立足教材编拟数学试题以若干高考模拟填空题为例:填空题

立足教材编拟数学试题以若干高考模拟填空题为例

立足教材编拟数学试题，更贴近学生的学习实际，在一 定程度上可以减轻学生过重的学习负担（目前，题海战术横 行，教辅资料泛滥），对日常教学起到良好的导向作用，使 教学和考试变得更一致、和谐。此外，当下的高考命题倡导 知识立意和能力立意并重，增强题目的基础性和综合性，突 出选拔的客观性和公平性，这也是立足教材命制数学试题的 内驱力所在。

那么，如何立足教材编拟数学试题呢？怎样才能使所编 拟的数学试题能测出学生的真水平呢？那些源于教材的高 质量数学试题是如何想出来的呢？笔者将结合自身的命题 研究和实践，举例分析，望能抛砖引玉。

一、立足教材编拟数学试题的方法与步骤 立足教材编拟数学试题的主要方法是改编，而改编的主 要方法有：保持条件，探求更多结论；
弱化条件或增强条件， 探求新的结论；
保持结论，探求充分条件；
叠加与组合；
推 广（一般化）与演绎（特殊化）；
类比与对偶；
等价转化（变化外在形式，本质不变）；
数学模型法等。

立足教材编拟数学试题的主要步骤有：（1）立意与选 材。根据一定的考查目的和中心（立意）选材，立意要鲜明， 选材要服务于立意。（2）搭架与制坯。有了恰当的题材后， 应采用与之相适应的构架，做到主干硬朗、层次分明；
有了 恰当的构架后，可形成题坯，把题设和提问写出，不必忙于 文字处理，题坯应具有一定弹性，便于加工与调整。（3） 加工与调整。加工与调整主要是为了确保试题的科学性、适 纲性和难度适宜性。科学性方面，应注意题意的可知性、题 设的充分性、题设条件之间的独立性和相容性以及数学对象 的存在性。（4）复核与审查。对编拟好的试题必须反复核 查，仔细推敲，严防疏漏和失误，尤其是杜绝科学性错误。

这通常需要第二个命题人参与进行，且要防止先入为主，力 求从新的角度考察试题，并对文字、公式、附图甚至标点符 号等一一推敲。

【案例1】基于追寻数学美的试题改编素材（苏教版高 中数学必修2第35页第2题）某空间几何体的三视图如图1所 示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系。

图1灵 感与动机：图1中，3个全等的等腰直角三角形给人以一 定的美感，但是，摆放的形式缺乏统一美。若将3个三角形 的摆放变得更加统一（如图2所示），岂不完美？那么，空 间中是否存在这样的几何体呢？经过一番思考，笔者发现在正方体ABCD－A1B1C1D1中存在这样的几何体，即四面体D1－ ABD（如图3所示）。

图2图3 思考与斟酌：能否围绕图3所示的几何体编拟一道有关 面积或体积的计算型填空题呢？由于三视图已从江苏高考 《考试说明》中删去了，因此不宜以三视图来表征该几何体。

考虑到图形语言可以转化为文字、符号语言，故可通过叙述 “在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，且 AB=BC=CD”确定该几何的形状。若再给出长度（不妨设 AB=BC=CD=1 cm），就可确定该几何体的大小。再结合球的 表面积计算，就可命制一道交汇自然、简洁新颖的试题—— 试题（江苏省海安县2010～2011学年度高二期末调研考 试第13题）在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC， 且AB=BC=CD=1 cm，则该四面体的外接球的表面积为cm2。

【案例2】基于考查更高能级要求知识点的试题改编素 材（苏教版高中数学必修4第68页第8题）如图4，在任意四 边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：AB+DC=2EF。

图4 灵感与动机：本题图形对称，结论优美，但是考查的主 要是平面向量的线性运算（B级知识点），那么能否基于本 题的图形和结论编拟一道考查平面向量数量积（C级知识点） 的试题呢？本题结论的证明很简单：如图5，取AC的中点G， 构造△GEF，再利用向量加法的三角形法则。因此，若给定AB、EF、DC的长度，则△GEF就确定了，便可以求出其中任 意两个向量的数量积了。

图5 思考与斟酌：为了保证△GEF存在，不妨设AB、EF、DC 的长度依次为1、2、5，从而编拟如下题坯：在平面四边形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AB、EF、CD的长度依次 为1、2、5，则AB·CD的值为。本题属于中等题，解题时只 要先找出等式AB+DC=2EF，再平方代入数据即可。若要改编 成较难题，还需再次隐藏已求结论“AB·CD=－1”，并添加 新条件，探求新结论。从形式对称的角度看，若再给出条件 “DA·BC的值”，能否求出AC·BD的值呢？经过一番尝试， 笔者惊喜地发现了一个有趣的结论：如图6，在任意四边形 ABCD中，AC·BD=AD·BC+AB·CD。这样，一道考查平面向量 数量积的较难题就命制出来了—— 图6 试题（江苏省南通市2013届高三第三次模拟考试第13题 改动）在平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，且 AB=1，EF=2，CD=5。若AD·BC=15，则AC·BD的值为。

【案例3】基于提高问题难度的试题改编 素材（苏教版高中数学必修2第117页第2题）过点P(－3， －4)作直线l，当l的斜率为何值时，l与圆(x－1)2+(y+2)2=4 相交于A、B两点，且AB=2？ 灵感与动机：本题考查了直线方程与圆的方程2个C级知识点，只是问题过于简单，那么能否基于本题编拟出一道较 难题呢？ 思考与斟酌：可以变换条件，以增加难度：过点P(－3， －4)作直线l，当l的斜率为何值时，l与圆(x－1)2+(y+2)2=4 相交于A、B两点，且PA=AB？由此引入变量，以增加难度：
过直线2x+y+10=0上一点P作直线l，与圆(x－1)2+(y+2)2=4 相交于A、B两点，且PA=AB，则点P横坐标的取值范围是。接 着再引入变量，并逆向思维，以增加难度：若直线2x+y+10=0 上存在一点P，满足过点P可作射线与圆(x－ 1)2+(y+2)2=r2(r>0)相交于A、B两点，且PA=AB，则r的取值 范围是。

最后再变换条件和结论，以增加难度：设圆C1：
(x+1)2+(y－6)2=25，圆C2：(x－5)2+(y+2)2=r2(r>0)，若 圆C1上存在一点P，使得过点P可作射线与圆C2相交于A、B两 点，且PA=2AB，则r的取值范围是。本题难度明显提高，由 定圆上一点向动圆作满足题设的射线，蕴含着“静止与变化 是相对的”的基本观念。不过，倘若再次逆向思考，由动圆 上一点向定圆作满足题设的射线呢？经过一番探究，笔者发 现这个问题在解答时更有旨趣，更能考查思维品质，体现数 学美。在此基础上，为了“多考一点想，少考一点算”，笔 者利用勾股数对数据进行了简化处理，命制出如下试题—— 试题（江苏省南通市2015届高三第二次模拟考试第14题 改动）在平面直角坐标系xOy中，设圆C1：(x+1)2+(y－6)2=25， 圆C2：(x－17)2+(y+30)2=r2(r>0)，若圆C2上存在一点P，使得过点P可作射线与圆C1相交于A、B两点，且PA=2AB，则r 的取值范围是。

二、立足教材编拟数学试题的反思与感悟 （一）价值取向与操作原则 立足教材编拟数学试题通常应选取核心知识为载体，考 查核心思想和方法，并且更多地着眼于有普遍价值或实际意 义的问题以及一般的数学思想方法。在选材时视野要宽广， 选取的素材可以是教材中的例题和习题，也可以是定理和公 式的推导过程以及“阅读链接”“探究拓展”等内容。

立足教材编拟数学试题除了应遵循试题编拟的一些基 本原则（科学性、公平性、适纲性等）之外，还应努力使所 编拟的试题自然、本原（避免拼凑的痕迹），具有一定的探 究性和可发展性，能让解题者有所启迪，增长智慧；
此外应 努力使所编拟的试题体现数学美（对称美、和谐美、简洁美、 统一美、奇异美等），能给解题者以美观、大气之感。

（二）认识误区与改进建议 在传统观念里存在一个认知误区：认为改编自教材的试 题大多只能是容易题，至多是中等题（历年高考中对知识层 面的考查基本直接源于教材，并且大多以容易题呈现）。这 也是不少教师和学生在备考复习中舍弃教材，投入题海的重 要原因之一。

事实上，基于教材也可以编拟出有一定难度和新意的好 题，关键是看命题人的编题意识和技术水平。比如，2016年高考江苏卷填空题第14题便是这样的好题。因此笔者建议， 在各级考试中命制填空题“小把关题”时应尽量基于教材进 行改编，并且高考《考试说明》可明确指出试题中源于教材 的改编题所占的大致比例。

最后想要指出的是，立足教材编拟数学试题要求教师真 正做到充分领悟教材的编写意图，合理使用教材，最大化教 材的教学以及备考功能。它仍有着较大的探索和生长空间， 会随着数学考试命题的不断实践以及命题技术和理论水平 的不断提高而逐步完善与成熟。

[www. DyLW.net/yuwen/提供论文代写和代写论文服务] 参考文献：
［1］ 赵思林，翁凯庆.高考数学命题“能力立意”的 问题与对策［J］.数学教育学报，2013（8）. ［2］ 任子朝，陈昂.加快高考内容改革 增强基础性和 综合性［J］.数学通报，2016（1）