复变函数的积分_复变函数与积分教学创新

复变函数与积分教学创新

例如：一元复函数的极限、连续、可导的定义与一元实函数 完全相同，但一元复函数的定积分形式上与一元实函数的定 义相同，但本质上接近二元实函数的曲线积分。（2）从内 到外都不同，完全是新的内容，例如：罗朗级数，留数等。

教学中如何向学生展示二者的联系与差异，揭示复变函数的 本质属性，是上好这门课的关键所在。

2.启发式教学。启发式教学由来已久，对提高学生分析问题、解决问题以及实际动手的能力有着十分重要的意义。

在教学中应强调教师为主导，学生为主体，充分调动学生的 主观能动性，适当加以引导，达到完美的课堂效果。例如， 在学习复积分时，提示学生注意哪些积分与路径无关，哪些 积分与路径有关，积分注意先看被积函数解析性。在讲述多 连通区域柯西积分定理时，先回顾单连通区域柯西积分定理， 要求学生尝试给出直接推广；
学习留数概念时思考为什么叫 留数等等。在高等数学中所学的牛顿莱布尼兹公式、求导四 则运算、洛必塔法则、分步积分法等结论多数都可以推广到 复分析中，那么微分中值定理不能直接推广到复变函数中 来？不能怎么办？可不可以考虑弱些的结论？在讲述傅立 叶级数的复指数形式时，提出问题：为什么要做如此转换？ 复指数本身有哪些好处？在工程中这种信号有什么优势？ 从学生熟悉的问题寻找切入点，让学生的头脑动起来。在学 习拉普拉斯变换时，让学生思考拉普拉斯变换和傅立叶变换 的区别与联系，进一步给出几种其他积分变换：Hilbert变 换、z变换等，让学生自己加以比较分析。对这些问题，鼓 励学生去查找相关的资料，加以分析，解决问题并提出新的 问题.引导学生走上“提出问题―解决问题―提出新问题” 的科学研究的道路上来，培养他们科学的思维方式。

3.形象教学。在教学过程中，很多问题比较抽象，这时， 如果能从几何上加以描述，问题会变得形象，学生易于理解 和接受。例如，介绍无穷远点的邻域时，可以利用复球面与扩充复平面以及北极N和无穷远点之间的对应关系，容易得 出无穷远点的邻域在复球面上即为北极N附近的纬线围成的 部分，因此在扩充复平面中以点为中心的邻域为{z:|z|＞M}. 在积分这章，让学生考虑怎样测量地心温度这一问题，介绍 复积分的物理意义；
在保形映射这章，让学生考虑为什么数 码相机比普通相机更有立体感，等等。此外，合理利用现代 化的教学手段，当今社会，网络、计算机、多媒体等飞速发 展，这些为我们教学提供了大量的便利工具.我们在复变函 数与积分变换的教学中，已经适当地运用了多媒体、投影仪 等教学手段，一方面更有效的利用课堂时间，另一方面，可 将所收内容用更形象的方式展示，让学生更感兴趣。把 Matlab应用到复变函数论中的复数运算、方程求根、泰勒展 开式、函数在孤立奇点处的留数等等，既使学生理解了概念， 掌握了复变函数的基本运算，同时加强学生的动手能力。例 如，对数函数Lnz的图像：另外，我们正尝试运用网络这一 现代化工具，构建一个网上平台.在这里同学们可以互相推 荐学习资料，交流学习心得，自由提问、答疑，我们想这也 许更能促进学生学习的兴趣，也是对我们课堂教学的有益补 充。

二、教学内容的完善 穿插科学发展背景，提高学生兴趣，将数学发展史和教 学有机结合；
在课程讲授过程中遇到很多科学家，如欧拉、 黎曼、柯西等，讲授科学家的奇闻轶事，提高学生兴趣。复变函数中的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一 种重要的解析工具，而且在其他自然科学和各种工程领域特 别是信号处理以及物理学等的研究方面有着广泛的应用。补 充介绍目前本学科的进展情况以及本学科与其他学科联系。

例如，在介绍傅立叶变换时简单介绍小波变换思想，傅立叶 变换在分析处理信号的方法上的局限性，以及小波变换是怎 样克服傅立叶变换的弱点的等等。

三、联系实际、提高动手能力 目前，随着科学的迅猛发展，数学的实际应用已越来越 广泛，其相应的计算量也越来越大，MATLAB是一种具有强大 数值计算，分析和图形处理功能的科学计算语言，其应用领 域极为广泛。将复变函数与积分变换的教学与Matlab适当结 合，鉴于Mathcad能轻松地将一些数学问题直观地求解显现 出来的特点，能促进学生对知识的理解，提高学生的学习兴 趣。尤其在积分变换部分，这种优势更加明显。