从波利亚思想看2012年广东高考理科数学第20题
从波利亚思想看2012年广东高考理科数学第20题 2012年广东高考理科数学试题揭晓后，普遍感觉试题较 浅，可能平均分会大增.结果也证实了这一说法，这份试题 的难度、信度、效度和区分度都比较理想.但第20题例外， 很多老师认为这道题太浅，一看就知道怎么做，甚至有老师 说这道题等于送分.事实果真如此吗？全省平均1.94分，难 度系数0.14，属于很难的试题.为什么预测与结果会如此大 相迳庭呢？下面进行深层次的剖析，与同行分享. 一、考题与分析 题目：（2012年广东高考理科数学20）在平面直角坐标 系xoy中，已知椭圆C：■+■=1（a>b>c）的离心率e=■，且 椭圆C上的点Q（0，2）到的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线 l∶mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面 积；
若不存在，请说明理由. 解析：本题是一道综合性很强的题目，考查直线、圆与 圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，立意为考查学 生的综合分析问题与运算求解的能力，函数思想、转化思想、 分类讨论以及数形结合都有所涉及. （1）由e=■得a2=3b2，椭圆的方程为x2+3y2=3b2，椭 圆上的点到点Q的距离，d=■=■=■（-b≤y≤b），当-b≤-1 即b≥1时，dmax=■=3，得b=1.当-b>-1即b<1时，dmax=■=3，得b=1（舍去）.综上可知b=1，从而椭圆的方程为■+y2=1. （2）若存在点M（m，n）满足题意，易知■=■■ OA■ ·■ OB ■sin∠AOB=■sin∠AOB，当∠AOB=90°时，■取 得最大值■，这时点O到直线l的距离dO-l=■=■，所以 m2+n2=2，又因为M（m，n）在椭圆■+y2=1上，■+n2=1，将 两者联立解得m2=■，n2=■，所以点M的坐标为（■，■） 或（-■，■）或（■，-■）或（-■，-■），对应的△OAB 的面积为■. 点评：这是常规的解法，从过程来看的确不难，立意明 确，第（1）小题是常规的代入并配方再分类讨论，第（2） 小题结合图形更简单.可就这道解析几何题全省考生的平均 得分仅为1.94. 二、波利亚思想 1. 波利亚简介 美籍匈牙利数学教育家G·波利亚在解题方面的先驱人 物.波利亚在很多领域都有突出贡献，留下了以“波利亚” 命名的定理或术语.作为教育家，波利亚的主要贡献集中体 现在《怎样解题》《数学与似真推理》《数学的发现》三部 世界名著上，涉及“解题理论”“解题教学”“教师培训” 三个领域.波利亚的解题理论主要通过怎样解题表来实现的， 很多数学家在以后的著作中将其完善和发展，也在“解题讲 习班”中对教师现身说法.他的著作把传统的单纯解题发展 为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希 望通过对于解题过程的深入分析总结出一般的规律或模式， 使得在以后的解题中可以起到启发的作用.例如笛卡儿模式、 递归模式、叠加模式、分解与组合、特殊化思想、反推、合 情推理、变式训练等，都在解题中行之有效.尤其有特色的 是，他将上述的模式
设计在一张表中，并通过一系列的问句 表达出来，使得更有启发意义. 2. 怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”“怎样学会解题”来开展数 学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”的突出强调， 同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波 利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”， 是一部“启发小词典”.高考备考也是如此，审题，解题， 讲题，贯穿全过程，研究波利亚思想有助于此项工作，我们 先看“怎样解题”表的呈现：
弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾 三、考题的诠释 下面用波利亚思想对这一考题进行再分析，并进行比较， 看看该不该是一道很难的考题. （1）弄清问题先看第（1）小题，条件有两个：一是已知椭圆C：■+ ■=1（a>b>0）的离心率e=■，二是椭圆C上的点Q（0，2） 到的距离的最大值为3.结论是求椭圆C的方程.再看第（2） 小题，条件是直线l∶mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的 两点A、B，且△OAB的面积最大.结论是一个探索性问题，问 是否存在满足条件的点M（m，n），如果存在求出点M（m，n） 的坐标以及相应的△OAB的面积；
如果不存在，说明理由. （2）拟定计划 找出条件与结论之间的联系.如果找不出直接的联系， 可以对条件与结论进行进一步解读，求椭圆的方程即求a、b 的值，用离心率e=■进行一步转化，椭圆的方程转化为 x2+3y2=3b2，求a、b的值转化为求b的值.再解读第二个条件， 椭圆C上的点Q（0，2）到的距离的最大值为3.你得把这个距 离表示出来，设（x，y）为椭圆C上的点，则它到Q（0，2） 的距离为d=■=■=■（-b≤y≤b），根号下面就是关于y的 二次函数在闭区间[-b，b]上的最值问题，于是有下面的分 类讨论也是很常规的过程.再看第（2）小题，无论是否存在 满足题意的点，都假设存在，欲知△OAB的面积是否有最大 值，得将它表示出来，于是有■=■■ OA■·■ OB ■sin ∠AOB，且圆O：x2+y2=1是单位圆，式子又转化为■=■sin ∠AOB，当∠AOB=90°时，■取得最大值■，这时结合图形 知△OAB是直角边为1的等腰直角三角形，于是圆心O到直线l 的距离dO-l=■=■，接下来的计划拟定就会迎刃而解.（3）实现计划 实现计划就是将上述解题思路转化为过程规范表达，把 拟定计划过程中需要补充的环节补充完整，其中第（2）小 题需要证明点M的存在性，这里可以利用直线l∶mx+ny=1与 圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，先得出满足的一个条 件，具体过程这里不再赘述. （4）回顾拓展 这是备考最容易忽略的环节，关于本题，谈两点拓展， 从纵向看，第（1）小题也可以从几何角度切入，结合图形 解决，因为点Q（0，2）到椭圆上的点的距离的最大值为3， 以Q（0，2）为圆心，以3为半径的圆Q的方程为x2+（y-2） 2=9，联立椭圆的方程x2+3y2=3b2，整理得2y2+4y+5-3b2=0， 这时圆Q与椭圆相切，故判别式△=16-8（5-3b2）=0，解得 b2=1从而获得结果.第（2）小题也可从方程入手解决，虽然 过程复杂一些，但也体现解析几何中的数形结合思想.从横 向看，本题也是解析几何题的一个缩影，宏观地说解析几何 题主要考查两类问题，即求曲线的方程与根据方程研究曲线. 这里再举两例. 例1（2012高考真题四川理科卷15） 椭圆■+■=1的左 焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最 大时，△FAB的面积是____________. 解析：本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线 与圆锥曲线的位置关系，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.当直线x=m过右焦点时△FAB 的周长最大，∴m=1；
将x=1带入解得y=±■；
所以S△FAB= ■×2×■=3. 例2（2012高考真题浙江理科卷21） 如图，椭圆C：■+ ■=1（a>b>0）的离心率为■，其左焦点到点P（2，1）的距 离为■.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被 直线OP平分.（1）求椭圆C的方程；
（2） 求△ABP的面积取 最大时直线l的方程. 解析：本题考查椭圆几何性质，直线与椭圆的位置关系， 同时考查解析几何的基本思想、基本方法和运算求解能力. 限于篇幅这里省略过程. 通过以上分析，2012广东高考理科数学第20题出现1.94 这样的低分也就不足为奇了，需要考生有所思，有所悟.波 利亚思想的实质就是对题路进行归纳，通过深入分析
总结出 一般的模式，在以后的解题中得到启发.回过来反思备考， 如果忽略了这个环节，试题做再多，未必有相应的效果.从 全卷来看，前108分用不着太多模拟训练，机械训练再多， 也并不意味着后面42分能很好地完成，还得遵从规律.
