数学资优生学习特点研究

数学资优生学习特点研究

本文所说的数学“资优生”（以下简称“数优生”）是 指参加全国数学奥林匹克竞赛获得省一等奖及 以上奖项或在近几年江苏省数学高考中取得140分以上 成绩的学生。从某种意义上说，我们的数学教学就是要培养 这样的 “数优生”。近几年来，我们对江苏省三所四星级老牌 重点高中200多位 “数优生”进行了跟踪访谈、问卷调查、课堂观察、作 业分析和实验统计，与10多位任教实验班和竞赛辅导 班的数学教师进行了当面交流，并通过校友与一些清华、 北大等校的在校学生书面联系，获得了大量的数据资料。

据此，我们从数学的学习方法、知识理解、素养形成等 方面进行了分析研究，发现了“数优生”的一些学习特点 ，以期给数学教学一些启发。

一、学习方法 学习方法是指学生通过学习实践总结出的快速掌握知识的方法。学习方法没有统一的规定，因学习条件、环境、 主体、对象的不同而不同。

（一）自学经历丰富 许多“数优生”在高一学年结束时已经自学完高中数学 教材中有关奥赛的知识，理解了高中数学内容， 能解决教材中的例题。他们充分利用自己的时间， 阅读参考书，做习题（尤其是综合题与应用题），通过 大量解题，熟能生巧，巩固课堂学习和自学的效果。

（二）认真听讲与独立思考紧密结合 许多“数优生”认为教师在课上讲的内容才是最系统全 面的，也特别关注新授知识的发生、形成过程，注重新授定 理的证明与应用，重视新旧知识的区别与联系。他们认为熟 悉的题目也可能有新颖的方法，教师的一个好方法可能比多 做几道题有用得多，专注听讲的学习效率 更高，可以从教师的思维中获得解题方法。他们还会在 认真听讲的同时独立思考，多问几个为什么，从中发现更多 的问题，而不盲目地相信。

（三）归纳总结与纠错订正紧密结合 很多“数优生”认为数学学习最重要的是不断归纳总结， 使知识形成体系，完善的知识体系可以让 自己在拿到题目时很快通过知识网络的延伸找到下一 步的做法；

对于一种方法类型的题目，只要整理出最有代表性的一两道，使得做一道题就有一道题的收获，即从类似的题目中 找到相似或相同的方法，从整体上把握一类题目的方法，并 且寻找一些适合自己的解题思路和技巧，不断优化方案，提 高解题速度和水平。

此外，他们还认为学好数学的关键是利用好错题，总结 错题背后的原因，在每一道错题旁边注上思考与注意点，并 及时订正，巩固复习，订正时 搞清楚 改动过程中每一步的原因。

（四）拥有一些个性化的学习方法 有些“数优生”还有一些个性化的学习方法，下面是几 位“数优生”的“语录”—— 生我做的数学题并不是很多，但是我证明的定理、结论 比别人多很多。我觉得证明定理比做 大量数学题有趣。书本上每一个定理的证明方法我几乎 都会， 参加竞赛辅导时老师讲的每一个定理我都力求掌握其 证明方法 。有时我也问老师， 但是有些定理老师也不会证明，这时我 会上网查找资料。我发现 这个方法很管用，可以帮助我解决许多问题。

生我的格言是：“还应该有一种更简单的方法。”以前我做数学题的速度并不是很快， 但是我经常想要找出至少两种解题方法，并比较它们的 差异和优劣（其实许多方法本身不存在优劣，只是在 应对不同的题目时显示出繁与简而已）。经常这样“折 腾”自己，我的解题速度就快了许多。虽然并不是每道题目 我都能想出新的解法，但是我经常 去想新的方法。不知不觉间， 许多同学们认为难度较大的问题，我往往很快就能找到 解决的思路和技巧。

生我平时记录的数学课堂笔记较少，主要记书本没有的、 老师补充强调的和 自己没有当堂掌握的要点。我觉得听课的关键是弄清老 师提出的问题，然后自己独立思考，不会的地方关注老师是 如何分析的。但是我用的草稿纸 很多：首先是尝试实施我的各种解题“念头”；
其次是 亲自算一遍、证一下我认为不是显然的结论；
第三是怀疑一 切结论，换一种说法就是经常 提出一些新的问题， 然后不停地在草稿纸上推算。不知不觉间，我的数学成 绩越来越好了。

生我对高中数学中的几何图形情有独钟。

对于有图形的数学问题，我会先看图形掌握整体轮廓， 再读题目并把条件标注在图形上。只要可以画出图形的题目，我都会画出图形。我觉得图形具有直观性、整体性、和谐性、 对称性等 特性。我对图形的几何特征（性质）有独到的认识，每 个特征（性质）我都要反复尝试用不同的数量 关系来表示，因而经常会出人意料地得到比较简捷的方 法。久而久之，我对数学解题的直觉判断越来越准确了。

生我认为不一定要做很多的题目，我对每一道题目的思 考可能比别人多很多。

我会思考 ：第一，这个题目和我做过的题目是否有相似之处；
第 二，这个题目的解法是否具有推广价值（通法），这个题目 的结论是否具有一般性 （通性）；
第三，这个题目的条件和结论倒过来是否成 立。我常常为自己获得一个新的结论、新的题目、新的解法 而 自豪。我会用我编的题目去考其他同学，一起讨论研究， 一起进步。

此外，还有几位学生也提出了一些有特色的学习方法。

比如，有的学生喜欢提前做书本后的习题，等老师讲解时， 边听边对比，看看老师的做法和自己的解法有哪些不 同；
有的学生喜欢尝试逆向分析问题，即从问题的结论出发 逆序而上，寻找解题思路。

二、知识理解“数优生” 理解数学知识时特别关注数学知识结构的整体性、联系 性、灵活性、发散性：善于发觉知识的原理（即知识的来龙 去脉），喜欢刨根求源；

善于发现知识中蕴含的思想方法， 喜欢概括提炼 ；
长于对知识进行变式迁移，能够将 知识以多种形式表示；
长于将知识系统化，能够在不同 的知识和方法之间建立联系，构建出比较完整的网络 ；
熟悉大量背景知识和常用结论，并用来指导自己分析 问题。

结果显示，“数优生”与一般学生相比，对“垂直”相 关知识的表示、理解具有以下特点：（1）“数优生”联想 的结论多，一般学生在10个左右，而“数优生”最多的有26 个；
（2）“数优生”的结论内容涉及面广，一般学生往往 只把垂直看作平面几何中的概念，只从平面几何的角度叙述 相关的结论，而“数优生”的结论涉及平面几何、三角函数、 解析几何、空间几何、矩阵、物理、生物、语文、美术、生 活等多方面 ；
（3）一般学生表述比较杂乱，而“数优生”善于分 类描述；
（4）一般学生只能呈现简单 的知识结论，而“数优生”能从知识结论中呈现思想方 法，如“二维空间—三维空间—四维空间”的结论，分类讨论思想、数形结合思想明晰；
（5）“数优生”的知 识结构清晰完整， 知识之间建立了密切的联系，联想丰富；
（6）“数优 生”呈现知识的形式多样，往往图文并茂，数形结合，表格、 符号多样呈现 。

三、素养形成 数学素养是指学生对数学知识的理解、掌握与运用的程 度，能够在实践中自觉地将所学的数学知识用以解决实际问 题的意识与能力。

（一）浓厚的数学兴趣 几乎所有“数优生”都认为：兴趣是一个人能够深入学 习、取得成功最根本的动力；
兴趣也许是 天生的，但更多的是在持续专注、不断进步的学习中因 为充实感和成就感而逐渐产生的。他们也都认为：数学是一 门很有趣的学科，对于思维的训练非常有帮助；
只要用心学 习，就能在数学解题，特别是解决难题中获得乐趣，感到自 我的充实和成就。

（二）优异的思维品质 “数优生” 求异思维突出。他们能多角度、全方位地看问题。比如， 一般学生看到的是一道三角函数题，可在 “数优生”眼中却变成了一道解析几何中的轨迹题；
一般学生看到的是一个比较复杂的代数不等式问题， 可在“数优生”的眼中却变成了一道联系生活的糖水浓 度问题；
等等。

“数优生”在解题时从不墨守成规，常常会突破一些固 有的解题模式，创造出自己的 解法。久而久之，“数优生”的数学学习 就比一般学生更深刻和牢固了。

“数优生”的批判性思维较强。他们具有追求真理的质 疑精神，敢于否定书本的答案和教师的想法。他们不会盲目 地去相信某种结果或解法一定是对的，一定是最好的。他们 说：“看数学书，要用怀疑的眼光、挑战的心态，不断质疑， 深入思考，只有这样， 才能有所得。有些参考书的答案是不科学的，不像 教材和高考试卷，经过缜密的审查和多方的协商，这时 就要敢于运用自己所学的知识，经过科学的分析，果断地否 决它。”“老师讲解一道题的时候，如果 解法不是那么自然与流畅，我一定会默默地思考、研究， 争取给出一个惊艳的解法。”“数优生”普遍喜欢提问，这 不仅是对怀疑精神的挖掘， 也是一个自我认证的过程。

（三）强烈的数学意识 数学意识是对数量关系和空间形式自觉、主动的认识， 是用数学的眼光发现问题、分析问题的一种素养。“数优生”善于从众多的现象中提取数学问题，并运用 已有的知识解决这些问题。他们审题理解能力强，对于题目 细节比较敏感，善于发现隐含条件；
直觉判断能力强，对于 解题方向比较清醒，善于把控解题过程。他们能够洞察数学 问题的本质，简化问题，迅速判断出数学问题考查的知识、 思想方法，甚至其他命题意图；
有较强的化归能力，能将一 些陌生的问题进行分解与 重组，转化为熟悉的问题。

（四）良好的解题习惯 “数优生”都有良好的解题习惯，因而会做的题极少出 错。他们语言表达规范，草稿和卷面都井井有条；
善于反思， 解题后会确认步骤、结果是否合理；
尤其是对比较机械烦琐 的数学运算，有方向的判断意识，有方法的简化意识，有直 觉灵感， 同时熟悉各种运算法则，能够耐心地进行各种复杂的数 式运算。

四、对教师的期望 对于“数优生”，我们除了试图了解他们的学习特点， 还试图了解他们对教师的期望，因为这在一定程度上反映了 他们的学习需求，特别是教师能满足的那部分学习需求，可 以给数学教学更多、更加直接的启发。

从对调查问卷的分析研究中，我们发现，“数优生”最 希望教师介绍书本结论背后的奥秘，提供更多、更合理、更简捷的想法，展示思考问题的不同角度，阐明数学的思想方 法，从而帮助他们拓宽视野，扩充思路，学会思考问题；
还 希望教师和他们一起讨论问题，帮助他们形成“有没有更好 的想法”的思维习惯，并从 多种角度发现数学的意义；
也希望教师对不同的学生， 提供不同的教学内容，采取不同的教学方法，培养学生对数 学的兴趣。