将数学建模案例思想融入高等数学教学中:数学建模思想的概念

将数学建模案例思想融入高等数学教学中

本文主要讨论将数学建模思想融入高等数学教学中的方法、 作用和意义。

1.引言 高职高专教育培养学生要有较强的职业综合能力和解 决实际问题的能力，而传统的教学内容和方法存在一个最重 要的问题就是理论与实际联系不够紧密，其后果是，学生学 了不少数学知识，但不会应用。案例教学法作为一种新型的 教学方法不仅已遍及美国，而且早已波及美国以外的国家， 我国的案例教学法也有20多年的历史。据调查，在分析能力 培养方面，案例教学法居第一位，在知识传授、学员对知识 的接受程度、知识保留的持久性等三个方面案例教学法均居 第二位，在态度转变和人际关系能力培养上居第四位。可见， 适度应用案例教学发辅助数学教学，有利于提高学生的实际 解决问题的能力和数学素质。

我校自2009年参加全国大学生数学建模以来，一直注重 在高等数学教学程中融入数学建模思想，注重培养学生数学建模能力。全国大学生数学建模竞赛是由教育部高教司和中 国工业与应用数学学会于1992年创办，每年一届，目前已成 为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最 大的数学建模竞赛。2015年，来自全国33个省/市/自治区（包 括香港和澳门特区）及新加坡和美国的1326所院校、28574 个队（其中本科组25558队、专科组3016队）、85000名大学 生报名参加本项竞赛。

实践表明，将数学模型案例融入到高等数学教学中，对 培养学生观察能力，抽象思维能力，逻辑推理能力，数学运 算能力，更新数学知识能力，以及分析、解决实际问题的能 力能起到重要作用，有利于培养有创新精神的复合型人才。

目前教育界已达成共识，应实现从以传授知识为主要目标的 继承性教育转变到以培养能力为主要目标的创新教育。在数 学教学中在传授知识的基础上，重视培养学生的能力，提高 学生的素质，特别注重学生的创新意识、创新思维与创新能 力的培养。为此，要全面提高大学生的素质，培养有创新精 神的复合型人才，还要在平时的高等数学教学过程中融入数 学建模思想，起到“润物细无声”的作用。

2.通过案例在概念教学中融入数学建模思想 数学发展的根本原动力，不是来自它的内部，而是来自它的外部，来自客观实际的需要。因此我们在数学建模思想 的融入中，主张突出数学思想的来龙去脉，揭示数学概念和 公式的实际来源和其应用[1]。例如，我国古代数学家刘徽 （公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法— —割圆术，就是数学建模思想在极限概念上的应用。当正多 边形的边数越大，则内接正多边形的面积与圆的面积就越接 近。学生随着正多边形的边数的增加对极限的概念有了深刻 了解，然后从实际问题中抽象出数学概念的过程，引出数学 概念。从提出问题到解决问题，让学生积极参与教学中，大 大增强了教学效果。其他概念如导数、定积分、极值、微分 方程等均可以从实际案例引入，从而激发学生的求知欲，使 其由被动学习到主动研究。

3.应用性案例激发学生学习热情，培养学习兴趣，提高 学生的应用能力 要激发学生对高等数学的学习兴趣，培养学以致用的意 识和能力，关键是激发他们对数学重要性和实用性的再认识。

在教学过程中适当引入与课堂知识相关的简单数学模型案 例是行之有效的方法。数学模型本身就是用数学方法解决实 际问题的手段和桥梁，直接面向现实，走进生活，使学生很 容易领悟到数学工具在解决实际问题中的强大威力，如通过 对工程、生物、人口、医药、环境、市场预测、金融、保险业务分析等数学模型案例的研究及将工程技术领域的新知 识、新技术、新内容、新工艺、新案例及时反映到教学中， 学生能真切感受到数学知识在各领域中的应用，使学生深刻 体会到数学是解决实际问题的锐利武器，有利于教学中贯彻 理论和实际相结合的原则，从而激发他们的学习热情和兴趣， 可以大大提高学生的分析问题和解决问题的能力。下面通过 具体的案例说明在教学中如何融入数学建模思想。

在讲授闭区间上连续函数的介值存在定理时，除了一些 常规的介值定理应用例子之后，特选了如下案例[2]：在一 块不平的地面上能否把一张方桌放稳？这是个在日常生活 中司空见惯的实例，学生首先感到很熟悉，带有亲切感。问 题虽然看似简单，但是怎样才能将它与今天所学的数学知识 联系起来呢？这个案例激发了他们对问题的好奇心和学习 的兴趣，促使他们思考问题和分析问题。下面引导学生学会 分析问题。

问题分析：（1）凭经验桌子腿有“缺陷”是放不稳的；

（2）在有台阶的地方或地面“崎岖”也是方不稳的。

问题转化：证明桌子放稳即四个脚与地面距离为零。

问题解决：（1）用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来：（a）（椅子位置）利用正方形“椅脚连 线”的对称性，用（对角线与x轴的夹角）表示椅子位置；

（b）（四只脚着地）椅脚与地面距离为零，距离是θ的函 数；
（c）四个距离（四只脚）利用利用正方形的对称性转 化为两个距离。

（2）设A、C两脚与地面距离之和f（θ），B、D两脚与 地面距离之和g（θ），则f（θ）和g（θ）均为连续函数， 又因为在任何位置，至少有三条腿着地，即对任意θ，f（θ）， g（θ）至少一个为0。

（3）转化为数学问题：已知：f（θ），g（θ）是连 续函数；
即对任意θ，f（θ）g（θ）=0；
且g（θ）=0，f （0）>0。证明：存在θ■，使f（θ■）=g（θ■）=0。

这是个看似和数学问题毫无关系的生活实例，通过数学 建模的手段转化为一个简单的数学问题，同时又能用当堂所 学知识解决。这样能加深学生对本课程知识应用价值的理解， 有利于学生能力的训练。同时体现了学以致用的价值，消除 学了而不会用的尴尬局面。

类似的案例很多，如：在讲完一元函数极值后可以引入 易拉罐设计问题。在定积分的应用中，让学生先了解定义积分的概念意义及“四步曲（即分割、取近似、求和、取极限）”， 是利用定积分解决实际问题的关键。作为积分的实际应用， 除了介绍功、引力等物理和体积、面积等几何应用外，还可 以介绍社会、经济应用问题，比如存贮问题[3]。在微分方 程中，结合一些人们所关心的一些实际的问题，体现数学建 模思想融入高等数学的重要性。如对人口发展的预测（人口 模型），新产品的销售问题，放射性废物的处理问题，SARS 和HIV等疾病的传播机理，等等[4]。通过这些实例，让学生 了解到数学在科学的发展过程中的重要作用，更重要的是学 生体会到在真正的应用中还需继续学习，使学生能将学过的 数学知识与方法应用于实践。结合日常生活中的实际问题进 行建模，让学生实实在在地体会到数学就在我们身边，所学 数学知识与日常生活及现代科学技术是密不可分的，使学生 在分析实际数学建模案例过程中体会数学的乐趣与应用价 值，从而达到培养学生解决实际应用问题能力的目的。

4.课后实践，加强实际解决问题的能力 由于课时有限，课堂上没有足够的时间让学生进行数学 建模，因此只能适当延伸到课外，给学生布置一些较典型的、 贴近生活的实例，如全国大学生数学建模竞赛的相关题目：
手机套餐优惠问题、捕鱼问题、洗衣机节水问题、养老金的 问题、公交车调度、养猪问题、DVD租赁问题、红绿灯设置、 众筹建房问题等。要求三个同学一组，以团队的形式共同进行研究，小组成员相互协作各尽其能，应用数学建模思想解 决问题，写清解题思路和方法，从而提高学生建模能力，这 样为将来参加全国大学生数学建模竞赛奠定了基础[5]。

5.数学模型案例选择的原则 （1）案例要符合生活实际，使学生真正感觉到数学来 自生活实际，又能经得起实践的检验。

（2）案例内容取材广泛，而且能反映多个领域，反映 科技进步，反映现实生活。丰富生动的内容有利于扩大学生 的知识面，提高学生学习兴趣。

（3）明确主旨，模型案例在教学过程中应作为插件， 故内容仅仅集中针对该门课程的概念和重要内容，不要遍地 开花。

（4）建模和求解的方法尽可能与本课程的知识相联系。

这样能加深学生对本课程知识应用价值的理解，有利于学生 能力的训练，同时体现了学以致用的价值，消除学了而不会 用的尴尬局面。

6.数学建模案例融入高等数学的意义数学模型案例可培养学生的创造能力和解决实际问题 的能力的发展而不仅仅是获得固定基本概念、定义、定理。

它所解决的是如何用更有效的方式获得这些知识。数学模型 案例教学是一种动态的、开放的教学方式，改变了数学课程 那种仅仅依赖由教师单项传输知识的模式。它提高了学生在 学习过程中的参与度，学生的主观能动性在建模过程中能得 到充分发挥。好的模型案例能引起学生学习数学知识和方法 的浓厚兴趣，并激发他们自己解决相关实际问题的欲望，因 此数学模型案例有助于促进独立思考和创新意识的培养。数 学模型案例让学生了解和逐步应用所学的数学知识和方法 解决实际问题的全过程，在解决案例的过程中还反映了学生 对数学原理、数学方法、建模方法等多方面内容的掌握和应 用的能力，锻炼了学生综合运用各种理论知识、经验分析和 解决问题的能力。因此数学模心案例有助于促进在实际工作 中非常需要的综合应用能力的培养。正如中国科学院院士李 大潜提出：“一定要将数学建模的精神融入到数学类主干课 程中，才能算是真正牢固地占领了阵地。”[1] 7.结语 融入数学模型的数学教育，能活跃数学课堂气氛，充分 锻炼学生的思维能力和动手能力不断提高学生运用数学解决实际问题的能力，真正把数学从一门单纯的知识变成一种 实用的技术。数学教学应融入数学建模思想，全面提高学生 的数学能力，为我国培养更多的富于竞争力的人才作出应有 的贡献。实践证明，在教学中体现数学建模的思想，注重培 养学生解决世纪问题的能力，是数学教育改革的发展方向 “学数学”是为了“用数学”，我们应该努力创造机会，让 学生自己动手解决一些简单的实际问题，并强调对运用数学 的方法进行推演或计算的结果，能用一般人能领会的语言 “翻译”出来，即用非数学的、非技术的语言描述结果。因 此将数学建模的思想渗透于高等数学教学中，既符合当前素 质教育对高等数学教学提出的要求，又是切实可行的方法。

参考文献：
[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J]. 中国大学数学，2006（1）：9-11. [2]周义仓，赫孝良.数学建模实验[M].西安交大出版社， 2007. [3]姜启源，谢金星.数学模型[M].北京：高等教育出版 社，2003.