平衡力矩 应用力矩平衡速找等效最低点方式

应用力矩平衡速找等效最低点方式

应用初中学过的“转动平衡”可以帮助我们快速找到等效最 低点，从而使解题过程变得更加简洁明快。

【中图分类号】 G633.7 【文献标识码】 A 【文章编 号】 1992-7711（2016）03-035-01 在高中物理学习中，“物体在竖直面内绕固定轴转动” 是一类比较重要的题型，而解决这一类题目的关键是准确地 找到最低点或等效最低点。我们通常应用“力的合成”或者 “能量守恒”来找到它们，有没有速解办法呢？既然物体处 在最低点，其势能必然最小，其稳度必然达到最大，物体刚 好处于转动平衡状态，作用在物体上的合力矩必然为零，因 此我们可以应用“力矩平衡” 速找“等效最低点”。

一、“力矩平衡”、 “等效最低点”及相关概念 在初中物理中，我们学过力矩、转动平衡等概念：从转 动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂；
力（F）和力臂（L） 的乘积（M）叫做力矩；
绕固定轴转动的物体平衡的条件是：
使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向 转动的力矩之和。

在高中物理中，我们又学过一种重要的物理思想——等 效思想：某些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素 所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与 后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，因此我们可以 将这种多因素过程合并处理成一个熟悉的、易处理的单因素 过程，而对最后结果并无影响，这就是等效法，比如给多个 质点找同一个重心，把重力、电场力两“力”叠加为一个“力” ——“等效重力”，都是等效法的应用。同理，我们可以把 质点系或复合场中的物体自由时能处于稳定平衡状态的位 置称为“等效最低点”；

物体圆周运动时与等效“最低点” 关于圆心对称的位置称为“等效最高点”。

二、应用“力矩平衡”速找轻杆连接体的等效最低点 [例1]一直角轻杆两边等长，两端分别固定质量为m1的 小球A和质量为m2的小球B，质量关系为m2=m1，轻杆能绕水 平转轴O在竖直面内转动。现使OB水平，如图1所示，两小球 从静止开始运动，经过一段时间轻杆转过θ角。不计转轴摩 擦和空气阻力，两小球可视为质点，下列说法正确的是（ ） A.θ角最大可达到150° B.当θ=90°时，两小球速度最大 C.当θ=30°时，两小球速度最大 D.当θ=60°时，两小球速度最大 常规解法：系统机械能守恒，减小的重力势能等于增加 的动能，有m2gLsinθ-m1gL（1-sinθ）=（m1+m2）v2，又 m2=m1，解得v=故当θ=60°时，速度有最大值；
当θ=120°时，速度 又减为零；
故选D. 速解方法：因系统机械能守恒，速度最大意味着势能最 小，势能最小意味着稳度最大，稳度最大的位置应在等效最 低点，此时力矩平衡，则m1gLsinθ=m2gLcosθ， 又m2=m1， 故当θ=60°时，轻杆连接体在等效最低点，速度有最 大值，而θ角最大意味着速度为0，物体恢复到静止状态， 因系统机械能守恒，它应该关于等效最低点对称，θ=120° 时，θ角达到最大，故正确答案是D. 【点评】明显看出，用常规方法求解，涉及到三角函数 的运算，难度相当大，而速解方法就简单多了。

三、应用“力矩平衡”速找带电体在竖直面内转动时 的等效最低点 [例2]如图所示，在竖直平面内存在着水平向右的匀强 电场，场强E=104N·C-1，有一质量m=0.10kg，带电荷量q=7.5 ×10-5C的小球，固定在一根长度L=0.40m的绝缘轻杆上，轻 杆可绕固定轴O在竖直面内无摩擦转动，现将小球拉至位置A 使轻杆水平后由静止释放，问：小球摆到什么位置速度刚好 为0？（g=10m·s-2） 常规解法：设小球摆动角度φ之后，动能再次为0，因 为只有重力和电场力做功，由动能定理得，mg·l·sin -qE （l-lcos ）=0，无论φ为钝角还是锐角，该式都成立，∴sin +0.75cos =0.75，运用三角函数公式解得 =0或者 =1.6°. 速解方法：设轻杆摆动θ角后，到达等效最低点B，如 图4，此时转动平衡，由平衡条件知θ只可能为锐角，且有 mg·L·cosθ=qE·sinθ：，解得cotθ=0.75=，故θ=53°. 因为小球摆动中只有重力和电场力做功，能量守恒，小 球到达A关于OB线的对称点C时，等效势能达到最大，动能再 次为0，与初始位置A相比，转动角度 =2θ=106°，如图5. 【点评】在本题中，用常规方法求解，方程也简单，但 是运算时要涉及到更为复杂的三角函数公式，而速解方法算 起来就容易得多，而且对运动过程的描述更为清晰，如分析 到θ只可能为锐角等。如果本题没有给出m、q、E的具体数 值，速解方法的优势将更加明显。

[参考文献] [1] 唐红鹰.“等效法”巧解复合场的圆周运动问题.物 理教学探讨：中学生版高三卷，2005年 第2期.