简单的线性规划问题的八步教学设计
简单的线性规划问题的八步教学设计 【摘要】数学技能指学生在学习数学知识的过程中，通 过训练完成数学学习任务的一种行动或心智行动方式.数学 技能分为动作技能和心智技能.基于促进数学技能习得的相 关理论，对简单的线性规划问题进行“八步”教学设计：“设” —“列”—“画”—“化”—“移”—“看”—“求”—“悟”， 并说明各步的设计意图.这样设计有利于突出重点，突破难 点.代数法、向量法也可作为一般方法解此类问题. 2017年9月22日至24日，全国第二届全日制教育硕士学 科教学（数学）专业教学技能大赛（决赛）在山东烟台鲁东 大学举行，本次大赛共涉及高中数学的8个课题，“简单的 线性规划问题”是其中一个，该课题选自人教社普通高中课 程标准试验教科书数学5（必修）（A版）[1].笔者在赛后写 下了“简单的线性规划问题”的教学设计. 1数学技能的相关理论的简述 数学技能指学生在学习数学知识的过程中，通过训练完 成数学学习任务的一种行动或心智行动方式.数学技能可分 为动作技能和心智技能[2]. 动作技能指数学活动中由一系列实际操作以合理、完善 的程序构成的操作活动方式.它具有外显性、客观性、非简 约性三个基本特点. 心智技能是指借助内部言语在大脑中按合理完善的方 式自动地进行数学认知活动方式，它是经过后天的学习和训练而形成的.它具有以下特点：（1）心智技能的作用对象是 抽象的数学概念、命题与表象；
（2）心智技能的动作是借 助内部言语在头脑内部完成的，其他人很难从外部观测到学 习主体的变化情况；
（3）简缩性，即动作成分可以省略、 合并、简化；
（4）有时需要借助动作技能加以完成；
（5） 依附于一定的数学概念、法则，建立在理解的基础之上；
（6） 可通过练习提高技能实施的速度与效率. 中
小学课程中的数学基本技能包括：数值运算技能、符 号操作技能、图形处理技能、数据分析技能、推理论证技能、 数学交流技能等. 2促进数学技能习得的教学设计 2.1教材分析 2.1.1教学内容分析 “简单的线性规划问题”是人教社A版普通
高中课程标 准试验教科书数学5（必修）第三章《不等式》中第3节的第 二个内容.该课题是在学习了不等式的性质和“二元一次不 等式（组）与平面区域”之后的一个教学内容.因此，“简 单的线性规划问题”可看成是“不等式的性质”和“二元一 次不等式（组）与平面区域”的应用.显然，解决“简单的 线性规划问题”也必需“直线的方程”等解析几何知识作基 础. 2.1.2教学目标分析 通过教学，能让学生从工厂产品的实际问题中建立起数学模型，在教师启发和引导下，学生能利用学过的知识和方 法解决这个数学模型，并由此建构线性规划问题、目标函数、 可行解、可行域、最优解等系列概念.掌握求解线性规划问 题的最优解的方法和一般步骤. 2.1.3教学问题诊断分析 线性规划问题的求解，需要学生具备一定的数学心智技 能和动作技能才能完成.线性规划的教学，学生在最优解的 求解过程中容易出现“似懂非懂”、“懂而不会”和“眼高 手低”的情况.因此，教师可着眼于数学技能的相关理论及 应用，而着手于“八步”教学设计即“设”—“列”—“画” —“化”—“移”—“看”—“求”— “悟”.这既有利于学生外化于形的动作技能的练成， 又有利于学生内化于心的心智技能的形成，从而，真正使学 生的数学心智技能和动作技能得到有效训练，真正使学生经 历求解线性规划最优解的一般步骤，并掌握其方法、体会其 思想. 2.2简单的线性规划问题的“八步”教学设计与简略说 明 基于技能习得理论下简单线性规划问题的“八步”教学 设计（或称“八环节”）的流程图，如图1.图1简单的线性 规划问题的“八步”教学设计2.2简单的线性规划问题“八 步”教学的实施建议与设计意图分析 依据促进数学技能习得的相关理论制定“八步”教学设计，提出了如下实施建议，并对每一步说明设计意图. 第一步：“设” 学生学习本节之前已经学习了一元二次不等式及其解 法，能够根据题意列出二元一次不等式组并画出其表示的平 面区域. 教学设计：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品 使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日 生产安排是什么？ 问题1若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 依据题意，将重要信息提取到表格中，如图1. AB时間（小时）获利甲/件412万元乙/件423万元日生产 （限制）16128图1 此时，设x、y件，利润为z万元. 【设计意图】“设”是指依据题意设出未知元，用字母 代替数，变元x、y代替未知量甲、乙两种产品的生产量.把 实际问题转化为线性规划模型，提高学生分析问题、解决问 题的能力[3].用代数方法进行解决，培养了学生的符号操作 技能. 第二步：“列” 由上，化简后列出二元一次不等式组、求利润的表达式.教学设计：要求学生独立完成该步. x+2y≤8， x≤4， y≤3， x≥0， y≥0.（1） z=2x+3y. 列出上面的式子后，教师应趁机引导学生形成、理解相 关概念. 1.不等式组（1）x+2y≤8， x≤4， y≤3， x≥0， y≥0.是对变量x、y的约束条件，这组约束条件是关于x、 y的一次不等式，所以又称为线性约束条件. 2.求最大值的函数z=2x+3y叫做目标函数，且它是关于 变量x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数. 3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值问题，统称为线性规划问题. 4.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.由所有 可行解组成的集合叫做可行域. 5.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个 问题的最优解.【设计意图】考察学生根据实际需要合理的选择适当的 工具和方法，列出并化简已知条件给定的二元一次不等式组， 培养了学生的数值运算技能.这里对教材的安排作了略微的 调整.先对概念进行解读，再探求最优解，符合学生的认知 规律. 第三步：“画” 图2教学设计：让学生自己画出二元一次不等式组表示 的平面区域，如图2，并结合图象解读以上概念，使学生加 深对概念的理解. 【设计意图】要求学生准确地画出上面二元一次不等式 组表示的平面区域.作图是学习数学知识、解决数学问题的 重要手段，有助于培养学生的图形处理技能. 第四步：“化” 将目标函数z=2x+3y画在平面区域上是探求最优解的突 破口. 教学设计：教师引导学生把目标函数z=2x+3y变形为 y=-23x+z3，这是斜率为-23，纵截距为z3的直线. 图3【设计意图】数学抽象的最终结果是符号化，包括 了符号演算能力、表达式的变形和等价转化能力、数形结合 能力、图像符号能力等.引导学生化目标函数为直线方程的 形式.要求学生熟练地进行字母式的演算和变形，将目标函 数z=2x+3y变形为y=-23x+z3再加以讨论，培养学生的符号操 作技能.第五步：“移” 当利润z从0开始变化时，可以得到一组互相平行的直线， 如图3. 【设计意图】平移直线方程y=-23x+z3，为下一步“看” 建立了直观形象的思维支柱. 第六步：“看” 看直线y=-23x+z3与可行域有公共点时，在可行域内找 一点M，使直线经过点M时纵截距z3最大. 教师借助几何画板演示直线y=-23x+z3在可行域内平 移. 设计意图：“看”是指看直线方程与可行域的交点，意 图培养学生的数据分析能力. 第七步：“求” 由上，可知当直线y=-23x+z3经过直线x=4与直线 x+2y-8=0的交点M（4，2）时，纵截距z3最大. 此时利润最大值zmax=2×4+3×2=14. 设计意图：依据题意求纵截距的最大值或最小值. 第八步：“悟”
感悟线性规划问题中蕴含的思想方法，形成求解此类题 型的一般方法. 【
设计意图】让学生对整个解决过程中蕴含的思想方法 进行总结归纳，形成个人知识、思想方法，让其享受做数学 的乐趣.3解决线性规划问题的其他两种方法 以上的教学设计是解决线性规划问题的常用几何法，下 面再给出两种一般方法. 代数法 步骤一：将不等式变为方程，两两联立后求其解（x1， y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.步骤二：将所有解带 入目标函数，得到目标函数值z1，z2，…zn.步骤三：检验. 即若z1为所求的最大值，则将（x1，y1）代到线性可行域的 不等式验证，若全部符合，则z1为最值. 向量法 对于目标函数z=2x+3y，可构造a=（2，3），b=（x，y）， 则z=a·b. 因为a·b=a·b·cos， 所以z=22+32·b·cos=13·b·cos. 按照向量的几何意义，b·cos表示b在a上的投影，即当 b在a上的投影最大值，z取最大值.由圖3可知，当b=（4，2） 时，z取最大值a·b=（2，3）·（4，2）=14. 4结语 将简单线性规划问题的八步教学设计归结为几何法，其 中每一步对学生应该掌握的技能都做了相应的要求，其中 “画”、“移”等是动作技能，“设”、“化”等是心智技 能.当然也不能孤立地看待某个过程为动作技能或心智技能， 更多的是两者的结合，教学的目的也即是实现二者的完美结合，培养出对社会有价值的实用型人才. 参考文献 [1]刘绍学，钱珮玲等. 普通高中课程标准实验教科书 数学5（必修）（A版） [M]. 北京：人民
教育出版社，2007：
12. [2]鲍建生，周超.数学
学习的心理基础与过程[M].上 海：上海教育出版社，2009.10：151. [3]耿永雪，张吉.简单的线性规划问题的教学思考[J]. 数学通讯，2002（3）：20.
