高等数学知识的学习是提高中学数学教师本体性知识的重要途径以高等代数_

高等数学知识的学习是提高中学数学教师本体性知识的重要途径以高等代数

近年来，教育改革，尤其是高考改革，对中学数学教育提出 了新的要求。伴随教材的更新，中学数学知识内容也进行了 更新。而大学教育对此变化反应较慢，教材更新不及时。另 一方面，大学教师对中学数学的教学内容变化不太了解。因 此造成了将来希望担任中学数学教师的大学生对高等数学 知识（指微积分、代数学、几何学等数学专业课程）的学习 不感兴趣，甚至认为只要把中学内容搞熟悉了，就可以胜任 中学教学，高等数学知识的用处不大。本文以高等代数教学 内容为例说明高等代数的知识是提升中学数学教师本体性 知识的重要途径。。

一、培养有数学素养的公民给中学数学教师提出了本体 性知识要求 1.什么是数学素养目前没有形成共识，在美国数学教师 联合会颁布的《学校数学大纲及评价标准》中给出了公民具 有数学素养的五个标准：第一，懂得数学的价值；
第二，对 自己的数学能力有信心；
第三，具有解决现实数学问题的能 力；
第四，学会数学交流；
第五，学会数学的思想方法。2.在信息化社会中，数学教育的核心目标是培养有数学 素养的公民，在我国数学课程标准总体目标中也提出了以上 五个方面的要求。

以上两个方面的培养目标为中学数学教师应该具备的 本体性知识提出了要求。

二、中学数学教师本体性知识亟待提高 1.什么是数学教师的本体性知识？数学教师的本体性 知识是指数学教师所具有的特定的学科知识，主要包括以下 四个方面：第一，数学教师应对数学的基础知识有广泛且准 确的理解，能熟练掌握相关的技能、技巧；
第二，数学教师 要了解与数学相关的基本知识以及他们之间的内在逻辑关 系；
第三，数学教师需要了解数学的发展历史和趋势、数学 对于人类社会发展的价值及其在人类生活实践中的多种表 现形态；
第四，数学教师需要掌握数学提供的独特的认识世 界的思维的工具与方法，及其创造发现过程中展现的科学精 神和人格力量。

2.数学教师对数学知识的定义。基于以上提出的数学教 师的本体性知识及要完成以上培养有数学素养的公民，这就 对中学数学教师的数学知识提出了较高的要求。什么是数学 教师的数学知识，童莉教授在其博士论文中给出了定义，是 指他知道的作为科学内容的数学知识、他理解的课程内容和 教材内容的数学知识及他在教学过程中使用的数学知识这 三个层面的数学知识。作为科学内容的数学知识即是数学教师应该具备的本体性知识。

3.汪会玲在文献中对普通中学数学教师知识结构进行 了三维度（本体性知识、条件性知识、实践性知识）调查。

调查结果显示：教师的本体性知识（调查包含数学信念、自 我评价、数学基础知识三个方面）总体得分较差，其中教师 的数学基础知识得分最低（调查主要涉及代数、数系、向量 的运算法则、中学几何、统计等方面），说明教师的数学基 础欠缺。从调查结果反映出中学数学教师的本体性知识的掌 握存在较大问题，在目前数学的基础教育改革环境下，尤其 有必要提升数学教师的本体性知识。

三、高等数学知识体系内容的学习是获得本体性知识的 重要途径 高等数学知识体系指微积分、代数学、几何学等数学专 业课程。这些知识为中学数学教师培养公民的数学素养提供 了基础理论和应用的知识源泉。只有通过高等数学知识体系 的学习，中学数学教师才能够提升自己的本体性知识。例如， 高等代数知识不仅是中学数学相关内容的继续和提高，还可 以进一步解释许多高中数学未能说清楚的问题。例如，多项 式的根及因式分解理论、线性方程组理论、向量的相关知识 等。另外，高等代数中的很多思想方法如公理化方法、结构 化方法、等价分类方法等都在中学数学中有很好的体现。下 面联系高等代数的知识说明：高等代数知识的学习是提升中 学数学教师的本体性知识的重要途径。（一）中学数学教师的本体性知识中与高等代数相关的 数学概念、法则、命题等基本知识的联系，具体情况见表1 与表2 从上表1我们可以较系统地梳理九年义务教育三个学段 中涉及的与高等代数相关的数学基础知识。

1.在“数与代数”中“实数”内容涉及高等代数中与多 项式理论类似的整除理论，因式分解理论等，进一步涉及到 近世代数、初等数论等课程；
“整式和分式”内容涉及高等 代数中多项式理论中的整除、因式分解、代数学基本定理、 二次型等理论，进一步涉及数学分析、近世代数等课程；
“方 程和方程组”和“不等式和不等式组”内容涉及高等代数中 多项式中的代数学基本定理以及线性方程组的理论，这些内 容还与数学分析等课程相关内容有关。

2.在“空间与图形”中图形的认识（点、线、面、相交 线与平行线、视图与投影等）内容涉及高等代数中向量空间 和欧式空间；
图形与变换、坐标内容涉及高等代数中向量空 间、线性变换和欧式空间等相关知识。这部分内容正是体现 了几何问题代数化。

从上表2我们可以较系统地看出高中数学教育中涉及的 与高等代数相关的数学基础知识。

3.在必修课程中高中数学知识涉及的高等代数知识包 含多项式、线性方程组、向量空间和欧式空间等内容，有些 内容更多的是出现在几何学（解析几何和高等几何）等高等数学课程。这正是体现了代数和几何的交叉，即几何问题代 数化。

4.在选修课程中有些高中数学知识，如“数系扩充与复 数”“矩阵与变换”等，直接涉及高等代数知识，包含多项 式、向量空间、矩阵、线性变换和欧式空间等内容；
有些内 容如“空间中的向量与立体几何”更多的是出现在几何学（解 析几何和高等几何），但是在高等代数的向量空间和欧式空 间也涉及，如柯西-布涅柯夫斯基不等式在代数、几何、分 析中都是较为重要的内容。

（二）高等代数的学习是弄清表1与表2中的中学数学教 师的本体性知识相互联系的需要 1.表1与表2中涉及高等代数知识不成体系的分布在中 学各个年级，高等代数的知识是这些知识的系统化和深化。

只有通过系统学习才能弄清以上知识间的联系，更好地指导 中学教学。

2.高等数学知识体系的各科是相互联系的，高等代数课 程与几何学、数学分析等课程相互交织，联系紧密。通过系 统学习才能弄透表1与表2中各知识的来龙去脉，才能更好地 组织中学教学。

3.高等代数的学习也是高中选修课程中的重要内容。要 搞好选修课程的系列课程教学，如系列1的数系扩充与复数、 系列2的空间中的向量与立体几何、系列3的初等数论的有关 知识、对称与群、系列4的矩阵与变换、初等数论的有关知识、不等式选讲等知识，必须系统学习高等代数。

（三）高等代数中蕴含丰富的数学思想方法。

作为中学数学教师必须拥有基本的数学思想方法，认识 清楚这些知识产生的背景及应用，这也是作为中学数学教师 必备的本体性知识。

1.中学数学教师应该深刻认识表1与表2这些知识产生 的背景，进而告诉学生如何应用这些知识，这也是中学数学 课程标准对数学教师提出的要求。

2.高等代数思想方法的核心是分类的观点、标准型的观 点、不变量的观点。在文献［8］中具体提出了高等代数所 蕴含的抽象、分类、坐标、变换等10种最基本的数学思想方 法，这些都是提高学生思维能力的重要思想方法。当然高等 数学的其他课程也起到相应的作用。

3.高等代数知识在数学其他课程中有广泛应用，在现代 科技如经济学、信息安全、化学等很多方面都有深刻的应用， 这对发展学生的数学应用意识也有起着重要作用。

四、总结 从以上分析可以看到，高等代数课程学习是中学数学教 师的本体性知识获得的重要途径。对高校数学专业课程教师 了解中学数学教学是必须的，只有这样才能在教学中做到有 的放矢，提高学生学习数学体系课程的兴趣。

参考文献：
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