数形结合思想在教学中的应用【数形结合思想在高中数学教学的应用】

数形结合思想在高中数学教学的应用

关键词：数形结合思想方法；
数学解题；
应用策略 一、引言 数学思想是数学的灵魂，是数学知识的高度概括，是学 生解决问题的手段。最常用的数学思想有函数与方程思想、 转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想。其中，数 形结合思想在数学中的地位尤为重要，是数学思想方法的精 髓之一。我国著名数学家华罗庚先生在1964年1月撰写的《谈 谈与蜂巢的结构有关的数学问题》用一首诗完美的阐述了数 形结合的价值和本质，即“数形本是相倚依，焉能分作两边 飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好， 隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”数 形结合思想的应用十分广泛，运用数形结合思想可以解决高 中数学中的与集合、函数、方程与不等式、三角函数、向量、 线性规划、数列、解析几何、立体几何等有关的问题。纵观 历年高考题，数形结合思想在历年高考题中的体现逐渐加强。

高中数学教学应该培养学生数形结合的解题思想，使学生在解题时有效的运用数形结合思想，做到举一反三、触类旁通。

二、数形结合方法的应用原则 数形结合的思想方法中数与形相互转化时，要借助于基 本的知识和方法才能实现，如果对基本知识和方法了解不深 刻，就会容易犯错。高中数学教学应用数形结合思想方法需 要掌握以下原则。1．等价性原则在数形结合的过程中，数 和形的转化要遵循等价原则，即数和形所反应的对应关系是 一一对应的。注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小。

在画图时，注意对交点，极大(小)值点，最大(小)值点，数 轴等的精确描绘。2．双向性原则在运用数形结合思想解题 时，进行几何直观分析时应该与代数计算相结合，“以形助 数，以数解形”，用直观的几何反应抽象的公式，用精确的 代数规范几何图形。3．简单性原则“以形助数”进行由数 到形的转换时，应尽可能使构造的图形简单、易懂。“以数 解形”在代数计算中尽量避免繁琐复杂的计算。

三、数形结合思想解决的问题 数形结合思想是高中数学教学中解题的主要方法之一， 下面是利用该方法可以解决的高中数学问题。(1)解决集合 问题。在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图 是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数 学语言。(2)解决函数问题。函数是描述变量之间的依赖关 系的重要数学模型。要求掌握几种不同增长的函数模型(指 数函数、对数函数、幂函数、反函数等)，另外，数形结合还可以解决函数和方程的解的问题。(3)解决方程与不等式 问题。处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数的 交点问题;处理不等式时，从题目的条件和结论出发，联系 相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

(4)解决三角函数问题。单位圆是研究三角函数的重要工具， 借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性 质，体现了数形结合的思想。(5)解决线性规划问题。线性 规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题，在解题 时注意运用数形结合思想。(6)解决数列问题。数列是一种 特殊的函数，数列的通项公式和前n项和的公式可以看作关 于正整数n的函数，借助函数图像对数列进行直观分析。(7) 解决解析几何问题。解析几何的本质是用代数方法研究图形 的几何性质。解析几何的研究对象是几何图形(平面解析几 何研究的是曲线)，研究方法是用代数方法研究几何解析几 何所要解决的主要问题有两个:一是根据结合几何性质求出 曲线的方程，这体现了几何向代数的转化;二是根据方程研 究曲线，这体现了由代数向几何的转化。(8)解决立体几何 问题。教师可以使用具体的长方形的点、线、面之间的关系 作为载体，使学生在直观感知的基础上认识空间中的一般的 点、线、面之间的位置关系，通过对图形的观察、实验和说 理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质和判定方 法。立体几何中用坐标的方法将点、线、面的性质和相互关 系的问题转化为纯粹的代数问题。四、数形结合思想在高中教学中的典型应用 讲求函数的值域问题转化为几何图形问题，把利用几何 图形的性质把结论还原到函数问题。此题最关键的是对函数 的转化，如果学生对距离公式有比较深刻的认识，那么就能 够解出这种类型的题。分析:通过已知，在坐标上画图，在 解题时设的未知量在图像中用辅助线表示出来，再将所得的 未知点带入方程中，求得结果即可，体现了数形结合的思想。

向量具有两个明显的特点―“形”的特点和“数”的特点， 这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点 和数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来。这样就可 以用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理 某些代数问题，在教学中注意这种思想方法的运用。

五、结语 综上所述，数形结合思想应用十分广泛。在解题时对于 某些较复杂的问题，可以运用数形结合思想将复杂的问题转 化为简单的问题求解，大大简化了解题过程，尤其在选择题 和填空题中更有其优越性。因此，在日常的教学中，教师要 注意培养学生应用数形结合思想的意识，灵活运用数形结合， 提高解题能力。

参考文献: ［1］徐汉文．中学数学课程标准与教材分析．北京:科 技出版社，2014． ［2］顾亚萍．数形结合思想方法之教学研究［D］．南京师范大学，2004． ［3］刘红艳．高中生运用数形结合思想解题的调查研 究［D］．南京师范大学，2014． ［4］李雪川．高中数学数形结合思想的研究和应用［D］． 河北师范大学，2013．