各个基本变形的 分析都遵循由外力出发，然后计算内力，最后分为强度问题 或刚度问题。轴向拉压、扭转和弯曲的应力计算公式都是基 于平截面假设推导得到的，最终可以用一个统一的公式表示 应力计算公式。同样，刚度分析也可以获得一个统一的表达式。材料力学分强度、刚度和稳定性问题，每一种问题可以 进一步分成校核、截面设计和许可载荷三种题型。这些问题 也具有统一的表述形式。教学实践表明，通过类比的方法， 把各处的知识点表述成统一的形式，可以有效地帮助学生深 入理解材料力学的基本概念。

参考文献 [1]刘鸿文.材料力学[M].5版.北京:高等教育出版 社,2011. [2]孙训方.材料力学[M].5版.北京:高等教育出版 社,2009. [3]杨桂通.弹性力学简明教程[M].2版.北京:清华大学 出版社,2013:1-3.