数学开放性问题特征及类型初探|区域开放性特征

数学开放性问题特征及类型初探

数学开放性问题是相对传统封闭题而言，或者条件不完 全确定的、或者结论不唯一、甚至没有标准答案的问题。

1．开放性问题的特点：
1.1 可接受性 开放性问题起点低、层次多、答案不唯一、解题策略多 样化。如：①边长为12厘米的正方形可以分割为几个边长为 整数的正方形？②给一个直角型的楼梯铺上地毯，需要测量 哪些数据？这些问题与生活较接近，学生较熟悉，容易主动 接受，易产生一种”试一试”的心理。他们的答案有些易找 到，有的较难，每个学生都有参与解决问题的机会，都愿意 通过尝试解决问题去获得一些知识或者学习方法。这种可接 受性，使开放性问题还能引发多层次学生的参与。如：用2 根相等的长棒，2根相等的短棒，摆成一个四边形，你能摆 几种图形？对这类问题，基础差的学生能得出简单的图形， 而基础好的学生则能有序地考虑问题，尽量避免答案的重复 与遗漏。而且答案的完整性，更能反映学生的思唯层次。举 举手，能摘到果子；
跳一跳，能摘到更多、更好的果子。恰当地运用开放性问题，对培养学生的数学兴趣，激发他们学 习的动机，具有积极的作用。教师可恰当地布置一些开放性 问题，给学生充分的思考时间与活动空间去解决，让他们充 分享受收获的喜悦。并在课堂上让学生交流不同的解题方法， 展示解题思路，从而发现学生的学习潜能，进一步加以挖掘、 培养，让学生的“果子”越摘越多，越摘越好，让他们感受 到，原来觉得枯燥无味的数学，学起来竟是这样的其乐无穷， 越学越想学，越学越爱学，越学越会学。这样，学生的主动 性便可充分地发挥出来。

1.2 障碍性 开放性问题由于答案不唯一，题型新颖，题目涉及面较 广，没有现成的解题模式可套用，其条件可能不完善，需要 在解题过程中不断完善，不断假设条件，因此，学生不能一 眼看出答案，学生必须从实际问题中抓住本质，提炼成数学 问题，用数学思想去思考，用数学方法去解决。

评析：这是一道关于商家如何灵活经营，以获取最大利 润的问题。首先，此人欲买几册？条件没给出。再者，册数 是一整数，这一隐含条件，学生不易想到，而隐含条件在解 题过程中，何时用上，更是解题的难点。学生只有认真分析 题意，从实际问题中抓住本质：出售x册122元的利润比出售 x册80元的利润还多，建立数学模型，由1095 -122×(1- 30%)X>80×30%X（由于客人钱不够，因此X>1095/122），再 利用x的整数性质，解得x为9或为10。开放性问题条件的不完备或结论不唯一等特点，虽然常 给解题造成一定的障碍，但从另一方面，却促使学生在解决 问题的过程中，要通过观察、猜测、检验、修正、证明、推 广等各种数学方法去揭示问题的关键。这一过程不仅需要丰 富的想象力、敏锐的思维能力，去及时发现可利用的条件， 而且长时间的钻研，需要足够的耐心和细致，突破难点更需 要足够的意志和毅力。可见，开放性问题障碍性，有利于培 养学生的学习能力，还有利于培养他们的学习品质，在促进 智力因素发展的同时，也促进非智力因素的发展。

1.3探索性 开放性问题的结论常是丰富多彩的，非单调的，而解题 模式、解题途径的多样性，决定了必须从全方位，多角度去 观察、分析，充分揭示问题的本质特征，达到解决问题的目 的。如：一个因数是18，另一个因数2分别扩大5倍、10倍、 100倍，积怎样变化？再如：有一棱长为2厘米的正方体，将 它沿某些棱剪开，有几种展开图？这个问题的条件并没有规 定用何种方式剪，思维的策略不同决定裁剪的方式不同，引 发多种解题方法与结论。再如：两个人轮流报数（自然数）， 报出的数不能超过8，把两人报的数加起来，谁报数后加起 来的数是88（或88以上的数），谁就获胜。如果让你先报数， 第一次报多少就一定获胜？这个问题则应该通过不断的探 索、找规律，从而得出这个数为7。

开放性问题的探索性，有利于促进学生的创造性思维的发展。首先，开放性问题情景的创设，使学生置身于知识发 展过程中，发现差异，提出疑问，主动带着怀疑的眼光去发 现问题，造成知识冲突，教师启发诱导，让学生进入更深一 层的思维；
其次，及时展示思维过程，让学生观察、类比、 总结，从中找出异同点；
同时，组织适当的问题链，利用问 题链所具有的联系性和发散性，引发学生通过对问题追根刨 底的探索，达到创造性思维开发的目的。如：讲授定理：三 角形内角和等于180。时，教师启发学生思考：三角形的外 角和等于多少？进一步问：四边形的外角和呢?n边形的内角 和与外角和又为多少？有何规律？让学有余力的学生去摸 索。再如：一个街区有3条横街、3条纵街，如图①一个人从 左上角A处出发依最短途径走到右下角B处，共有多少种不同 的走法？若街区有5条横街，5条纵街，如图②又将有几种走 法呢？ 评析：通过观察，在多数街道的交叉口，按照最短途径 的要求，行人都只有两种选择：向右横走或向下走纵街，图 (1)较为容易求得6种情况，可图(2)具体计算则不胜其繁， 但只要类比图(1)，找出规律：行人从A-B均由4段横街和4段 纵街构成，因此，每一种走法都对应一种这4横4纵的有序排 列，反之亦然，因此，所求的不同最短途径数就等于8 1 /4! 4 1= 70种。

2．开放性问题的类型：
2.1 条件开放型即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一。如：姐 姐买苹果花了50元钱，售货员找给8元钱，你知道姐姐买了 几斤苹果吗？题中没给出苹果的单价，因此答案不唯一。又 如：某校向希望工程捐款活动中，甲班的m个男生和11个女 生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等， 都是( mn+9m +lln +145)，已知每人的捐款数相同，且都是 整数元，求每人的捐款数及m、n的值（96年全国初中联赛试 题）。此题可设每人捐款数为x元，据每人的捐款数及每班 的捐款数均为不变量，列不定方程组：mx+llx=9x +nx=mn +9m +lln +145再利用整数的性质得(l)m =35，n=37，x=47；
(2)m =12，n=14，x =25。此题虽然条件不完备，解之有困难，但 它提供给兴趣爱好者一个广阔的思维空间，使每一位解题的 人都以自己的数学背景和理解角度出发，获得对问题的解答． 2.2 结论开放型 即在给定条件下，结论不唯一或不确定。

如：（统计开放型） 一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：
已经计算两组的人均分都是80分，请你根据所学过的统 计知识，进一步判断这两组竞赛中成绩谁优谁次，并说明理 由。

评析：这道题新颖别致，结论具有开放性，正确答案必 须抓住“根据所学过的统计知识”，从众数、中位数、方差、 高分等几个角度去进行必要的计算、评估，从而判断说明成绩谁优谁次。①从众数看，甲90分，乙70分，甲组成绩较好；

②从方差看，可求得S2甲=172．S2乙= 256，S2甲< S2乙， 甲组成绩波动较小，较稳定；
③从中位数看，甲、乙两组都 为80分，与平均分相同，大于或等于这个平均分的，甲组33 人，乙组26人，甲组成绩总体较好；
④从成绩统计表看，高 于80分的人数甲有20人，乙有24人。其中满分甲组6人，乙 组12人，因此乙组成绩高分居多，这一角度乙组较突出。

2.3 设计（实践）型：需要用数学进行计划的预测和规 划问题 如：某校校长暑假将带该校市级“三好学生”去北京旅 游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余同学可享 受半价优惠”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的 6折优惠”，若全票价为240元。

问：选择哪家旅行社更优惠？（1998年西安市第2卷第8 题） 评析：这是一道有关经济的旅行预算题，在市场经济竞 争激烈的今天，善于比较，具有较强的现实意义，此题可利 用一次函数建立数学模型，分类讨论。略解：设学生数为x 人，甲旅行社收费为y元，乙旅行社收费为z元。则y =120x +240，Z=144x +144，解y≥z得x≤4；
由y4。即当 学生数少于4时，乙较优惠；
当学生数多于4时，甲较优惠；

当x=4时，选择哪家旅行社价钱均一样。

此题条件中，选取与原正方形相关的半径，此相关二字，即给解题者一个广阔的畅想空间，给他们提供一个自我设计 的机会，通过探索设计，进一步剖析正方形与圆各元素间的 关系，并从解答的图形中感受圆与正方形组合的和谐美。

开放性问题涉及的内容极为广泛，不仅是数学中的问题， 而且还有学科间的问题及与生活息息相关的问题。教师应选 择好的问题给学生，应积极为学生创设一种使“问题解决” 得以蓬勃发展的课堂环境。