发展认知策略积淀核心素养--《函数yAsinωxφ的图像》教学实践与反思_核心素养有哪些

发展认知策略积淀核心素养--《函数yAsinωxφ的图像》教学实践与反思

近年来，“数学素养”成为数学教育研究中一个备受关 注的问题，也成为很多国家数学教育的基本价值取向。普通 高中数学课程标准修订稿特别强调培养学生的数学核心素 养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观 想象、数据分析素养;同时提出帮助学生学会“用数学的眼 光观察世界”“用数学的思维分析世界”“用数学的语言表 达世界”。如何在数学课堂教学中，培养学生的数学核心素 养呢？笔者认为，教师应该引导学生主动参与知识建构和问 题解决的过程，发展学生的认知策略，培养学生的元认知能 力。下面，以《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像》一课的教学 为例，谈谈笔者的实践与反思。

一、内容解析 “函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像”是高中数学三角函数 知识的一个重要内容。通过探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与函数y＝sinx的图像之间的关系，有助于进一步深化对 函数图像变换的理解和认识，也有助于进一步体会三角函数 能够描述周期现象的原因。

《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像》教学的重点是分别探 讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sin ωx(ω>0)的图像的变化规律。函数图像是由点构成的，图 像变换的本质是图像上点的变换，而点的位置变化对应着点 的坐标变化。因此，研究函数图像的变换规律，只需研究图 像上每个点的坐标的变化规律。于是，本节课的教学可以依 据从“由形导数”到“由数释形”的思路，帮助学生突破难 点，实现思维水平的提升。

二、教学过程 （一）创设情境，引出课题 师三角函数是研究周期现象的，摩天轮就是周期现象的 生活实例。请看下面的问题：（PPT出示）如图1，摩天轮的 半径为Am(A>0)，逆时针做匀速转动，角速度为ωrad/min(ω >0)。如果从摩天轮上的点P位于图中的点P0处开始计时，请 在如图所示的坐标系中确定时刻为xmin时点P的纵坐标y。

（教师引导学生先将点P0置于x轴正半轴上，利用正弦 函数的定义得到y＝A·sinωx；
再将点P0置于如图1所示的 位置，得到y＝Asin(ωx＋φ)。） 师形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数在生活中经常可见。

(出示图2)比如，弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移与时间的关系满足y＝Asin(ωx＋φ)。又如，潮汐现象中 水位的高度、单摆中的摆角等与时间的关系也满足这个解析 式。因此，今天我们来探讨这个函数。为了探讨方便，令这 里的A>0，ω>0。（稍停）按照我们以往的经验，一般我们 通过什么方法或途径探讨函数的性质呢？ 生图像。

师（板书课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0） 的图像）显然，参数φ、A、ω取不同实数，我们就得到不 同的函数表达式，进而函数图像就发生变化。在这个“大家 庭”中，有你熟悉的函数吗？ 生函数y＝sinx。

［设计意图：函数y＝Asin(ωx＋φ)是刻画自然界周期 现象的重要模型。借助于实际意义来理解函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图像性质是自然的、清楚的、明白的，不仅能激发 学生的求知欲，让学生感受研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的必 要性，而且抓住了三角函数的本质特征——周期性，同时能 培养学生的数学建模与数学抽象能力。］ （二）组织讨论，设计方案 师（PPT出示）问题1：如何由y＝sinx的图像得到y＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像？ （学生制定研究方案后进行交流。教师板书学生提出的 方案，如图3。） 师对于方案1，已知图像特征，“五点法”是作简图的一种方法，但是此时五点以外其余点的特征尚不清晰，需要 深入分析。对于方案2，研究由y＝sin(x＋φ)的图像得到y ＝sin(ωx＋φ)的图像的过程本质上还是研究ω的影响，而 φ的存在可能会对研究造成干扰。在比较讨论的基础上，可 以确定本节课的研究方案为方案3：相对固定其中2个参数， 变化另外1个参数，即先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x ＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图像的变化规 律，再综合三者。这里，不仅关注对φ、A、ω的理解，而 且形成类似的多参数问题的一般研究策略——控制变量，从 而将复杂问题简单化。

［设计意图：首先，面对一个问题，强调让学生规划研 究思路，重在引导学生主动参与知识建构和问题解决的过程， 这有利于学生认知策略的发展。其次，面对多变量问题，引 导学生学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从 简单到复杂的研究问题的一般方法。］ （三）引导探究，解决问题 师（PPT出示）问题2：如何由y＝sinx的图像得到y＝ sin(x＋1)的图像？ 生向左平移一个单位。

（其他学生表示赞同。） 师（利用几何画板作图验证）你们怎么知道是向左平移 一个单位？ 生“左加右减”，初中就知道。师能说明原理吗？ 生比如，取y＝sinx的图像上的点π2，1，在y＝sin(x ＋1)的图像上对应的点是π2－1，1，纵坐标没变且横坐标 减少1，所以是向左平移一个单位。

师你取了一对特殊的点，那么图像上其他的点都有这样 的变化规律吗? 生是啊。可以再取几个点验证一下。

师你觉得保险了吗？ 生取y＝sinx的图像上的任意一点，记作M(x0，y0)，在 y＝sin(x＋1)的图像上对应的点记为N，则N是(x0－1，y0)， 可见所有的点都向左平移一个单位。

（其他学生表示赞赏。） 师这位同学说得很好！我们取图像上的任意一点M(x0， y0)，从变化后对应点N的坐标不难看出，所有点“齐步向左 走了一个单位”，当然图像就向左平移了一个单位。

（教师再举几个例子，如y＝sin(x－1)、y＝sinx＋π3 等，让学生说说变化规律和理由。） 师可见，函数图像是由点构成的，图像变换的本质是图 像上点的变换，而点的位置变化对应着点的坐标变化。因此， 研究函数图像的变换规律，只需研究图像上每个点的坐标的 变化规律。

（教师利用几何画板出示图4，引导学生总结出φ对y＝ sin(x＋φ)的图像的变化规律。然后教师完成板书，如图5。）［设计意图：第一，人们总是借助于具体的事物来理解 抽象的概念，这里让学生结合具体的实例，增加归纳的样本， 抽象的概念就简单了。第二，重点引导学生“由形导数”“由 数释形”说明为什么：图像变换从形上说是图像上每个点的 位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出纵坐标相同 的两点，从横坐标的变化关系解释变换。在说理的过程中引 导学生用数学的思维分析问题，从形的直观走向数的本质。］ 师（PPT出示）问题3：(1)如何由y＝sinx的图像得到y ＝Asinx(A>0)的图像？(2)如何由y＝sinx的图像得到y＝ sinωx(ω>0)的图像？ （学生类比问题2的解决方法独立探究，然后交流。教 师利用几何画板出示图6，引导学生得到：y＝Asinx(A＞0) 的图像是把y＝sinx的图像上所有点在横坐标不变的情况下 纵坐标变为原来的A倍得到的。然后教师完成板书，如图7。

教师又利用几何画板出示图8，引导学生得到：y＝sinωx(ω ＞0)的图像是把y＝sinx的图像上所有点在纵坐标不变的情 况下横坐标变为原来的1ω倍得到的。然后教师完成板书， 如图9。） ［设计意图：类比前面的探讨方法，请学生独立探究A、 ω对y＝Asinx、y＝sinωx的图像的影响。着重探讨φ对y＝ sin(x＋φ)的图像的变化规律之后，学生不难将探讨方法迁 移到对A、ω的探讨中去。此处学生再次经历“由形导数” “由数释形”的过程，更加突出从点的坐标(即数的本质)理性分析、认识图像变换的规律，体验探究方法，提升思维水 平。］ （四）启发反思，感悟方法 师（PPT出示）探究问题：如何由函数y＝sin2x的图像 得到函数y＝sin(2x＋1)的图像？ （学生思考后交流。） 生我认为是向左平移12个单位。

师为什么？ 生和前面一样，取函数y＝sin2x的图像上的任意一点 M(x0，y0)，则变换后函数y＝sin(2x＋1)的图像上的对应点 N的坐标是x0－12，y0，所以是向左平移12个单位。

（教师完成板书，如图10。）由第—论文网摘自网络， 提供论文代写教育研究论文服务] wwW.DYlw.NeT ［设计意图：探讨y＝sin(2x＋1)的图像与y＝sin2x的 图像的关系，巩固本节课所学的方法，深化对变换本质的把 握，也为下节课的研究做铺垫。这样做有利于实现“为理解 而学习、教学”这一建构主义的核心目标。鼓励学生进行探 究，并利用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维；
鼓 励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答。

这样做有利于培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维。］ （五）规划任务，拓展延伸师今天我们分别探讨了φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、 y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图像的变化规律，接下 来探讨什么呢？ …… ［设计意图：培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨 内容和方法。］ 三、教学反思 （一）数学教学须授人以“渔” 普通高中数学课程标准修订稿中界定的数学核心素养 及其成分实际上是基于一些基本思想方法、思维习惯的能力。

因此，培养学生的数学核心素养本质上就是发展学生的认知 策略，培养学生的元认知能力。为此，数学教学不仅要教给 学生具体知识和解题过程，而且要教给学生建构知识和解决 问题的思路、方法，训练学生的思维。也就是说，数学教学 既要授人以“鱼”，更须授人以“渔”，才能切实发展学生 的认知策略，培养学生的数学核心素养。需要注意的是，由 于每个人的知识、经验、能力背景不同，认识问题的习惯与 特点不同，即使面对同一事物，往往也有不同的理解。这要 求我们充分尊重学生的主体地位，为学生提供开放的问题， 发挥学生的主观能动性，发展学生的认知策略。

回到本节课的问题1：“如何由y＝sinx的图像得到y＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像？”这里，教师并不急于 按照教材的安排展开研究，而是鼓励学生根据自己的经验设计解决问题的方案。实际教学中，学生给出了三种不同的方 案，进而通过教师引导下的相互交流，深入认识了这些方案。

虽然课堂时间有限，只能选择一种方案展开研究，但是学生 得到了一个开放的、动态的研究过程，从中自然地体悟到分 析问题、解决问题的思想方法——将复杂问题简单化；
形成 了对类似的多参数问题的一般研究策略——控制变量。而且， 学生形成了相应的思想方法和研究策略后，可以将其迁移到 其他情境的学习中，比如物理学中的多变量问题。学生能用 数学的方法思考问题、解决问题，就是具备数学素养的体现。

（二）数学教学须揭示本质 早在近代科学的黎明时期，德国数学家莱布尼兹就指 出：“数学的本质不在于它的对象，而在于它的思想方法。” 数学教学中，揭示数学本质对促进学生发展思维，形成数学 核心素养十分有帮助。

回到本节课的问题2：“如何由y＝sinx的图像得到y＝ sin(x＋1)的图像？”其实，学生在初中学习二次函数时， 便有“左加右减”的经验了，那么，为什么还要提出这个问 题，进而深入探讨呢？这是因为此时学生的认识仅建立在图 形的直观上，尚缺乏理性的思考。与初中不同的是，高中阶 段更注重从代数的角度深入分析图像变换的本质。在问题解 决的过程中，学生逐步体会到图像变换的本质，即函数图像 是由点构成的，图像的变换其实是图像上每个点位置的变化， 而点的位置变化对应着点的坐标变化。因此，只需研究图像上每个点的坐标变化规律，就能获得函数图像的变换规律。

通过揭示图像变换的这一数学本质，学生从过去的“由形导 数”深化为“由数释形”，实现了思维水平的提升，提升了 数学抽象和逻辑推理等素养。从课堂后续问题的顺利解决能 够看出，理解了图像变换的数学本质，难点和易错点也就迎 刃而解了。

（三）数学教学须促进探究 培养学生的数学核心素养，不能单纯地通过接受数学事 实来实现，更多地需要通过对思想方法的领悟、对数学知识 的建构和对数学问题的解决等活动来实现。而数学的思想方 法和观念不能由教师直接告诉学生，应该让学生主动探究， 通过参与数学知识建构、数学问题解决的过程来获得。因为 在教师与学生、学生与学生的合作、讨论、探究过程中，学 生能不断完善对事物的理解，看清事物的各个方面。在探究 过程中，学生要不断对自己的思考过程进行反思，对各种观 念进行组织和重新组织。这种做法不仅有利于深刻领悟数学 知识和思想方法，而且有利于提高建构与解决的能力，形成 数学素养。

再次回到本节课的问题1：“如何由y＝sinx的图像得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像？”面对这个问题， 教师鼓励学生独立探索，自由表述，充分暴露学生的思维。

课上，所有的研究方案都是由学生自主探究生成的，教师因 势利导，鼓励学生将自己的不同想法进行交流。这样做有效调动了学生的学习积极性，同时培养了学生的思维能力。长 此以往，能促进学生形成探究习惯，从“学会”到“会学”， 逐步形成数学的眼光、思维、语言。

参考文献：
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