[优化数学操作,落实四基的实效策略]策略

优化数学操作 落实四基的实效策略

在新一轮的数学课程改革中，如何借助“数学操作”拨动学 生智慧的琴弦，让学生充分地积累活动经验，感悟抽象、推 理、建模等数学思想，培养创新意识和实践能力，成为一线 教师迫切需要思考和研究的重要课题。为了解除困惑，教师 们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家 们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论。于是，又形 成了新的困惑。要改变这种现象，教师成为研究者至关重要 [1]。联系自己近几年的教学实践与反思，笔者觉得可以从 数学操作的意义重构与实施策略上下功夫，让数学操作成为 数学活动与数学思想共舞的重要平台，从而很好地落实基础 知识、基本技能、基本活动经验和基本数学思想的“四基” 教学目标。

一、数学操作的意义重构 2011年版的《义务教育数学课程标准》中指出：认真听 讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学 习数学的重要方式。这里仍强调“动手实践”的重要性。动 手实践就是我们常说的数学操作在实际课堂教学中的实施 情况。华东师范大学数学系的鲍建生教授认为：目前，数学 应用与数学建模已经成为我国数学教学中的一种基本活动， 但存在着不少“伪情境”、“伪应用”的现象，许多数学建 模活动也都停留在低层次的、工匠式的操作上[2]。究其主要原因，我们觉得有两点非常明显：一是缘于对 数学操作的片面认识，多数一线教师狭隘地将数学操作等同 为实物操作，“出现了过度甚至滥用实物操作活动的现象” [3]，使学生的思维水平大多停留在低层次的具象操作层 面；
二是缘于未掌握相应的实施策略，使操作活动游离于数 学化活动和知识本质内核之外，使学生的思维不能实现由动 作思维向表象思维、抽象思维的理性飞跃，使操作活动只有 “操作味”，没有“数学味”。

布鲁纳关于儿童心智成长的研究表明：儿童获得一个数 学概念的过程是以线性方式从动作表征过渡到图象表征，最 后到抽象思考。在动作表征中，儿童的思维必须借助于实物 或具体物的实际操弄活动来达成；
图像表征是当具体物消失 时，在儿童的脑中能依据实物的影像，自己制作心像而进行 内在的思维活动；
而达到抽象思考的活动阶段的儿童则能直 接对数学符号进行思维操作[4]。因而，对于中小学生来说， 一般要经历从实物操作到表象操作再到符号操作的三个阶 段。除表象操作是在大脑中借助想象完成的以外，实物操作 和符号操作都是需要用手去完成的操作活动。

小学数学学习中的数学操作，是学生以动手摆弄、书写 为主，同时伴有动眼观察、动耳倾听、动口表述等多种感官 协调参与学习的外显行为操作活动，它总是与学生正在进行 的内化建模活动或外化用模活动相呼应，是学生内隐的思维 活动的外在行为表征。因而，我们认为数学操作应包括两大类，即以动手摆弄学具为主的数学学具操作和以动手书写语 言为主的数学语言操作。心理学家加里培林认为：智力技能 的形成是一个从外部的物质活动向内部的智力活动转化的 过程，一般要经历下述五个阶段：活动的定向阶段、物质化 活动阶段、出声的外部言语阶段、无声的外部言语阶段、内 部言语阶段[5]。笔者所谈的数学操作相当于物质化活动阶 段——即借助实物、模型、图表等进行的操作活动。当然， 无论是智力技能的内化或外化，都是要通过外部的物质化活 动——数学操作等来实现与表征的。

1.摆弄学具的数学操作——实物操作、手势操作、肢体 操作 著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的， 切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”借助于摆 弄实物、比画手势、活动肢体等的数学操作，可以帮助学生 积累相应的活动经验和感性认识，加速学生头脑中相应表象 的生成，培养学生的动作性思维，为之后的表象操作与符号 操作作好铺垫，同时也能激活学生的主体参与意识，在亲历 亲为中体验“生命在场”的探索历程。

苏教版《数学》四年级（下）的“图形的旋转”一直是 学习中的难点。在教学的第一板块——研究生活中风车、指 针和纸片等物体的旋转从而明确旋转三要素（定点、方向、 角度）中，教师可以适时地运用以上的三种操作方式，为之 后学生顺利地画出旋转90度后的简单图形作好表象、概念、技巧等多方面的准备工作，很好地突破学习的难点，让学生 感受到学习的轻松、愉悦与美好。在引导学生观察风车的旋 转方向之后，笔者让学生分别用手势比画出风车的两种旋转 方向——顺时针旋转与逆时针旋转，并通过食指书写，与教 师同步板书出表示旋转方向的记号，从而及时沟通感性经验 与抽象符号之间的实质性联系。之后，教师可以组织学生在 举手臂的游戏中进一步巩固旋转方向，学生的参与热情非常 高，效果很好。身体与平举的手臂正好构成一个十字坐标的 生活原型，坐标中四个象限的8种旋转情况正好在手臂的运 动中得到活灵活现的巩固，所以人的双手与身体真是绝好的 学具，能在瞬间打通抽象与直观之间的壁垒。在研究时钟、 转盘、台秤等物体的指针旋转时，教师还可以适时地引导学 生在观察、想象之后用手臂比画指针按一定方向旋转90度的 位置，让学生在手势操作中感悟旋转的规律：横着的指针旋 转90度后会竖起来，竖着的指针旋转90度后会横过来，最后 组织学生边想象边玩旋转三角形纸片的实物操作游戏，让学 生从整体上感知旋转前后纸片的位置情况。这些就为后面研 究一条线段、两条线段及封闭图形的旋转位置积累了很好的 活动经验与感性认识。

实际教学表明，在引导学生动手摆弄学具的过程中，教 师应积极地引导学生边操作边动口表述操作过程，或先想象 再操作验证，或先操作再让学生闭眼想象出刚才的操作过程， 从而很好地强化感知信息，为学生顺利地由学具操作过渡到表象操作再到语言操作铺路搭桥。

2.书写语言的数学操作——画图、列表、标注、列举、 摘录、列算式、写关系式、书面表述 “数学语言”指的是用于表达数学内容的语言，包括符 号语言、文字语言和图表语言。借助于符号、文字和图表等 数学语言，学生可以进行相关的画图、列表、标注、列举、 摘录、列算式、写关系式等逐步抽象化的书写操作活动，实 现对内隐数学思维活动的直观可视化和具体流程化的表达， 使学生的思维由模糊到清晰、由局部到整体、从无序到有序， 从而发展学生的心智技能，增强解决问题的策略意识和实践 能力[6]。

在教学苏教版《数学》一年级（下）中的“相差”问题 时，教师可以先与学生玩石头、剪子、布的手势游戏，如果 师生出的都是剪刀，伸出的手指数就是2和2，两数相等；
如 果是剪刀和布（石头），就是2和5（0）。两数不相等，必 然会一大一小，那相差多少呢？于是引导学生先将2和5用自 己喜欢的符号画下来，然后让学生在观察、对比中将相差的 3个圈出来，同时在旁边标注大数、小数、差数，同时引发 思考：怎样由已知的2和5求出相差数3？列出算式5-2=3后， 让孩子边说边写出5-2=3的含义：5比2多3，2比5少3，5和2 相差3，2和5相差3。之后，教师再组织学生在同桌合作中按 做手势、画图、圈圈、标注、列式、写含义的过程进行变式 学习。最后，教师让学生反思学习的过程，发现并写出求相差数的关系式：大数-小数=相差数。至此，数学模型的建立 与内化已经在轻松、流畅的玩玩、写写中高效地达成了。这 些都源于教者自然无痕地引领学生展开比画、画图、标注、 列算式、写关系式、书面表述等数学学具和数学语言的多元 化操作活动，使学生的思维自然由动作思维提升到表象思维 再到抽象思维，突显思维活动的梯度和深度，使思维能力和 实践能力的培养得到落实。

特级教师唐彩斌老师认为：“在头脑中能够进行操作， 能够用准确的语言表达，那是更理想、更高层次、更高效的 教学追求。”引领学生进行摆弄学具和操弄语言的数学操作 活动，目标就是为了让学生最终摆脱外在的学具与工具的束 缚，在大脑中进行内隐、无形、自动化、压缩化、直觉化的 高级思维操作，发展较强的抽象思维能力和创造思维能力。

二、数学操作的实施策略 从实际教学的反馈情况来看，要使数学操作的学习效益 最大化，避免有热度无深度、有操作味无数学味、有活动无 思考的无奈，教师在引领学生进行操作活动时要做到以下几 点：
1.有序性与提升性并举 从数学学习心理学的角度看，教师要科学地遵循学生的 认知规律，有意识地引领学生经历由学具操作到表象操作再 到语言操作的内化建模过程，使学生的思维水平顺利地沿着 具象到表象再抽象的阶梯逐步上升，体现操作活动的有序性和提升性。如教师在讲授苏教版《数学》四年级下册的“搭 配规律”时，可以有序、详尽地引领学生经历摆弄搭配图片 并说明搭配思路的学具操作过程，闭眼回想搭配思路的表象 操作过程，以及表征搭配思路（用数字、字母、文字、画图、 列举，连线等表示），在3次变化搭配物体个数的情境中建 立乘法模型（几个几，几乘几），抽象出数量关系式的语言 操作过程，从而让学生充分经历由具体到抽象的建模过程， 使学生深刻理解选配机会的均等性和选配种数的计算方法， 培养不完全归纳的合情推理能力，感悟凝聚其中的建模思想 和摆、画、算等逐步抽象化的数学方法。

实际教学中，部分一线教师常常只重视让学生进行数学 学具操作（实物的、手势的、肢体的），而对数学表象操作、 数学语言操作关注不够，常常在优生的带领下直接由学具操 作跳跃到抽象数学模型。正是由于后两个数学操作活动的缺 失，也就在建模过程中缺少多次逐步地抽象与推理，这样就 容易形成思维的断层，使大多数学生常常处于口欲言而心未 达的状态，对知识的内涵领会不深，对模型的意义理解不透， 留在脑海中的模型与其说是建的，不如说是机械地记下来和 贴上去的，建模成了“贴模”。这样学到的模型就缺少了迁 移性和融通性，建模过程失去了担当学生“成长载体”的作 用。所以，教师开展数学操作活动一定要做到有序性与提升 性并举。

2.多元性与适切性并重让维耶等研究指出，多元表征是数学学习的内在组成部 分。恰当应用多元表征，可以多角度地使数学学习对象具体 化，可以使数学问题解决变得更加容易，可以使得数学更有 趣味性和吸引力，不恰当的设计还会对学习起反作用[7]。

借助学具操作的3种操作方式和语言操作的8种操作方式，教 师可以灵活地引领学生对学习对象进行多元化的数学操作 活动，实现对学习对象的多元表征，使学生找到最适合自己 同时又最适合所学内容的操作方式，从而真正提高学习效率。

3.灵活性与简约性相融 在组织学生进行操作活动时，教师一定要遵循“效益最 大化原则”，让学生以最少的投入换来最大最好的发展。所 以教师在选择操作方式时要删繁就简，在简单中求丰富。如 在学具操作中，教师能用手势操作的就不要用实物操作。毕 竟十指连心、一指千斤，手势操作，能“使学生把注意力放 在最主要、最本质的东西上”。

教师在教学“认识人民币”一课时，课前布置孩子们事 先在家里与父母一起玩换钱的游戏。上课时，教师可以启发 孩子借助10个手指来记住一元等于10角，一角等于10分。一 元可以换成几张1角，几张5角或几张2角呢？引导孩子边看 手指边思考。由于有了直观物象的支撑，孩子们很快就理解 并记住了一元等于10个1角，或等于2个5角，或等于5个2角。

即使以后忘了也没关系，手一伸一看就解决问题了。手势操 作方便快捷地突破“换钱”的学习难点。同时，教师在引导学生进行由学具操作提升到语言操 作的过程中，不要机械地按照实物操作、手势操作、肢体操 作、闭眼想象、画图、列表、列式、写关系式等刻板的流程 来进行，而要灵活地优化组合多种操作方式，以求操作活动 与思维活动的优质高效。如果学生原先积累的感性经验比较 丰富，就可以跳过摆弄学具的数学操作，直接进入操弄语言 的数学操作。如上面提到的教学“33-8”时，教师不必让学 生去摆小棒，而是直接让学生通过画小棒图来进行探究。如 果借助丰富的学具操作能直接建立数学模型，就无须再引导 学生通过画图或繁琐的语言表述穷究算理。如在教学苏教版 《数学》二年级（下）“求大小数的实际问题”时，教师可 以让学生通过手指游戏合作比画“比10多几是几”和“比5 多几是几”，同时边看、边想、边说、边听：比（ ）多（ ） 是（ ），算式是：（ ）+（ ），从而借助丰富的感性认识 直接建构数学模型——比几多几的数是大数，用加法算；
通 过分组比画“比10少几是几”和开展“我做你猜”的游戏， 让学生直接建构数学模型“比几少几的数是小数，用减法算”。

数学模型的建构过程流畅简洁而富有变化，学生始终全身心 地投入其中，乐此不疲。然后，教师指导学生正确画批比字 句和口头表述比字句的含义，使学生准确理解和掌握比多比 少应用题的数量结构和数量关系，同时引导概括出解题的三 个步骤：找出比字句、画批比字句、确定加减法，从而扎实 地提高学生解决问题的能力，发展学生初步的数学思考能力，培养学生的语言表达能力。

4.创新性与儿童性相济 操作方式的预设与创新只有紧扣数学知识的内核，同时 拥有“儿童的立场”，符合儿童身心发展的规律，融入儿童 喜闻乐见的因子，才能达到预期的操作效果。

如在教学苏教版《数学》二年级（下）的“认识几时几 分”时，教师可以引导孩子借助观察、手势操作、口语表述 等学习方式，找到认读时刻的巧妙办法。认读时刻时，学生 先用食指按顺时针方向从12起比画出时针走过的轨迹，边说 短时针走过了几大格，再用食指按顺时针方向从12起比画出 分针走过的轨迹，边说长分针走了几小格，所以是几时几分。

这里，手势操作尤如庖丁手中的小刀，对付“认识几时几分” 这头众人眼中的“犟牛”，可谓游刃有余、举重若轻！ 寻找最佳操作方式的过程是教师不断深研教本与生本 的过程，也是在大胆尝试后需要不断反馈反思、反复调整的 创新过程，是提升教学水平与教学智慧的成长过程。

5.操作与观察、倾听、想象、表述等相结合 心理学家皮亚杰认为：“智慧从动作开始，学生的多种 感官参与认知活动，可以使信息不断地刺激细胞，促使思维 活跃，便于储存和提取信息，同时易于激发学生的好奇心和 求知欲，产生学习的内驱力。”古书《学记》中说：学无当 于五官，五官弗得不治。意思就是说，学习时如果不能让多 种感官协同参与进来，是不能优质高效地学习的。实际的教学实践也很好地证明了数学操作要与动眼观察、动耳倾听、 动口表述、动脑想象等多种操作活动和思维活动有机结合起 来，使数学学习真正走向体验性、活动性、参与性、思考性， 使学生在数学学具操作、数学表象操作、数学语言操作的有 序过渡和整合提升中，自然实现由动作思维到表象思维再到 抽象思维和创造思维的提升，从而增加实践活动的智慧含金 量，使创新精神和实践能力的培养真正得以实现。

视界决定境界。有了对数学操作的意义重构，掌握了数 学操作的实施策略，数学操作一定会摆脱当下的“不给力”， 使摆弄学具和操弄语言的数学操作成为舞动学生思维灵感 和思想火花的一对翅膀，并在促进有效建模、积累活动经验、 习得策略方法、磨砺数学思维、突破学习难点、学会多元表 征、渗透数学思想等方面发挥更大作用。

参考文献：
[1][2][3][4]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过 程[M].上海：上海教育出版社，2009. [5]叶奕乾，何存道，梁宁建.普通心理学[M].上海：华 东师范大学出版社，2004. [6]冯桂群.数学操作——突显数学思考的过程[J].江 西教育，2012（4）. [7]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师 范大学出版社，2009.