【用数学的思维方式教数学】 数学的思维方式

用数学的思维方式教数学

通常的数学教学一开始给出数学概念的定义，接着写出有关的定理，然后对定理 进行证明。这种教学方式可以让学生学到数学的概念和定理，可以训练学生的逻 辑推理能力。但是学生不知道概念是怎么提出来的，不知道定理是怎么发现的， 因此培养不出学生的创新能力。本人根据四十多年的教学和科研工作的经验，用 数学的思维方式教数学就可以既使数学比较好学，又可以在教学的过程中培养学 生的创新能力。

数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，抓住主要特征，抽象 出概念；
提出要研究的问题，运用“解剖麻雀”、直觉、归纳、类比、联想和逻辑 推理等进行探索，猜测可能有的规律；
经过深入分析，只使用公理、定义和已经 证明了的定理进行逻辑推理来严密论证，揭示出事物的内在规律，从而使纷繁复 杂的现象变得井然有序。

用数学的思维方式教数学，我们的主要做法有以下几点。

1.观察客观现象自然而然地引出概念，讲清楚为什么要引进这些概念 线性空间的概念是高等代数中最重要的概念之一。我们让学生观察几 何空间（以定点0为起点的所有向量组成的集合）中有加法和数量乘法运算，并 且满足8条运算法则；
向量的坐标是3元有序实数组，为了用坐标来做向量的加法 和数量乘法运算，很自然地在所有3元有序实数组组成的集合R3中引进加法和数 量乘法运算，并且也满足8条运算法则。几何空间是3维空间，时一空空间是4维 空间。有没有维数大于4的空间？为了对数域K上的n元线性方程组直接从系数和 常数项判断它有没有解和有多少解，从矩阵的初等行变换把线性方程组的增广矩 阵化成阶梯形矩阵可以判断线性方程组的解的情况受到启发，很自然地在所有n 元有序数组组成的集合Kn中引进加法和数量乘法运算，并且也满足8条运算法则。

Kn就是一个n维空间。我们抓住几何空间，R3，Kn的共同的主要特征：“有加法 和数量乘法运算，并且满足8条运算法则”，便自然而然地引出了线性空间的概念。

为了使线性空间为数学、自然科学和社会科学的研究提供广阔天地，需要把线性空间的结构搞清楚。

几何空间的结构是，任意取定3个不共面的向量，空间中任一向量都 可以由它们线性表出，并且表示方式唯一。由此受到启发，对于线性空间V，如 果有一族向量S使得V中每一个向量都可以由S中有限多个向量线性表出，并且S 是线性无关的（这保证了表法唯一），那么称S是V的一个基。基是研究线性空 间的结构的第一条途径。

几何空间中给了过定0的一个平面和过定点0与n相交的一条直线1。在 n上取两个不共线的向量dpd2,在1上取一个非零向量d3，则^丸是几何空间的一个 基。于是几何空间的每一个向量可以唯一地表示成n上的一个向量与1上的一个向 量的和。由此引出了线性空间V的子空间的直和的概念；
猜测并且证明了线性空 间V等于它的若干个子空间％,…，Vm的直和当且仅当％的一个基Vm的一个基合 起来是V的一 个基。直和分解是研究线性空间的结构的第二条途径。

几何空间的每一个向量对应于它在给定的一个基下的坐标是几何空 间到R3的一个双射，并且它保持加法和数量乘法运算。由此受到启发，引出了 线性空间的同构的概念；
猜测并且证明了数域K上的n维线性空间都与Kn同构。

线性空间的同构是研究线性空间的结构的第三条途径。

几何空间J中给了过定点0的一个平面，则与％平行或重合的所有平面 给出了几何空间J的一个划分。由此受到启发，数域K上的线性空间V中，给了一 个子空间W，在V上建立一个二元关系：13a当且仅当13-aGW。容易证明这是V 上的一个等价关系。于是所有等价类组成的集合就给出了V的一个划分，这个集 合也称为V对于W的商集，记作V/W。在V/W中可以规定加法和数量乘法运算， 并且满足8条运算法则，从而V/W成为数域K上的一个线性空间，称它为V对于W 的商空间。几何空间J中与过定点0的平面平行或重合的所有平面组成的集合是J 对于A的商空间。过点0作与相交的一条直线1，则把与平行或重合的每一个平面 对应于这个平面与1的交点是商空间J/到直线1的一个双射，并且它保持加法和数 量乘法运算，从而商空间J/与直线1同构。于是 dim(J/兀0)=dim1=1=3-2=dimJ-dim兀0. 由此受到启发，我们猜测并且证明了对于数域K上的n维线性空间V有 dim(V/W)=dimV-dimW.这使得我们可以利用数学归纳法证明线性空间中有关被商空间继承 的性质的结论。

在商空间J/中取一个基令1是过点0且方向为兩的直线，则J=7TQ1。由 此受到启发，我们猜测并且证明了对于数域K上的线性空间V和它的一个子空间 W，如果商空间V/W有一个基Pi+W，…，pt+w,令U是由V中的向量组p!,…，pt 生成的子空间，那么V=WU，并且p!,…，pt是U的一个基。这表明只要商空间V/W 是有限维的，并且知道了商空间V/W的一个基，那么线性空间V就有一个直和分 解式。

上述两方面表明商空间是研究线性空间的结构的第四条途径。

2.提出要研究的问题，探索并且论证可能有的规律 高等代数研究的一个重要问题是对于域F上n维线性空间V上的线性 变换A，能不能找到V的一个基，使得A在此基下的矩阵具有最简单的形式？ 如果能找到V的一个基使得线性变换A在此基下的矩阵是对角矩阵， 那么称A可对角化。直接计算可得，A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无 关的特征向量。由此可得，A可对角化的充分必要条件是V能分解成A的特征子 空间的直和：…V、，其中,▽是A的全部不同的特征值。

对于不可对角化的线性变换A，它的最简单形式的矩阵表示是什么样 子？从A的特征子空间的定义受到启发，引出A的不变子空间的概念。类比A可 对角化的充分必要条件是V能分解成A的特征子空间的直和，我们去探索：如果 V能分解成A的不变子空间的直和，那么在每个不变子空间中取一个基，它们合 起来是V的一个基，A在此基下的矩阵是一个分块对角矩阵。于是解决A的最简 单形式的矩阵表示的问题分为两步。

第一步去寻找A的非平凡不变子空间，使得它们的和是直和，并且等 于V。利用“如果V上的线性变换B与A可交换，那么B的核KerB是A的不变子空间” 这个结论，对于域F上的任意一个一元多项式f(x)，不定元x用A代入，得到的f(A) 与A可交换，从而Kerf(A)是A的不变子空间。fjx)与f2(x)满足什么条件才能使 Kerfi(A)+Kerf2(A)是直和呢？这只要Ker4(八)门Kerf2(A)=0直觉猜测若fjx)与 f2(x)互素，是否有可能满足这个要求？此时存在u(x),v(x)eFW使得u(x)f2(x)=1。

于是不定元X用A代入便得到u(A)_+,讲)=1.从而若eeKerfi(A)nKerf2(A)，贝ijP=IP=u(A)fi(A)P+v(A)f2(A)13=0。因 此 Kerf]_(A)flKerf2(A)=0，从而Ker(A)+Kerf2(A)是直和。这个和等于什 么呢？从上面的恒等变换I的分解式受到启发，令任取aGKerf(A),有 a=Ia=U(A)fi(A)a+v(A)f2(A)a. 令a广V(A)f2(A)a，a2=u(A)f1(A)a，则a=aa2,JLf1(A)a^=0,f2(A)a2=0。

因此Kerf(A)=Kerf^A)Kerf2(A)。由此受到启发，设fi(x),…，fs(x)eF[x],且它们两 两互素，令fOOzfJx)…fs(X)，则用数学归纳法可以证明 Kerf(A)=Kerfx(A)...Kerfs(A). 由于KerO=V，因此若f(x)使得f(A)=0，贝ljV=Kerfi(A)…Kerfs(A). 这就把V分解成了A的若干个非平凡不变子空间的直和。

域F上的一个一元多项式f(；
x)如果使得f(A)=0，那么称f(；
x)是A的一 个零化多项式。容易证明域F上的n维线性空间V上的任一线性变换A都有零化多 项式。还可以证明线性变换A的特征多项式就是A的一个零化多项式。事物的临 界状态往往决定事物的本质。于是我们考虑A的所有非零的零化多项式中次数最 低且首项系数为1的多项式m(；
A)，称它为A的最小多项式。如果m(A)在F[A]中 的标准分解式为m(2)=(A-Al)k---(A-A^)ls,那么V=Ker(A-I)*i…Ker(A-XSI)^. 记Wj=Ker((A-XjI)1)，则V=...Ws。于是在Wj中取一个基，j=1,2,…， s,它们合起来是V的一个基，A在此基下的矩阵A是一个分块对角矩阵 AsdiagfAi,…,As}，其中Aj是A在Wj上的限制A|Wj在Wj的上述基下的矩阵。

第二步工作是在Wj中找一个合适的基，使得A|Wj在此基下的矩阵Aj 具有最简单的形式。由于V=VW...Ws，因此可以证明A的最小多项式m(A)是A|Wj 的最小多项式mj(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用这个结论和唯一因式分解 定理可以得出，A|Wj的最小多项式从而A|Wj=XjI+Bj，其中Bj是Wj上的幂零变换， 其幂零指数为lj。于是只要在Wj中找到一个合适的基使得Bj在此基下的矩阵Bj具 有最简单的形式，则A|Wj在此基下的矩阵Aj,I+Bj也就最简单了。这样问题归结 为去研究幂零变换的最简单形式的矩阵表示。

设B是域F上的r维线性空间W上的一个幂零变换，其幂零指数为1，用 Wo表示B的属于特征值0的特征子空间。对于任意aGW且a#0，一定存在正整数t使得Bta=0，而Bt-ia乒0。于是Bt-ici,Ba,a线性无关，从而它是子空间Bt_1a，…， Ba,a的一个基。我们把Bt_1a，…，Ba，a称为B-强循环子空间，其中Bt_1aeW0。

B在Bt_1a,…，Ba，a上的限制在基Bt_1a,Ba,a下的矩阵是一个Jordan块，其主对角 元全为0。我们探索W是否能分解成若干个B-强循环子空间的直和？若能够这样 分解，则由每个B-强循环子空间的第一个基向量组成的向量组线性无关；
又的一 个基中每个向量都属于某个B-强循环子空间，因此我们猜测W能分解成dmiWo 个B-强循环子空间的直和。我们利用商空间对于研究线性空间的结构的两个方面， 用数学归纳法证明了这个猜测是真的。从而在每个B-强循环子空间中取上述这样 的基，它们合起来是W的一个基，B在此基下的矩阵为由若干个Jordan块组成的 分块对角矩阵，称它为B的Jordan标准形。进而得到：域F上的n维线性空间V上的 线性变换A如果它的最小多项式m(；
入）在F[A]中能分解成一次因式的乘积，那 么存在V的一个基，使得A在此基下的矩阵为由若干个Jordan块组成的分块对角矩 阵，称它为A的Jordan标准形。由于主对角元为¥的t级Jordan块的最小多项式为 (X-Xj)1,因此根据“分块对角矩阵A=diag{Al5…,As}的最小多项式m(人）是Aj的最 小多项式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan标准形J， 那么J的最小多项式m(人）是一次因式的乘积，m(A)也是A的最小多项式。从而 如果A的最小多项式)在F[A]中的标准分解式有次数大于1的不可约因式，那么A 没有Jordan标准形。我们用类比的方法证明了此时A有有理标准形。这样我们就 彻底解决了域F上n维线性空间V上的线性变换A的最简单形式的矩阵表示的问题。

3.通过“解剖麻雀”，讲清楚数学的深刻理论是怎么想出来的 伽罗瓦在18291831年间彻底解决了一元n次方程是否可用根式求解的 问题。他给出了方程可用根式求解的充分必要条件，创立了深刻的理论（后人称 之为伽罗瓦理论），由此引发了代数学的革命性变化。古典代数学以研究方程的 根为中心。伽罗瓦理论创立以后，代数学转变为以研究各种代数系统的结构及其 态射（即保持运算的映射）为中心，由此创立了近世代数学（也称为抽象代数学）。

我们在近世代数课的教学中，通过“解剖麻雀”，讲清楚伽罗瓦理论是 怎么想出来的。考虑4次一般方程 x4+px2+q=0,(1) 其中p,q是两个无关不定元。方程(1)的系数所属的域为Q[p,q]的分式域 Q(p,q)，简记作K，把K称为方程(1)的系数域。方程(1)有4个根：.._|-P+VP2-4q.._|-p+Vp2-4qX1_a]2，X22， .._|-p-VP2-4q.._|-p-VP2-4qX3_a]2，X42" 这表明方程(1)可用根式求解。我们来仔细分析方程(1)可用根式求解 的过程。先要开平方Vp2-4q，把它记作d，则d2eK，但是d不属于K.令 K(d)={a+bdIa,beK},则K(d)是一个域，称它为K 添加d得到的域，记作。接着要开平方 把它记作4，则42eK1；
$K2=Ki(dO。还要 开平方把它记作4，则I2ek2，$k3=k2 (d2)。于是 xi=x2=-!]_,x3=d2,x4=_d2.从而x1;x2,x3,x4GK3。因此在K3[x]中多项式 x4 +px2+q可以分解成一次因式的乘积，从而是x4+pX2+q的分裂域，并 且有KgKicK2cK3o由此抽象出下述概念：
设f(x)是域F上次数大于0且首项系数为1的多项式，并且f(x)的分裂域 为E，如果存在一 个域LgE，且有FgFr+1=L， 其中Fi+1=Fi(di),且dinieFii=l,…,r，那么方程f(x)=0称为在域F上是根式 可解的。

于是按照上述定义方程(1)是根式可解的。现在来探索为什么方程(1) 是根式可解的。观察方程(1)的4个根，发现它们之间有系数属于K的下述关系：
X]+X。-0X3+X4-0.(2) 把x^x^x^xdii成的集合记作Q={1,2,3,4}。在4元对称群54中，有且只有 下述8个置换保持(2)式成立：
(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1423),(1324), 它们组成的集合0是54的一个子群，称它为方程 (1)关于域K的群。

方程(1)的4个根其系数属于1^的关系除了 (2)式外还有：
Xi2-x32=d,X12-x42=d,x22-x42=d,x22-x32=d,(3) G中保持⑶式成立的所有置换组成的集合H1={⑴,(12),(34),(12)(34)} 是G的一个子群，称它为方程(1)关于域A的群。

方程(1)的4个根其系数属于的关系除了(2)、（3)式外还有：
x厂x2=2dl5(4) 札中保持(4)式成立的所有置换组成的集合比={(1),(34)}是札的一个 子群，称它为方程(1)关于域的群。

方程(1)的4个根其系数属于的关系除了(2)、（3)、（4)式外还有：
x3-x4=2d2,(5) H2中保持⑶式成立的所有置换组成的集合丨是4的一个子群，称它为 方程⑴关于域k3的群。

由于指数为2的子群是正规子群，因此1^是G的正规子群，比是札的 正规子群，士是比的正规子群。又有G/Hi,H1/H2,H2/H3都是交换群，因此G是可 解群。由此猜测有下述结论：
方程根式可解的判别准则：在特征为0的域F上的方程f(x)=0根式可解 的充分必要条件是 这个方程关于域F的群是可解群。

为了论证这个猜测，我们继续“解剖麻雀”。方程(1)关于域K的群G中 每个元素0保持方程(1)的根之间其系数属于K的全部代数关系不变，从而0保持K的任一元素不变，即。在K上的限制是K上的恒等变换。由于是多项式x4+px2+q 的分裂域，即是包含方程(1)的全部根X1;X2,X3,X4的最小的域，且 d=Xi2-X32,d1=x1,d2=X3，以及oes4，因此0引起了k3到自身的一个双射。还可以 证明。引起的这个映射(仍记作0)保持K3的加法和乘法运算，因此0是K3的一个自 同构。于是引出一个概念：
设域E包含域F，域E的一个自同构如果在F上的限制是F上的恒等变换， 那么把它称为域E的一个F-自同构。容易看出，域E的所有F-自同构组成的集合对 于映射的乘法成为一个群，称它为E在F上的伽罗瓦群，记作Gal(E/F)。

于是。eGal(K3/K)，从而GcGal(K3/K)。反之，任给TGGal(K3/K)，由 于X^X2,X3,X4两两不等，因此t可以看成是D={1,2,3,4}上的一个置换，并且t保持 方程(1)的根之间其系数属于K的全部代数关系不变，从而TGG。因此G=Gal(K3/K)。

同理，=Gal(K3/K±)，H2=Gal(K3/K2)，H3=Gal(K3/K3)。这样我们看到了一个有 趣的事情：
KcKicK2cK3, Gal(K3/K)^Gal(K3/K±)^Gal(K3/K2)^Gal(K3/K3). 设G是域E的一个自同构群，E中被G的每个元素保持不动的元素组成 的集合是E的一个子域，称它为G的不动域，记作Inv(G)。

设域E包含域F，则称E是F上的域扩张，记作E/F;E的包含F的任一子 域称为E/F的中间域。在上述例子中，Gal(K^K)的不动域恰好是K，Gal(K3/Ki) 的不动域恰好是，Gal(K3/K2)的不动域恰好是，Gal(/K3)的不动域恰好是K3，由 此引出一个概念：
如果域扩张E/F的伽罗瓦群Gal(E/F)的不动域恰好是F，那么称E/F为一 个伽罗瓦扩张。从上述有趣的事情我们猜测有下述结论：
设E/F为一个有限伽罗瓦扩张，记G=Gal(E/F)，则在E/F的所有中间域 组成的集合与G的所有子群组成的集合之间存在一个一一对应：中间域K对应于 Gal(E/K)，子群H对应于它的不动域Inv(H)，Inv(Gal(E/K))=K;这个一一对应是反 包含的，即 KicK2^Gal(E/Ki)^Gal(E/K2).伽罗瓦发现并且证明了这个结论，现在称它为伽罗瓦基本定理（这里 没有写出伽罗瓦基本定理的其它3个结论）。伽罗瓦运用这个基本定理证明了方 程根式可解的判别准则。

4.抓住主线，全局在胸，科学地安排讲授体系 高等代数课程的主线是研究线性空间及其态射（即线性映射）。为了 自然而然地引出线性空间的概念，《高等代数》（丘维声著，科学出版社）的第 一章讲线性方程组的解法和解的情况的判定;第二章讲行列式，给出了n个方程的 n元线性方程组有唯一解的充分必要条件；
第三章为了对数域K上的n元线性方程 组直接从系数和常数项判断它有没有解和有多少解，在所有n元有序数组组成的 集合Kn中引进加法和数量乘法运算，它们满足8条运算法则，我们抓住几何空间， Kn的共同的主要特征自然而然地引出了线性空间的概念，然后去研究线性空间 的结构。讲完线性空间之后，一种讲法是立即讲线性映射。但是研究线性映射一 方面是从映射的角度讲线性映射的运算，线性映射组成的集合的结构，以及线性 映射的核与像；
另一方面是研究线性映射的矩阵表示，特别是研究线性变换的最 简单形式的矩阵表示。因此我们在第四章讲矩阵的运算，既为研究线性映射打下 基础，又为信息时代迅速崛起的离散数学中应用越来越广泛的矩阵加强了矩阵的 分块、矩阵的打洞的训练。为了研究线性变换的最简单形式的矩阵表示，需要用 到一元多项式环的通用性质，因此我们在第五章讲一元多项式环的结构及其通用 性质，并且水到渠成地引出了环和域的概念。第六章讲线性映射（包括线性变换 和线性函数）。为了在线性空间中引进度量概念，第七章讲双线性函数，并且用 到研究二次型上。第八章讲具有度量的线性空间，以及与度量有关的变换。第九 章讲n元多项式环。

解析几何课程的主线是研究几何空间的线性结构和度量结构，在此基 础上并且用变换的观点研究图形的性质和分类。

近世代数课程的主线是研究代数系统（群，环，域，模）的结构及其 态射（即保持运算的映射）。群论的主线是群同态；
环论的主线是环的理想；
域 论的主线是域扩张，其目标是伽罗瓦理论。

5.精心设计板书，清晰现思维过程 例如，我在讲了线性空间V的子空间的交与和的概念后，一边讲述， 一边板书如下：[板书第1行，预留11个字的空位]设％,V2是数域K上线性空间V的有限 维子空间，则[讲述]有％与2的和与交；
[板书第2行，在每个子空间前面预留3个 字母的空位]Vi+v2Viv2Vinv2[讲述]%+v2是不是有限维的？如果是，它的维数与 mn4的维数有什么关系？ [在板书第2行的每个子空间前面上填写3个字母] (11111(3^+V2)dimV±dimV2dim(ViHV2) [讲述]让我们解剖一个“麻雀”：几何空间中，设与7T2是过定点0的两 个相交平面，在板书第1，2行的右侧画图，本文就不画了] [一边讲述，一边在图上继续画]几何空间中，任意一个向量a可以表示 成a=a±+a2，其中a2eji：2。于是％+等于几何空间。又%n712是过定点0的一条直 线，因此 [在图下方板书]dim(ji：i+jt2)=3=2+2-1=dimjt!+dimjt2-fljt2)- [讲述]由此我们猜测对于线性空间V的有限维子空间V2有下述结论：
[在板书第2行上填写]dim(+V2)=dim+dimV2-dim(ViHV2) [讲述]下面我们来证明这个猜测是真的。

[板书证明过程，本文就不写出了] [讲述]这样我们得到了子空间的交与和的维数公式：
[在板书第1行预留的11个字的空位上填写]定理1(子空间的维数公式） 设％,%是数域K上线性空间V的有限维子空间，则这样讲课和板书是提出了问题， 引导学生去探索，从几何空间的例子，猜测出子空间的维数公式，然后才去证明。

这有利于培养学生的创新能力。

以上是我们在几十年的教学中用数学的思维方式教数学的一些做法， 与老师们交流。