数学教研活动 [关注学生声音数学教研活动的新视角]

关注学生声音数学教研活动的新视角

关注学生声音数学教研活动的新视角 一、问题的提出 教研活动是当前中小学常见的一种教学研究形式，在提 高教学效果、促进教师发展等方面发挥了较大作用，也被一 些国外学者视为我国基础教育成功的重要因素.但也存在一 些问题，比如研讨缺乏问题意识，主题研讨缺乏持续推进， 教师本身研究能力的限制等.[1] 与上述问题相关的一个现象是，在评课过程中过多地关 注了教师的教，以至于出现评课表面化现象.这即是指，教 研活动中常常只是对教师与教学的一般性评价，甚至在网上 还出现了“评课常用语句”.这样的评课缺乏对教学情境生 动性的关注，使研讨因缺乏必要的聚焦而出现全面化与散点 化，自然对课堂上真实且需要解决的问题及其解决策略缺乏 持续的探索，其对于改进教学的功效也就非常有限.而教学 情境的生动性常常与学生的学有着紧密的联系，对教师教的 评价离不开对学生学的关注.由澳大利亚学者David Clarke 发起的学习者视角研究（Learner"s Perspective Study， 简称LPS）可以为改善数学教研活动的效果提供一个视角与 思路.LPS的其中一个研究视角是通过收集与分析来自学生 的“声音”来揭示教学问题、寻找教学策略，最终提高教学 的有效性. 一般情况下，可以在以下三个阶段关注学生的“声音”：
第一个阶段是在教学前，教师预测学生在学习新内容之前已有的知识与经验以及学习新内容过程中可能会碰到的问题 或困惑，在此基础上教师精心设计教学；
第二个阶段是在教 学过程中，教师通过课堂观察收集来自学生的“声音”，为 调整教学提供依据；
第三个阶段是在教学后，通过反馈性练 习收集学生的“声音”，为后一节课的设计提供基础.可见， 对学生“声音”的关注不仅可以找到教研活动的问题，而且 指向有效教学.所以这将使教学与教研活动紧密结合，并激 发教师参与教研活动的内在驱动力，最终实现教师的专业成 长和教学有效性的提升. 二、数学教研活动案例及分析 如何开展基于LPS的教研活动？笔者拟以曾经组织过的 一次教研活动为例加以初步说明.这次教研活动是在一所中 学组织数学教师开展的《抛物线及其标准方程》第一课时的 教学探讨.考虑到笔者不可能一直参与这所中学教研活动， 因此特意请数学教研组长徐老师来组织整个教研活动.教材 中将《抛物线及其标准方程》安排在《曲线与方程》及另两 个圆锥曲线（即椭圆与双曲线）之后，教学的一般策略是让 学生类比前两个圆锥曲线的获得过程，教师也难以跳脱这一 教学思路，并落入俗套.事实上，从知识结构逻辑而言，抛 物线并不必然要放在椭圆和双曲线之后才能学习，相较之下 抛物线的几何关系更简单，而且学生在初中就已有学习基础， 在“直线方程”中又有使用解析方法刻画几何关系的经验. 正是基于上述思考，也为了给教师创设一个新的教学背景，以激发教师原创性地思考教学问题，本教研活动中将本节课 提前至“曲线与方程”的学习之前，也即将本节课作为圆锥 曲线这一单元的起始课.从教研活动的实施过程来看，确实 因为内容的提前激发了老师们讨论与研究热情，也出现了许 多意想不到的现象. （一）第一次教学设计及教学：学生“声音”的缺失 第一次教学设计是在只告诉参与教研活动的教师教学 时应关注学生的“声音”，然后由毛老师单独设计并实施. 毛老师精心设计了问题链，以此来推动教学的进程.具体地， 她从与学生一起回忆二次函数的图象引出课题，通过实验演 示获得抛物线的定义，再通过图象的研究推导出抛物线标准 方程，最后是巩固练习、布置作业.但在课堂上，她基本以 自问自答的形式开展教学.即在提出问题后，要么马上提出 另一个问题作提示，要么直接将答案说出来，给学生回答与 表达的机会与空间很小.例如，在利用实验演示在几何画板 上画出一条抛物线后，教学过程如下：
师：那么在制作过程中哪些量是不变的？（生：F.）师：
F点，还有呢？（生：l.） 师：l，l是不是确定的啊？还有什么是不变的？您看啊， 在这个过程（教师重复演示抛物线形成过程）当中，这是一 条中垂线，所以MF与MH是相等的.MF用几何性质来说就是点M 到点F的距离，是吧？MH呢？我们刚才作的这条线是什么 线？（生：垂线.）WWw.dYLw.NEt 师：对，点M到直线l的距离，也就是说，在这个过程当 中，点H是动的，点M动的，定点F、定直线l以及点M到点F的 距离、点M到直线l的距离是不变的，是不是？我们把它记作 “一动三定”，是不是啊？那么，我们刚才看到抛物线的形 成过程？你能给抛物线下一个定义吗？什么叫抛物线.（生 1：平面内到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹.） 师：对.假如说，定点F在l上，那么我们说平面内点到 定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么呢？（生2：
垂线） 师：我们看，就变成了垂直于这条线（l）的直线，所 以在定义中要说明“点F不在直线l上”.点F就叫做抛物线的 焦点，直线l就是抛物线的准线. 在课后研讨中，毛老师觉得整堂课上下来还是蛮顺的， 就是不知道学生的学习效果会怎样，比如学生是否真正明白 抛物线定义的形成过程.针对毛老师的解释与疑问，参与研 讨的老师普遍认为，课堂上应该更多地通过学生的“声音” 暴露他们真实的学习过程，以确定教学效果.而在毛老师的 课堂中学生“声音”是很有限的，整节课的教学都是在她精 心设计下按部就班地进行的.课后对学生的访谈也证实，他 们对如何得到抛物线定义、怎样建系求方程等都并不清晰. 于是产生了新的有待研讨的问题：如果想在教学中关注学生 “声音”，那么首先要解决如何让学生有“声音”？怎样才能让学生有更多的“声音”出现？这里“更多”有两个方面 的意思：一是从时间上来看，让学生“说”（可以是口述、 也可以是书写）的时间更多；
二是如何让学生“说”出更多 样丰富的信息来. 要解决以上两个问题，大家取得了共识：从时间与空间 上给学生提供更多的“留白”.于是，数学组的李老师在毛 老师教学设计的基础上，用了约半小时时间进行重新设计后 开展了第二次教学. （二）第二次教学设计及教学：学习起点的忽视 第二次教学李老师仍旧采用问题驱动的教学策略，教学 流程与第一次教学没有太大改变，只是课堂更加开放了，给 学生表达的机会更多了.例如，李老师通过实验演示画出抛 物线并得到抛物线定义后，选择了开口朝上的抛物线，要求 学生思考怎样建系、列方程.在这一过程中教师巡视，并记 录了几种学生所使用的较为典型的建系方法（如下图），其 中按二次函数的一般图象的方式（即第四种情况）建系的学 生有一半以上.但是，基本上没有学生推导出抛物线标准方 程.李老师再通过一些问题进行启发，但直到课结束也没有 得出抛物线的标准方程. 课后，大家都感受到由于问题的开放性以及教师给予学 生充分的时间和空间，来自学生的信息明显比毛老师所上的 第一节课多很多.同时，这也揭示了学生在本节课学习中的难点为抛物线标准方程的推导.经分析，大家认为，由于学 生受到了二次函数及其图象的干扰以及曲线与曲线方程这 一内容的缺失，导致他们在标准方程的推导上普遍出现困难. 这也就否定了第一次教学中毛老师所提出的“复习二次函数 的相关知识有利于本节课的学习”的观点.可见，作为学生 学习新知识的起点不一定如教材安排的那样（人教A版教材 中是以二次函数为教学起点的），也不一定是数学知识的某 一逻辑起点，于是问题又产生了：教学的起点是什么？怎样 确定教学的起点？讨论中逐渐形成了关于确定“教学起点” 的共识，即必须满足三个条件：第一，必须与新知识之间有 逻辑关系；
第二，必须与学生已有的生活经验或已学的知识、 思想或数学活动经验等有关联；
第三，必须有利于突出重点、 突破难点，特别是难点的突破. 在此基础上，李老师再一次调整设计方案并实施教学. （三）第三次教学设计及教学：学生“声音”的来源 考虑到第二次教学中，学生困难主要在于如何建系求曲 线方程.因此在修改后的教学中，李老师首先重点回顾了学 生已经学过的直线方程的获得过程.具体地，他花了13分钟、 用四个问题引导学生回顾：（1）给出一个点坐标与斜率， 能否得到直线方程？（2）给出两个点P、Q的坐标，能否求 直线方程？（3）给出两个定点P、Q（没有具体坐标），如 何求直线方程？（4）在解答第（3）问时，你是如何建坐标 系的，怎样变得更简单？最后总结了建系求方程的步骤.然后，李老师通过实验演示画出抛物线并得到抛物线定义后， 选择了开口朝上的抛物线，要求学生建系、列方程.李老师 通过巡视后发现，大多数学生建立的直角坐标系是第二次教 学中的第一种和第二种情况.随后，李老师启发学生通过比 较，在追求曲线方程的简洁性这一原则下，确定了第一种情 况的建系方法，并推导出了抛物线方程. 学生也很快得到了 开口朝下、朝左、朝右三种情况的抛物线的标准方程，并分 别得到了相应方程的焦点坐标与准线方程. 虽然直到第三次教学结束，李老师只得到了四个标准方 程，也没有时间对这些方程进行分析及练习巩固.但是每个 教师都感到异常兴奋.大家充分体会到了：借助问题驱动教 学，促进学生思考；
给学生时间和空间，充分暴露学生的多 样思维；
跟着学生的脚步，追求学生学习的有效性；
找准学 生学习的逻辑起点，分散学生的学习难点.但是，从教学中 可以看到，李老师收集学生的声音只是通过查看学生本子上 的画图、演算过程，途径较为单一.因此，这其中还有许多 值得教研活动中进一步研讨的问题：还有其他途径可以用来 收集学生声音吗？怎样才能收集到更多、更全、更有效的学 生声音呢？ （四）对三次教研活动的总结与思考 反思这三次连续的教研活动可以发现，关注学生的声音 有利于引发连续不断地研究问题.同时也发现，好的、有效 的研讨活动需要有“专家引领”，并在民主、和谐的氛围之下，发挥每一位参与教研活动的教师的能力，才能推进教研 活动的持续开展. 1.关注学生的声音可以引发连续不断地研究问题.缺乏 可供研究的问题或主题一直是一线教师在教研活动中存在 的困惑.从以上三次连续的教研活动，可以看到当我们的视 角关注到学生时，就会不时地暴露出一些可供研讨的问题. 通过第一次教学发现，课堂充斥着教师的声音，基本没 有学生的声音，进而导致教师对教学效果的判断模棱两可， 从而想到如何让学生在课堂教学中有声音？怎样才能让学 生有更多的声音出现？要解决这两个问题，就需要在教学中 充分调动学生的积极性，引导、鼓励学生“说”出自己的想 法.根据已有的教学经验以及查阅文献发现，教师发现问题 或任务能够驱动学生思考，在学生充分思考的基础上，教师 再通过一定手段（巡视与个别回答相结合、小组交流等）收 集学生的信息. 第二次教学后发现，通过相对开放的问题与教师的适当 引导与组织，来自学生的信息明显增多了.但这些信息表明 学生在学习过程中出现了难点，即如何建系求轨迹，这就充 分暴露了在教学设计中没能真正把握学生的学习起点.于是 研讨问题转变为：如何确定学生的学习起点？与数学知识的 逻辑起点一样吗？要解决这一问题，就必须考虑什么是学习 起点？在教学中的作用是什么？就上面的案例来说，抛物线 与标准方程这一知识的基础有很多：二次函数及其图象、曲线与方程、椭圆与双曲线等等，就从教学重点和难点来看， 曲线与方程、椭圆与双曲线应是学习起点，但这些知识还没 学过，因此要将学习起点再往前推，即直线与方程. 通过第三次教学基本上解决了以上问题，但仍可从收集 学生信息的途径来提出研究的问题，也可从什么样的课堂问 题能激发学生思维的角度提出问题.比如，在实验演示时， 定直线是否一定要放在水平位置？实际上将定直线放斜一 些，对于学生来说更能够理解“建系”的意义及其过程，即 图象是客观存在的，建系是人为规定的，建系是为了能够更 好地研究图象. 2.“专家引领”保证教研活动的有效开展.由于教师能 力有限，教师的个人反思往往难以深入，这也是教研活动开 展的原因之一.但是，传统的教研活动往往是大家各自发表 完自己的观点后，基本上没有将问题进行聚焦，更不用说提 出具有针对性的教学策略并实施. 因此，“专家引领”就显 得尤为重要.在三次教研中，“专家”徐老师在教研活动中 起到了很重要的作用. 首先，营造氛围，让每位教师说出自己对教学的看法. 在每一次研讨中，徐老师首先请执教教师反思自己的教学， 然后请平时不怎么发言的教师谈谈对教学的看法，最后再请 其他教师发言.这样的安排是考虑到：在了解执教教师的教 学意图及对教学效果的把握与反思的情况下，尽量使每位教 师能够发言，从而促进他们思考教育教学的问题.其次，引导教师将研讨的问题进行聚焦.实际上，在研 讨中尤其是在第一次研讨中，教师的发言是比较分散的.比 如，有教师对板书、内容的呈现方式进行了评论，有教师就 提问次数、提问方式与类型进行了评论，也有教师就例题的 选择进行了评论，等等.徐老师对这些评论提了一个相同的 问题：你是怎样判断毛老师的这些教学行为是有效还是无效 的？这样就可以此促进教师从学生的学习效果来反观教师 的教学行为，教学研讨的焦点由教学行为转向学生信息的收 集与分析.徐老师还在每一次教学研讨后，与参与研讨的教 师一起将问题进行了聚焦和提炼.这样有利于制定出有针对 性的、行之有效的教学策略. 最后，共同制定具有针对性的教学策略.针对提出的教 学问题，徐老师首先请每位教师进行“头脑风暴”，根据各 自的教学经验提出一些教学策略；
然后，请教师当即查找相 关的文献，总结文献中的教学策略（需要说明的是，由于时 间的有限，不要求教师找到所有相关的文献，只要有一些文 章尤其是权威性的文章即可）；
最后将这些策略进行归纳概 括，并到课堂中实施.这样不仅可以调动教师的已有教学经 验，同时通过文献查阅还可以参考来自其他“专家”的相关 经验. 通过三次连续教研活动不仅没有使教师觉得费时费力， 反而非常兴奋，同时领略到了聚焦式（关注学生的声音）研 讨活动对促进教学有效性的作用.三、关注学生“声音”的数学教研活动实施要点 数学教研活动不是一个教师的行为，它是在一定目标之 下由多位教师乃至外来研究者一起参与的数学教学研究活 动.要使基于关注学生“声音”的数学教研活动有效，需要 把握好一个核心信息源、两个基本分析点以及两个基础实施 原则. （一）一个核心信息源：来自学生的信息 数学教学的最终目标指向学生的学习，教师追求的教学 有效性也应以学生学习是否有效为依据.只有这样的目标定 位，才能使研讨具有针对性，也才能激发教师开展教学研究 的热情.而只有收集到足够多的来自学生的信息，才能引发 从数学、教学、学习等多角度的值得探讨的问题. 目前，数学课堂中关于学生的声音主要包括学生的出声 思维、学习活动表现、学生对课堂教学与教师的理解等[2]. 从李老师的课堂中可以发现，他主要通过巡查收集学生在学 习活动中表现的“无声思维”，即学生在自己本子上的演算 过程.这样做有两点好处：第一，能够收集到足够多的信息. 不同于让学生个别回答的信息反馈渠道，教师可以在较短的 时间内收集每个学生的思维过程，并将其归纳整理和比较分 析.第二，为学生深入、独立地思考提供了机会.中学数学特 别是到了高中以后变得更加抽象，学生需要有一定时间进行 独立、深入地思考，才可能解决问题或者发现自身思考过程 中的困惑与疑难.教师给出任务之后，让学生独立探究，这样“静悄悄”的课堂更有利于学生深入地思考.因此，在高 中数学课堂中，切忌“热闹”表象下学生思维的“肤浅”， 更应提倡“寂静”氛围下学生“火热地思考”. （二）两个基本分析点：学科本质与学习起点 杜纳凡等人认为，现代学习理论的研究应该聚焦于以下 几个问题：（1）学生在进入课堂之前，已经拥有了哪些自 然概念，这些概念会对学生的学习产生哪些影响？（2）要 发展某个学科领域的能力，学生必须具备哪些学科知识，如 何帮助学生形成学科的理论框架？（3）如何帮助学生掌握 解决学科问题的基本策略，以及对问题解决过程的自我监控 与调节策略？[3]第一个问题实际上就是指向学生学习起点 的，后两个问题指向数学学科本质. 对数学学科本质的理解是数学教学的基础，也是数学教 研活动的基础.在上述案例中，有很多老师提出，由于没有 曲线与方程、椭圆、双曲线等预备知识和学习经验，因此学 生在学习过程中是非常困难的.但实际上抛物线与椭圆、双 曲线之间的关系只是研究方法上的相似性，在内容上没有必 然的逻辑关系.所以抛物线作为第一类圆锥曲线加以学习应 是没有问题的.二次曲线学习的本质是让学生经历获得方程 的过程.果然，在教学中由于没有关于曲线与曲线方程这一 前概念，学生在如何建系、寻找关系式及转换为坐标等方面， 即如何求轨迹上出现了困惑.在第三次教学中，李老师并不 着急，而是跟着学生的脚步，在收集学生建系的各种情况的基础上，引导学生在比较中寻找到最优（在这里即最简单） 的建系方法.在这一过程中，学生经历了从盲目建系到有目 的建系（力求简单）的过程，领悟到新知识可以从已有知识 中推导、总结归纳得到，从而消除对数学的恐惧心理，树立 学习数学的信心. 对学生学习起点的把握会影响整体的教学设计，进而影 响教学效果.正是由于前两次教学中对于作为学生学习基础 的起点的回顾不到位，导致所回顾的知识在抛物线标准方程 的推导中反而起了反作用.收集到这个信息后，在第三次教 学中，李老师首先帮助学生回忆平面中过两点的直线方程的 推导过程或步骤，为推导解抛物线的标准方程，建立了脚手 架，使学生在已有知识经验基础上获得新的知识、并巩固了 旧知及经验.从本质上来说，二次函数及其图像的实质与今 天学习的抛物线是完全不同的.首先，从研究内容来看，二 次函数及其图象的核心内容是二次函数的解析式；
而抛物线 的核心内容是抛物线的图象.其次，从研究方法看，二次函 数及其图象是以形助数，而抛物线是以数助形.先有解析式 再画出图象与先有图象再建系求方程，这两个互逆的过程， 若从思维难度上来说，列表、取点、画点、连线的操作过程， 与建系、设点、找关系式、列式、化简相比要简单很多.而 后者的难点就在于建系与找关系式.建系是否合适，将直接 影响到化简的简便与否；
能否找到关系式，与理清图形中各 要素之间的关系相关.（三）两个基础实施原则：收集信息与行动研究 第一个实施原则是，要通过各种途径收集尽可能多的学 生信息，包括课前的预测、课后的后测，尤其重要的是通过 适当开放的课堂，特别是设置适当的任务或问题激发学生思 考、暴露学生思维. 教师精心设计很重要，但收集学生的声 音也很重要.Berinderjeet等人曾指出，有效教学的特征之 一是教师精心安排的教学与来自学生的声音的整合 [4].从 上述案例可以看到，第一次教学由于教师占主导地位，完全 按照其精心准备的教学设计来实施教学，因此也就难以收集 到来自学生的信息，也无法有效地判断教学的有效性.在第 二、三次教学中，教师放开了课堂，让学生有更多的时间展 现其真实的想法，因此收集到的学生信息也就比较多了.然 而，案例中教师收集学生信息的途径相对单一，缺少用于学 生学习新知识的知识准备与相关已有概念的前测，也缺乏对 学生学习新知识后的学习效果的后测. WWw.dYLw.NEt 数学教研活动目的是为了提升教学的有效性.“作为有 效的数学教学，我们不仅应当十分关注如何帮助学生很好地 掌握各种具体数学知识与技能，而且应高度重视如何帮助学 生学会数学思维，包括由思维方法的学习向数学素养的重要 过渡，即充分发挥数学的文化价值.”[6]可见，有效教学应 既关注教师教的有效性，也关注学生学的有效性，而学生有 效地学习应是有效教学的终极追求.以关注学生的声音为中心，关注学生学习起点与学科本质为基点，通过多种方法收 集学生的声音，并用行动研究的方式开展教研活动，一定能 形成旨在提高教学有效性的连续不断的研究课题，使数学教 研活动更加有效.