数学活动经验对学生数学概念学习的影响|

数学活动经验对学生数学概念学习的影响

由于数学概念本身以及学生认知发展的特点，学生对数学概 念的学习需要经历从具体到抽象、从简单到复杂的过程，而 在这个过程中，数学活动经验构成了数学概念学习的重要组 成部分。

一、数学活动经验的教育意义 1.经验的内涵 “经验”的一般概念包括了知识、技巧，是体验或观察 某一事或某一事件后所获得的心得并应用于后续作业。而这 些以前获取的知识技巧，对于以后解决问题十分关键。在西 方，较早论述经验的哲学家以客观唯心主义的创始人柏拉图 为代表。在柏拉图（Plato）看来，经验指的是习以为常或 者把过去很多偶然尝试的结果保存下来，是附属于感觉器官 的低级认识。美国教育家杜威（JohnDewey）认为，经验不 是一种呆板、封闭的东西，它是充满活力的、不断发展的， 经验可以成为同理性和思考对抗的东西，也可以使我们摆脱 感觉、欲望和传统等局限性的影响。[1]可以看到，经验产 生于相互作用的过程，并且对未来产生积极或者消极的影响。

经验是一个很大的范畴，既是一种特殊的知识、技巧，又是包含了过程性的一种体会和感悟。

2.数学活动经验的内涵 在公开发表的论文中，关于数学活动经验的内涵并没有 形成统一，但都强调数学活动经验是一种感受、体验，强调 了过程性、结果性以及与其他数学知识的相互联系和影响。

比如，《义务教育数学课程标准（2011年版）》[2]认为“数 学活动经验是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。

数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀。” 王新民认为，“数学活动经验是过程与结果相统一的产物， 主要是一种具有过程性、创造性的个人知识”[3]，概括来 说，数学活动经验是指个体在具体数学活动中与学习环境相 互作用后所获得的经历和感悟。

首先，数学活动经验的产生来源于学习者与学习环境的 相互作用。在一般的教学里，包含了教师的“教”与学生的 “学”这两种关系。学习是通过学生的主动行为而发生的；

他学到了什么取决于他做了什么，而不是教师做了什么[4]。

数学活动经验与学习者和环境如何互动直接相关，学习者互 动的方式、互动的内容、互动的情感都影响数学活动经验的 生成。其次，数学活动经验是一种逻辑数学经验。皮亚杰认 为，在数学教育中存在着和主体动作有关的、彼此很不相同 的两种“经验”。一种是“物理经验”（广义的），指作用 于物体以发现物体本身的特性；
另一种可被称作“逻辑数学 经验”，这种经验不是从特定物体的物理特性收集其信息，而是从儿童作用于物体的实际动作收集信息的[5]。数学活 动经验是一种逻辑数学经验，它要求在一定特定的环境下对 特定的目标进行行为、思维上的操作，从而去认识、理解事 物。最后，数学活动经验本质上是一个过程性目标。《义务 教育数学课程标准（2011年版）》明确指出“帮助学生积累 数学活动经验是数学教学的重要目标”[6]，并且运用了过 程性目标“经历、体验、探索”等术语来描述数学活动经验。

对于与其他数学课程目标的关系来说，数学活动经验目标无 法单独存在，它总是渗透在基础知识、基本技能、基本思想 方法的学习过程之中，指向学习的整个过程。

3.数学活动经验对学生发展的作用 数学活动经验是学生必备的数学素养，是实现数学有效 学习的前提和关键。史宁中、柳海明认为，基础教育学科教 学实施素质教育的基本路径之一是变“双基”为“四基”[7]；

黄翔等人认为，“获得数学活动经验应成为数学课堂教学关 注的目标”[8]。数学活动经验在帮助学生理解数学知识、 发展学生抽象思维、形成智慧方面等具有重要作用。

首先，数学活动经验能够帮助学生理解数学知识。数学 的一大特点就是抽象性，这使得学习者无法一开始就能理解 数学形式化的语言。数学活动经验包括了知识经验、方法经 验、过程性经验、情感经验等，这些已有的经验奠定了学习 者继续学习的基础，能够帮助学生遇到新问题时形成一种解 决问题的直觉。数学活动经验能够指导学生自发建构数学知识的意义，避免学习者理解上的困难。其次，数学活动经验 是实现其他数学课程目标的重要纽带。数学活动经验的生成 需要结合具体的学习内容，这些内容可以是知识的、技能的 也可以是学习者对数学的情感体验。因此数学活动经验的生 成渗透于完成其他数学课程目标的过程之中，反过来，数学 活动经验又能动的提升其他数学课程目标的达成水平。最后， 数学活动经验有助于形成智慧。数学知识本身并不具有终极 的教育价值，而更为重要的是，学习数学的过程当中经历思 考对思维的训练，从而促进人智慧的发展。皮亚杰认为，人 的智力发展的最后一个阶段为形式运算或命题运算阶段，就 是一般讲的抽象思维阶段，这是认知发展的理想目标，因此 教育的最高目标是具有逻辑推理能力和掌握复杂抽象概念 的能力[9]。数学活动经验强调让学习者经历数学知识发展 的过程，自主建构对数学知识的理解，学习者不再是被动的 接受知识，而是在学习过程中不断去探索、反思、纠正，在 这样的学习过程中有助于学生创造性和批判能力的形成，为 最终发展学生的智慧提供了可能。

二、数学概念学习的条件 1.数学概念的内涵 在数学中，作为一般的思维形式的 判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，数学概 念则是构成它们的基础。数学的一个显著特征就是概念众多， 而且不同分支的数学概念往往有不同的特点，因此概念理解 是数学教学中的最基本也是最主要的任务之一[10]。从数学本身的发展来看，数学概念主要来源于两个方面：一是直接 从客观事物的数量关系和空间形式反映而得，二是在抽象的 数学理论基础上经过多级抽象所获得[11]。因此，数学概念 可以相应的分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而 形成的概念，这类概念与现实比较贴近；
另一类是纯数学抽 象物，这类概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构 造，没有客观实在与之对应[12]。但是，从学习者习得数学 概念的角度来看，数学概念形成并不完全是一个逻辑的过程， 按照拉卡托斯的观点，数学定义并非一开始就是精准的，其 中有一个抽象化和精致化的过程。学生需要循序渐进的建立 对数学概念的理解，比如范希尔理论对几何思维水平的刻画， 他反映了学生对几何概念的理解具有顺序性。此外，作为学 习者认知结构的数学概念，又会由于学习者自身的认识结构 水平的不同，存在着对数学概念不同水平的理解。

2.数学概念学习的方式 对于数学概念的学习，主要包括概念形成与概念同化两 种方式。概念形成是以学生的直接经验为基础，用归纳的方 式抽取出同一类事物的共同属性，从而达到对概念的理解；

概念同化则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具， 依靠新、旧概念的相互作用理解概念[13]。概念形成与概念 同化是两个相互促进的过程，概念形成包含着同化的因素， 要用具体的、直接的感性材料同化新概念；
同样，概念同化 也不能脱离分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素[14]。3.数学概念与数学活动经验的关系 数学概念由于上述的各种特征，它同数学活动经验一样， 具有对象与过程的双重属性，不管是概念形成还是概念同化 都离不开数学活动经验。从对象性的静态角度看，数学概念 是学习者需要习得的一种数学知识；
从过程性的动态角度来 看，数学概念的习得需要学习者不断经历数学活动从而建构 知识对自身的意义。不管是概念形成还是概念同化，数学概 念的学习都是一个循序渐进有层次的过程，学习者都必须经 历多种数学活动，逐渐形成从具体到抽象的理解，然后又在 不同的问题情境中检验、加深理解的程度。对于数学概念的 理解，维纳与稻尔提出的“概念意向”、“概念定义”以及 斯根普提出的“工具性理解”与“关系性理解”都充分说明 了过程对于理解的重要性。数学概念的理解是一个从简单到 复杂、从具体到抽象、从孤立到整体的循序渐进的过程，在 这个过程中，伴随着利用、重组、改造数学活动经验。数学 活动经验是概念理解的沟通工具以及思维的材料，教师应在 概念理解的不同层次开展适宜的数学活动，用多种方式对数 学概念进行表征，帮助学生建立概念理解的过程。

三、数学活动经验对数学概念学习的作用 数学活动经验与数学概念都具有过程性和对象性的双 重属性，对数学活动经验的关注，从根本上说就是对数学概 念理解顺序性、过程性的强调。这种建立在大量数学活动经 验上的学习，对于促进学生的概念理解具有重要作用。1.数学活动经验为概念学习的各个阶段提供了感性经 验 感性材料或感性经验是影响概念学习的重要因素。虽然 这些数学活动经验带有明显的个体认知成分，并且存在原始、 肤浅、片面、模糊的特征，但这类直接数学活动经验是建构 个人理解不可或缺的重要素材。如果缺乏这些数学活动经验， 学生的感性材料和感性经验较少，就会导致学生对概念的感 知不充分，概念的本质属性和无关属性无法充分比较，对掌 握概念所必须的经验不能建立起来。不管是稻尔提出的“数 学的三个世界”、皮亚杰的“反思性抽象理论”、还是布鲁 纳的“表征理论”，都解释了学生的认知发展具有顺序性， 是从具体到形式化的过程，而在这个过程中必须以个体生理 上的感知和行为为基础。换句话说，学生头脑形成的数学概 念都有具体形象的“影子”，而这种”影子”来源于学生学 习概念时的感知、操作等具体活动。通过丰富的数学活动， 学生能对数学概念进行多重表征，这有利于学习者从各种表 征中获得共同的性质从而成功的建立数学概念，同时也能增 强这一理解迁移至其他领域的能力。

2.数学活动经验为概念理解提供了解释和组织的背景 数学概念之间具有广泛的联系，这种联系包括概念与背 景的联系、概念结构本身的联系，数学概念总是处于一个组 织良好的概念体系之中。因此，个别概念的意义总有部分是 来自于其他概念的相互关系，或出自系统的整体特征[15]。数学概念学习总是涉及新旧概念的信息，数学活动经验能为 我们提供解释信息的背景知识，帮助学习者建立知识之间的 内在的“非人为”的逻辑联系，从而将难以理解的数学信息 组织成了一个连贯的、有意义的整体。没有这种贯穿知识之 间的数学活动经验，学生将难以对信息做出前后一贯的解释。

比如，在学习《圆的面积》时，教师可以指导学生回忆“圆 的周长公式、已学图形的推到过程”，帮助学生回忆和提取 “未知图形的面积可以转化为已学图形来推导面积公式”这 一重要策略。这一策略包含了丰富的数学活动经验，不仅涉 及学习这些面积公式的整个学习经历（包括认知经验、情感 体验性经验、动作技能性经验），还包含了对这些数学概念 知识的回忆和巩固。因此，学生以前的数学活动经验不仅为 “圆的面积”这一新概念的学习提供了方法上的借鉴，更提 供了一个概念间相互联系的学习背景，帮助学生理解与组织 新的数学概念。

3.数学活动经验影响学生对数学概念的回忆和提取 一般来讲，积累了丰富数学活动经验的数学概念，我们 往往有更好的记忆；
而对于缺乏数学活动经验机械记忆的数 学概念，记忆的效果则不太好。APOS理论指出，数学对象、 图式的形成是一种渐进的建构过程，一个数学概念由“过程” 到“对象”需要经过多次的反复、循环渐进，螺旋上升的理 解。在整个环节中，相应的具体操作或者数学活动提供了必 要的基础，使学生在头脑中逐渐建立起数学知识的直观结构形象。在这一点上，菲尔兹奖的获得者瑟斯顿在描述数学的 特征时，也提到“数学具有惊人的‘压缩性’”，而这种压 缩性来源于对数学知识的整体认知，而整体认知则需要学习 者经历对数学知识发生、发展、应用的全过程的参与和体验。

数学概念的学习是循环上升的，数学活动经验能为不同抽象 程度的学习提供多样化的感性材料（知识领域、情感领域、 动作领域），还能强化学习者的理解程度，提高学生回忆和 提取新、旧知识的速度和质量。

参考文献：
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罗康， 张阅译.课程与教学 的基本原理[M].北京：中国轻工业出版社（2014）.p66 [5][9]皮亚杰著，卢濬译.皮亚杰教育论著选[M].北 京：人民教育出版社：2015 [7]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径 [J].教育研究，2007（8）：10-14，57 [8]黄翔，童莉.获得数学活动经验应成为数学课堂教学 关的目标[J].课程·教材·教法，2008（1）：40-43[10][11][14]鲍建生、周超.数学学习的心理基础与过 程[M].上海教育出版社.2009 [12]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学 探讨[J].课程·教材·教法.2009（7）.第29卷第7期