浅谈二元一次方程组课堂教学中变式法的应用 用代入法解二元一次方程组

浅谈二元一次方程组课堂教学中变式法的应用

于是学生在无数重复的题海中疲于奔命，而最后的效果却差 强人意，数学成绩得不到显著提升。在新课标指导下，数学 的教育教学方法应不断进步、革新。教学中不限于掌握课本 简单知识，而是在学生初步掌握基础知识、技能后，应对学 习知识进一步的深化和熟练，使学生在今后学习中学会运用 课本的知识举一反三，而“变式教学”的方法是十分有效的 手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题 进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；

变换问题中的条件或结论；
转换问题的内容和形式；
配置实 际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使 学生掌握数学对象的本质属性。

方程是初中阶段代数的重要内容，贯穿初中的各个在学 习阶段，也是重要的数学方法，掌握好方程解法是极为重要 的。在学习二元一次方程及二元一次方程组之前学生已经熟 悉一元一次方程的解法，因此教学中把二元转化为一元是关 键，也就是消元。用代入法和加减法就能实现消元，但教学 中发现并不是每个学生都能根据二元一次方程组的特点选 择适当的解法，灵活正确解出方程。有的教师教学中会让学 生做大量的习题，而缺少进行的变式教学及方法的概括。以 下是本人在二元一次方程组解法教学中变式方法的初步应用。

出示较为简单的方程组例题：
x+2y=-3 ① x-3y=2 ② 先要求学生用代入法来解，由学生观察、讨论、分析得 出，由x=-3-2y或x=3y+2代入另一个方程即可解出y的值，再 把y的值代入方程中的任意一个就可解出x得值。然后推荐学 生代表解说过程，教师在黑板板演。

接着问除了代入法还有别的更简便办法消去x吗？再让 学生认真观察方程组中未知数x系数的特点？发现x的系数 相同，如果两个方程两边分别相减即用加减法来解便可以消 去x，显然比用代入法更加简便。学生说过程，教师板演。

学生通过比较初步体会选择适合方法的重要性。

变式一 2x+2y=-3 ① 2x-3y=2 ② 学生观察、比较方程组与上一个方程组的异同点。用代 入法解时很多学生会习惯把方程转化为x=-y- 32 或x=32y+1 ， 显然再代入方程计算较为麻烦。提醒学生仔细观察方程特点， 方程①、②中的2x是相同的，因此用整体2x=-2y-3或2x=3y+2代入另一个方程较为简便，使学生体会到整体的思想。

能否用加减消元法解这个方程组呢？引导学生观察方 程组中x的系数，容易发现两个方程中x的系数相同都是2， 选择用加减消元法，由①-②可消去x来解方程组显然更为简 便。

思考：通过解以上这两个方程组你可有什么心得？让学 生用自己的语言来表达。

变式二-2x+2y=-3① 2x-3y=2 ② 观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？选择什 么方法可简便消去x呢？通过提问学生有目标性的观察方程 的特点，发现未知数x的系数相反，如把两个方程的两边对 应相加，便可消掉未知数x。比用代入消元法解方程明显简 便.。

让学生想一想通过解前面三个方程组，你发现两个方程 中同一未知数的系数什么条件下可用加减消元法？引导启 发学生反思后总结：两个二元一次方程中同一未知数的系数 相反或相等时（系数的绝对值相等），将两个方程的两边分 别相加或相减，就可以消去这个未知数，得到一个一元一次方程，从而达到消元解方程组的目的。

变式三：4x+2y=-3 ①2x-3y=2 ② 引导学生观察方程未知数系数的特点，接着问：这个方 程组用代入消元法来解简便吗？让学生尝试用代入法来解， 显然用代入消元法计算复杂不简便。接着问：本例可用加减 消元法来解吗？这两个方程直接相加减能消去某个未知数 吗？显然不能，为什么？那怎样才能使方程组中的某个未知 数的系数的绝对值相等呢？通过这一系列的提问，引发学生 思考，启发学生仔细观察方程组的特点，发现x的系数成整 数倍关系。如果我们把②x2，就可得4x-6y=4 ③，再由①- ③就可消去x，从而达到消元解方程组。

反思：通过本例你能总结出什么条件下也可用加减消元 法解二元一次方程组呢？ 变式四：-2x+2y=-3 ①5x-3y =2 ② 想想这个二元一次方程组还可以用加减消元法来解 吗 ？ 显然方程组中系数，既没有绝对值相等，也没有整数倍关系。该怎样才能把某一未知数系数转化成的绝对值相等 呢？先独立思考后，再小组讨论交流，最后小组反馈说出自 己的想法。在此过程中，教师适时点拨引导，让学生发现只 要将同一未知数的系数转化成它们的最小公倍数就可以了。

由此最终分析得出两种解法：
方法一：通过由方程①×5，②×2，这样就使两个方程 中的未知数x的系数绝对值相等，再把新得的两个方程相加 就达到消元解方程的目的。

方法二：通过由①×3，②×2，也可使两个方程中的未 知数y的系数绝对值相等，从而用加减法可解得。

再引导学生对两种方法进行对比，让学生自己总结出应 选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的 未知数消元比较简便。

变式五：-2x+1+2y-1=-35x-1-3y+1=2 观察本例中二元一次方程组的特点，问：此题可以直接 用加减消元法来解吗？ 引发学生的思考、讨论，并尝试解题。学生在解的过程中发现这个方程组无法直接消元，要先去掉括号，接着移项、 合并同类项，化简整理成“标准形式”的方程组 -2x+2y=15x-3y=10，再按变式四中总结的方法进行解方程组。

变式六：-0.2x+0.3y=-3①52x-53y=2② 出示题后引导学生观察方程组，有了变式五的经验基础， 学生很容易发现此题系数有小数、分数，同样无法直接用加 减消元法来解，自然而然去思考、去讨论：如何才能也把方 程组化简成标准形式呢？ 通过学生之间的讨论交流发现：把①×10就把小数转化 成整数，把②×6就去掉了分母，从而把方程组化简成标准 形式-2x+3y=-3015x-10y=12，同样的按变式四的方法就可以 解这个方程组了。

及时让学生观察变式五和变式六的解题过程，发现其共 同点：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（化整数、 去分母、去括号，合并同类项等方式），把方程组化简整理 成标准的二元一次方程组后，再根据方程组的特点选择合适 的方法进行消元解方程。

通过这一系列变式的二元一次方程组的解法探索，学生由浅入深逐步掌握了用消元法解各种类型二元一次方程组， 师生共同梳理并归纳出解二元一次方程组的一般思路方 法：解二元一次方程组的总体思路是消元，能根据方程组的 特点正确选择用代入法或加减法，把二元一次方程转化为学 生熟悉的一元一次方程，进而解出方程组的解。进一步总结 出用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1、如果方程组 的两个方程中某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个 方程的两边分别相加，消去这个未知数；
如果未知数的系数 相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数。

2、如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那 么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出 它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍， 该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方程 组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）， 再加减消元。3、对于有括号的或系数是小数、分数的较复 杂方程组，应先化简（化整数、去分母、去括号、合并同类 项等），通常要把每个方程整理成含未知数的项在左边，常 数项在方程右边的标准形式，再作如上加减消元的考虑。

总之，本人在二元一次方程组解法教学中有目的、有意 识地引导学生从“变”中发现“不变”的本质，从“不变” 的本质中探究“变”的规律，引导学生多角度，多侧面，多 渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，帮助学生使所学的知识点融会贯通，大大地激发了学生的兴趣，保持其参与 教学活动的兴趣和热情，最终达到提高教学质量的目的，并 为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。