用降次变换法求最大公因式_0的最大公因式

用降次变换法求最大公因式

一、先给出关于最大公因式的两个性质：
性质1：
设F（x）＝ f（x） G (x)= g（x） 其中(x, f （x）)=1, (x, g（x）)=1 则（F(x)，G(x)）＝（f（x）, g（x）） 证明：对任意d（x）∣（F(x)，G(x)）,设d（x）＝（x） （x， （x））＝1 ∵d（x）∣ F（x）且d（x）∣G (x), ∴∣ F（x）， ∣ G（x） ∵(x, f（x）)=1, (x, g（x）)=1 ∴(,f （x） )=1, (，g（x）)=1 ∴∣ ∣ ∴∣ 又（x，（x））＝1 ∴（（x），）＝ 1 ∴由d（x）∣ F（x） 得d（x）∣ f（x） 同理，d（x）∣ g（x）∴d（x）∣（f（x）, g（x）） 同理可证，对任意d（x）∣（f（x），g（x）） 必有d（x）∣（F(x)，G(x)） 性质2：
若, f（x ），g（x）, r（x）满足 k f（x ） + q g（x）= r（x） (k≠0) 则f（x ）, g（x） 与g（x）, r（x） 有相同的最大 公因式 证明：对任意d（x）∣（f（x）, g（x）） 显然有d （x）∣ r（x） 又对任意d（x）∣（g（x）, r（x））有d（x）∣k f （x） ∵k≠0 ∴d（x）∣ f（x） ∴结论成立。

例1：设F(x)＝ G(x)＝ 则（F(x)，G(x)）＝x (,) 例2：设f（x ）= g（x）= ∵(-1) f（x ）)+x g（x）==r（x） ∴（f（x）, g（x））=（g（x）, f（x）=(,) 下面，我们用性质1、性质2给出最大公因式的求法。

二、最大公因式的求法 根据性质1，我们只需研究两个与X互素的多项式的最大 公因式。设f(x)= g(x)= 其中 不妨看作n≧m,我们把系数分离出来，并写成下列形式 由性质2知（f（x）, g（x））＝（g（x），） 所以，我们将以下形式进行如下变换 第一行乘以后，再把第二行的（－）倍加到第一行上去， （没有数的地方看作零）并且用“→”将其连接起来，同时 去掉前面的所有零，其余项前移。

即→→→→ 按同样的方法做下去，直到某步时两行成比例或化成形 式 或 且≠0或≠0 当出现两行成比例时，则其中非零行做系数构成的多项 式便是f（x）,g(x)的一个最大公因式。

当化为 或且两行不成比例时两多项式互素。

例3：（1）设f（x）＝ g（x）＝ （2）设f（x）＝ g（x）＝ 分别求（f（x）,g(x)） 解：（1） 保留第一行，第一行的（－1）倍加到 ————————————————→第二行，第二行再除以（取消零） 保留第二行，第二行的（－1）倍加到 ————————————————→ 第一行，（取消零） 保留第二行，第二行的（－2）倍加到 —————————————————→ 第一行，第一行再乘以（－1） 所以，（f（x）, g（x））＝ 上述过程的具体变换可以不写出来，并且可以将几个变 换合在一次中完成，下面我们计算时就不再注明具体的变换 而直接进行。

解：（2）——→——→ ——→——→ ——→——→——→ 两行不成比例，所以（f（x）,g（x））＝1 说明：上述变换的每一步，不外乎两种情形 <1>某行乘以任意非零数。

<2>把某行的任意倍数加到另一行上去。

<3>取消每一行中头和尾出现的所有零。

三、应用 除了上面的求两个多项式的最大公因式外，还可解决下 列问题：
1， 求两个多项式的公共根；
2， 判定整除；

3， 求一个多项式的重要因式或重根；

4， 解高次方程组；

5， 由曲线的参数方程求直角坐标方程。

下面分别给出一个例子予以说明 例4：求f（x）= g（x）＝的公共根 解：因为（x，f(x)）=1,所以在求f（x）与 g（x）的 公共根时不考虑“0” 即（f（x），g（x））＝（f（x），） ——→——→ ——→ ∴（f（x），g（x））＝ ∴f（x）、g（x）的公共根为 例5：m,p,q适合什么条件时有︱ 解：∵︱ ∴（，）＝ ——→ ∵这两行成比例， ∴第一行的m倍等于第二行 ，即且m=q 这便是能整除的条件。

例6：设f（x）＝ g（x）＝ 它们的最大公因式是二次多项式，求t,u的值 解：—→——→ ∵它们的最大公因式是二次多项式，∴这两行成比例得 当u＝0时代入（1）式化简得：
即（t-4）()=0 得 当u≠0时，由（2）得＋t＋3＝0 得 将其代入（1）同时考虑到＋t＋3＝0 化简：
——→u＝2（）＝－8－2t ∴ ∴原题共有五解（u,t） 即（0，－4） （0，） （0，） （） （） 例7：求解方程组 解：将方程写成 ∵对x的值应使得关于y的两个方程有重根，∴产生下面 的方法 →＝ 当x＋1＝0时，第二行为零，由这时的第一行得为原方 程中两个多项式的最大公因式，其根为2，3 当x＋1≠0时 → 令得，x＝0 或x＝2对x＝0由上述变换结果的第一行知－4y＋3＝0得y＝1 或y＝3 对x＝2由上述变换结果的第一行知－2y＋3＝0得y＝1 ＋或y=1- ∴原方程共有六组解，分别为 （-1，2） （－1，3） （0，1） （0，3） （2，1＋） （2，1－） 例8：求下列曲线的直角坐标方程 X＝－t＋1 y＝2＋t-3 解：令f（x）＝-t+(1-x) g（x）=2+t-(3+y) ∵x,y的取值应使得f（t），g（t）有公共根，也即把 x,y看成参数时f（t），g（t）应有非常数公因式 →→ ∴＝0 化简得：
这便是所求的直角坐标方程。

注：
（1） 此方法可作为用来判定一个n次方程有n重，n－1 重，2重，无重根的充分必要条件；

（2） 可以用来解多个方程构成的高次方程组或求多个 多项式的公因式；

（3） 可用来求最大公因数；

（4） 在变换时还允许首位不对齐。