HPM课例评价框架的建构以三角形中位线定理为例 三角形的中位线定理

HPM课例评价框架的建构以三角形中位线定理为例

近年来，由高校研究者与中学教师合作开发的数学史融入数 学教学的课例不断增多。一方面，在教学实践中产生了数学 史融入数学教学的原则、方式和价值等理论成果，但是在一 个HPM课例实施过后如何对其进行评价，还缺少理论方面的 指导。另一方面，有一些课例(如“椭圆的概念”“对数的 概念”)取得了理想的效果，受到了学生的喜爱，但是也有 一些课例由于史料选取不当、应用方式单一等因素而没有发 挥数学史应有的教育价值。

为了更好地传播HPM的教学理念，提升HPM视角下的教学 质量，我们需要一个HPM课例评价框架来促进教学实践的发 展。同时，这样的评价框架可以帮助教师在实践的基础上分 析与反思HPM教学，促进自身的专业发展。因此，本文对一 次HPM视角下“三角形中位线定理”的教学进行评析，初步 尝试建立HPM课例评价框架，为HPM教学实践、课例开发以及 分析提供借鉴。

一、课例简述 （一）历史素材及其分析 古巴比伦泥板记载着六兄弟分割三角形土地的问题：已 知三角形的面积和高，用平行于底边且间距相等的直线来分 割三角形。显然，古代两河流域的人们已经知道分割三角形 的这些平行线段的长度是按照等差数列递增的，且三角形中位线等于底边的一半。同时，这也说明三角形的中位线起源 于现实中的土地分割问题。

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》 中没有直接讨论中位线的性质，而是给出了更一般的命题：
“将三角形两腰分割成成比例的线段，则分点连线段平行于 底边。”欧几里得将线段关系转化为三角形面积关系，再推 出直线位置关系。这种方法同样适用于三角形中位线定理的 证明：如图1，在△ABC中，AD=DB，AE=EC。连接BE和DC，则 有S△EAD=S△EDB，S△DAE=S△DEC。于是得S△EDB =S△DEC， 故知DE∥BC。另一方面，因为S△EBC =S△ABE= 2S△BDE， 而△EBC和△BDE是等高的，所以BC=2DE。

图1 公元3世纪，中国数学家刘徽在《九章算术注》中通过 如图2或图3所示的割补法来推导三角形面积公式。从中可以 看出，中国古代数学家已经知道中位线与底边的位置关系和 大小关系。刘徽的第一种方法是：取三角形两腰的中点，过 中点作底边的垂线，将垂线外侧的小三角形补到上方的相应 位置（图2），得到一个矩形，该矩形的面积等于原三角形 的面积，它的长等于原三角形的高，宽等于原三角形底边的 一半，故三角形的面积等于半底乘以高。刘徽的第二种方法 是：连接两腰中点（中位线），过顶点作中位线的垂线，将 中位线上方的小三角形分割成两个小直角三角形，将它们补 到下方的相应位置（图3），得到一个矩形，该矩形的面积等于原三角形的面积，它的长等于原三角形的底边，宽等于 原三角形高的一半，故三角形的面积等于底乘以半高。事实 上，在图3中将中位线上方的两个小直角三角形补到下方的 相应位置时，所得到的四边形是矩形（因为一组对边平行且 相等），所以三角形的中位线与底边平行，且等于底边的一 半。

图2图3 19世纪末20世纪初的几何教科书大多数采用图4所示的 方法来证明三角形中位线定理：过点C作AB的平行线，交DE 的延长线于点F，易证 △ADE≌△CFE，四边形DBCF为平行四 边形，从而得到DE∥BC，BC=DF=2DE。

图4 （二）教学目标与重难点 “三角形中位线定理”是沪教版初中数学教材八年级第 22章“平行四边形”中的内容。

图5 教材通过剪纸活动将一个三角形拼接成平行四边形，以 证明三角形中位线定理。本节课的教学对象为上海市某中学 初三的学生，其学习基础良好。

结合三角形中位线定理的历史，教师将本节课的教学目 标设定为：（1）学习三角形中位线的概念，理解三角形中 位线定理并加以证明；
（2）通过剪纸的方法引入三角形中 位线的概念，站在历史的角度，通过转化的思想，利用不同的方法证明三角形中位线定理，并将这些方法加以拓展；
（3） 通过对三角形中位线的概念及其定理的学习，体验转化的数 学思想。又将本节课的教学重难点设定为：三角形中位线定 理的证明；
体验证明过程中的转化思想，并将其应用于其他 题型。

（三）教学过程 二、课例评析 根据HPM视角下数学史选取的原则、应用的方式以及教 育的价值，结合HPM教学实践经验，我们总结出一节“好的” HPM课需要具备四个方面的特点：如图6所示。下面，我们利 用这四个指标对本节课进行评析。

图6 （一）史料的适切性数学史材料的选取必须遵循五个原 则：趣味性、科学性、有效性、可学性、新颖性。其中，趣 味性是指数学史料能够涉及数学背后的故事，并让学生觉得 有趣。科学性是指数学史料符合史实，不是胡编乱造的，没 有数学上的错误。有效性是指数学史料满足教学目标的要求， 不是为了数学史而数学史。可学性是指数学史料的难易程度 符合学生的认知基础，易于学生接受。新颖性是指数学史料 有新意、有特色，不是老调重弹、人云亦云。

本节课选取的史料有古巴比伦泥板记载的三角形土地 分割问题、古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中的证明 方法、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中的证明方法、19世纪末20世纪初几何教科书中的证明方法。四则史料皆有 明确依据，符合史实，符合科学性原则。四则史料分别对应 于让学生“理解中位线的由来”“理解中位线定理并加以证 明”的教学目标，符合有效性原则。古巴比伦泥板的土地分 割问题符合学生的认知基础，可学性较好；
而欧几里得与刘 徽的证明方法有点脱离学生的认知基础，可学性稍差。四则 史料的选取皆有新意；
尤其土地分割问题经过改编成为剪纸 活动，在新颖性和趣味性上比较突出。

（二）方式的多元性数学史应用的方式有附加式、复制 式、顺应式、重构式。附加式是指展示有关数学家的图片， 讲述逸闻趣事等。复制式是指直接采用历史上的数学问题、 解法等。顺应式是指根据历史材料编制数学问题。重构式是 数学史应用的最高层次，是指追溯思想的历史起源，通过借 鉴，重构知识的发生、发展历史，以寻求激发学习动机的最 佳方式。将数学史融入数学教学时，要恰当、灵活地使用这 四种方式。

本节课的本意是重构中位线的历史，让学生通过探究活 动，经历中位线定理的发现、证明过程，但是由于在剪纸活 动后，几乎成了教师的一言堂，因而算不上真正的重构式。

将古巴比伦泥板上记载的土地分割问题改编为剪纸活动，使 用了顺应式。直接采用欧几里得、刘徽以及早期教科书中的 证明方法，则属于复制式。使用顺应式的剪纸活动激发了学 生的学习动机，较为合理;而使用复制式的几种证明方法的介绍有些生硬，未能很好地与学生的认知基础相契合。此外， 本节课中没有使用附加式，缺乏中位线定理背后的人文元素。

（三）融入的自然性 数学史融入的自然性，是指数学史知识在数学教学中是 自然出现的，而不是生硬添加的。弗赖登塔尔认为，力求用 发生的方法来教概念并不意味着必须完全按照知识的发展 顺序，甚至连走过的弯路与死胡同都不加删除地教；
发生的 方法既非逻辑概念，又非历史概念，也不是心理概念。所以， 数学史融入数学教学不是让学生原原本本地重蹈人类的历 史，而是要考虑逻辑顺序、历史顺序和心理顺序三者的统一。

只有达到三者的统一，才能将数学史自然地融入数学教学；

否则，就会出现生硬添加数学史的情况。

下面截取本节课中的两个片段进行分析。

【片段1】 在学生给出有关中位线性质的猜想后，教师直接给出图 7，介绍并且板演欧几里得的面积法；
接着给出图8，要求直 角三角形斜边上的高BD的长度，巩固利用面积解决长度问题 的转化思想。但是由于时间原因，教师略去了作为面积思想 应用的“角平分线定理”的证明。

图7图8 评析：在学生给出中位线性质的猜测后，没有适当的过 渡，教师便直接给出历史上欧几里得对中位线定理的证明。

因此，此处没有很好地将数学史与课堂教学相融合。实际上，欧几里得的证明用到了等积变换的思想，学生对此并不熟 悉；
在没有前面的课堂过程作为铺垫的情况下采用该方法， 没有考虑知识出现的必要性。

【片段2】 教师要求学生完成以下任务：做出手里得到的三角形的 中位线，并利用手里的工具证明三角形的面积等于“底乘高 除以二”。这时，课堂剩余的时间已然不多，学生还没有给 出有效的方法，教师就直接给出图9，讲解刘徽的割补法证 明定理。其实，有一名学生得出了教材中的方法：沿中位线 剪开，将得到的小三角形和梯形拼成一个平行四边形。但是， 教师对这一探究成果视而不见。

图9 评析：在此片段中，由于学生没有一下子给出刘徽的方 法，教师就直接自己来讲授。因此，教师没有充分考虑学生 的认知基础。实际上，刘徽的两种割补方法都需要割两次， 不容易通过探究得出；
而同样体现刘徽割补思想的教材上的 方法更容易想到。我们应该以学生的认知基础为起点，在学 生给出方法的基础上，将数学史上的方法与学生的方法建立 联系。例如，根据学生的探究，教师可以采用图10所示的方 法来完成三角形面积公式的证明——这里最后的方法实际 上就是刘徽的方法。

图10 （四）价值的深刻性数学史的教育价值包括“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”和“德 育之效”。“知识之谐”是指数学史揭示了数学主题（概念、 公式、定理等）的自然发生、发展过程，能创造学生的学习 动机，促进学生的理解；
“方法之美”是指通过古今不同的 思想方法，能拓宽学生的思维；
“探究之乐”是指基于历史 材料提出数学问题，提供探究机会，能让学生积累数学活动 经验，获得成功的体验；
“能力之助”是指数学史在培养学 生核心素养以及阅读、表达等方面能力上的帮助；
“文化之 魅”是指数学史揭示了数学与现实生活以及人类其他知识领 域之间的联系，能让学生感受数学文化的多元性；
“德育之 效”是指数学史在培养学生积极的数学情感、信念、品行、 操守等方面的有效性。将数学史融入数学教学时，要充分彰 显这六大价值。

首先从教学目标中可以看到，本节课没有考虑到有关数 学文化内涵与学生数学情感的目标，说明教师对数学史“文 化之魅”“德育之效”的教育价值是比较忽视的。

下面截取本节课中的两个片段作进一步分析。

【片段3】 教师出示任务1：用一把剪刀将一个三角形分成面积相 等的两份。学生给出的方案如图11所示。

图11 教师出示任务2：用一把剪刀将一个三角形分成面积相 等的四份。一组学生首先想出如图12所示的四等分三角形一底边的方案。另一组学生接着在教师的鼓励下给出如图13所 示的方案，从而引出中位线的概念。

图12图13 评析：复习中线的性质，为中位线概念的出现作铺垫， 解决传统课堂上直接抛出中位线的问题，体现了数学史“知 识之谐”的教育价值。以历史起点为出发点设计剪纸活动， 重构三角形中位线定理的发现历程，为学生下一步猜想出三 角形中位线的性质作铺垫，体现了数学史“探究之乐”的教 育价值。但是在反馈中，有学生问：“中位线定理有何应用？” 表明在引入部分，教师忽视了中位线概念的“源”——古代 两河流域先民分土地的问题，致使学生不了解中位线之用。

反映了本节课数学史教育价值的不深刻——没有体现“文化 之魅”。

【片段4】 师好的。前面我们接触到三角形中的另外一个比较重要 的线段，并且命名为“中位线”，那么接下来我们该怎么认 识中位线呢？ 生要看中位线的性质。

师对，我们要研究它的性质。（在图12中指）这条是中 位线，它有什么性质呢？ 生如果连接两个中点，则会得到两个三角形相似。

师对，这个小的三角形与大的三角形相似。让我们来研 究这条中位线的性质。生它是底的一半。

师还有吗？ 生它与底边平行。

师这些是我们的猜想。接下来我们就证明这个定理，我 们称它为“三角形中位线定理”。

评析：在本环节中，教师由一个学生的猜想（该生很可 能已经看过教材上的内容，因而它可能是假猜想）便下结论， 未能体现数学史“探究之乐”的教育价值。在反馈中，也有 学生提问：“为什么我们要证明三角形中位线定理？”因此， 教师应该多问一些“为什么”。实际上，在片段3中，学生 通过剪纸，得到四个两两全等的三角形。这里，教师应该设 问：为什么这四个三角形是全等的？如果不对这个问题进行 探究，又怎能凭空发现中位线的性质？ 此外，在三角形中位线定理的证明活动中，虽然体现了 一定的“方法之美”，但是学生感受不到这些证明方法的独 到之处。实际上，中位线定理背后有着丰富的历史文化内涵， 古代巴比伦、希腊、中国的数学文献中都有相关素材。但是 在教学中，教师剥离了文化元素，只字不提欧几里得、刘徽 等数学家的名字，也只字未提古巴比伦土地分割问题，因而 未能让学生感受到数学的悠久历史与多元文化，使得数学史 “文化之魅”的教育价值荡然无存。而且，由于剪纸活动没 有得到充分利用，学生在课堂上失去了穿越时空与古人对话 的机会，因而本节课也未能彰显数学史“德育之效”的教育价值。三、教学启示 从以上课例评析中可以得知，要上好一节HPM课，需要 考虑以下因素。首先，要恰当、灵活地选用数学史。并不是 所有的历史素材都适合一节课的教学，要在五项原则的指导 下选取适合的历史素材。历史素材的应用也不是只有附加式 或复制式，可以在不同的环节灵活采取不同的方式。比如上 述课例中，剪纸活动不应该只在引入环节中出现，也可以运 用在证明活动中，从而真正采用重构的方式将数学史与课堂 的每个环节融为一体；
而附加式的使用也可以增加课堂的人 文色彩。

其次，要将数学史自然地融入课堂。数学史是古人与今 人之间的一座桥梁，能让学生亲近数学，热爱数学。将数学 史融入数学教学，不是为了数学史而数学史，而要充分考虑 学生的认知基础，让学生真正参与到课堂中。在将数学史融 入数学教学的过程中，要充分注重学生的活动，在学生活动 的基础上让数学史自然地出现。比如上述课例中，除了剪纸 活动之外，教师全程讲解，且忽视课堂上出现的有效资源， 学生没有参与到课堂主体当中，数学史也就变成了“天外来 客”。

最后，要充分彰显数学史的教育价值。数学史有着丰富 的教育价值。在将数学史融入数学教学的过程中，要深度挖 掘、充分发挥数学史材料的教育价值。比如，上述课例的教 学目标和教学过程就没有很好地展现出所选用的数学史材料的教育价值。首先，参照数学史自然地引出三角形中位线 的概念，体现了“知识之谐”；
让学生拼图解决问题，体现 了“探究之乐”。然而，教师全程讲解，没有体现数学史促 进探究的价值；
同时，证明的讲解过程过于仓促，没有体现 方法背后的深刻数学思想，所以对于“方法之美”的体现还 不充足。其次，所选用的数学史材料有古巴比伦的泥板、古 希腊的《几何原本》以及中国古代的《九章算术注》，体现 了数学文化的多元性；
可是，将概念、性质与情境剥离，失 去了一次传递数学文化的机会。此外，所选用的历史素材也 有着使学生与古人亲近，培养数学自信心的德育效果；
但是， 由于过于侧重证明方法的讲授，也没有体现出这一价值。

*本文系上海市教育科学研究重大项目“中小学数学教 科书的有效设计”的子课题“中小学数学教科书中数学文化 素材的案例设计”(编号：D1508)的系列研究成果之一。

参考文献：
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