【打磨数学试题的功能美感与导向以一道高考模拟解答题为例】导向功能

打磨数学试题的功能美感与导向以一道高考模拟解答题为例

在高考数学试卷中，函数与导数解答题通常作为压轴题， 具有很强的探索性。这类试题的命制尤其需要经过不断地研 究打磨，才能既符合命题原则与考试要求，又考查得出学生 应有的知识水平与综合能力。在2016年11月的苏北四市高三 摸底考试中，本市命制的函数与导数解答题作为压轴题出现 在试卷中。下面，就以本题的命制为例，谈谈命题的打磨。

一、题目与解答 题目设函数f(x)=ln x－ax2+ax，a为正实数。

（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方 程；

（2）求证：f1a≤0；

（3）若函数f(x)有且只有1个零点，求a的值。

解答（1）（2）略；

（3） f′(x)=1x－2ax+a=－2ax2－ax－1x，x>0。令f′ (x)>0，得a－a2+8a4a＜x＜ a+a2+8a4a。因为a>0，所以a－a2+8a4a＜0，所以f(x)在0,a+a2+8a4a上单调增，在 a+a2+8a4a,+∞上单调减，所以f(x)≤fa+a2+8a4a。

设x0=a+a2+8a4a。显然，f(1)=0。

当x0=1时，f(x)≤f(x0)=f(1)=0，f(x)有且只有x0这1 个零点，符合题意。此时a+a2+8a4a=1，解得a=1。

当x0>1时，f(x0)>f(1)=0。此时a+a2+8a4a>1，即0＜a ＜1，则1a>1，且a+a2+8a4a＜1+94a=1a。由（2）知f1a＜0。

所以，f(x)在x0,1a上存在零点，则f(x)共有2个零点，不符 合题意。

当x0＜1时，f(x0)>f(1)=0。此时a+a2+8a4a＜1，即a>1， 则0＜1a＜1，且a+a2+8a4a>1+94a=1a。由（2）知f1a＜0。

同理，f(x)在1a,x0上存在零点，则f(x)共有2个零点，不符 合题意。

综上，x0=1，a=1。

二、命题历程 本题的命制由笔者（W）与四位一线教师（A、B、C、D） 参与打磨，打磨的重点在于作为压轴之问的第3问（不仅因 为这一问的难度要求最高，而且因为这一问可能需要通过前 两问作出必要的铺垫）。

（一）构造模型 首先，A教师设想构造一个对数函数与二次函数的和函 数，考查图像的切线、函数的单调性以及零点。其理由是， 这类函数求导后通常只需要研究二次函数，是学生较为熟悉的；
而考查的内容则是导数的常规应用和重要考点。接着， A教师选择ln x和a(x－1)2作为基本函数。其理由是，两个 函数图像都过定点(1,0)，而且均不复杂，这样和函数的一 个零点便是1，在一定程度上降低了讨论的复杂度。于是，A 教师得到初稿—— 初稿设函数f(x)=ln x+a(x－1)2。

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程；

（2）讨论函数f(x)的单调性，并写出单调区间；

（3）讨论函数f(x)的零点个数。

（二）打磨试题 B二次的形式太过明显，会使学生很容易发现定点的情 况。此外，如果直接对f(x)求导，二次的形式又给人以复合 函数求导的感觉，这对文科生是不作要求的。

W二次的形式倒没什么，其本来的意图就是让学生发现 定点的情况。摸底考试的原则是让学生考出信心，考出成就 感。只是复合函数的形式最好不要出现。

A可以把二次的形式打开，即f(x)=ln x+ax2－2ax+1。

当然，对于这样的二次三项式，学生也很容易想到配方的。

C1、2、1这样的系数对于学生来说太熟悉了，可以把常 数项去掉，把一次项系数变得平常些，即改成f(x)=ln x+ax2 －ax。

D（出示图1）利用几何画板作图可以看到，这个函数的零点可能不大容易讨论。当a大到一定程度时，f(x)的两个 极值都在(0,1)内。从图像上看，极大值始终是小于0的。但 是，要证明它，可能不太容易。

图1 A求导得f′(x)=2ax2－ax+1x，x＞0。当a>8时，f′(x) 在(0,1)内有两个零点，f(x)的极大值点取在左边，设极大 值点为x0，那么极大值为f(x0)=ln x0+ax20－ax0。利用方 程2ax20－ax0+1=0消元，有a=1x0－2x20＞8，所以f(x0)=ln x0+x20－x0x0－2x20=ln x0+x0－11－2x0，0＜x0＜14。下 面再求这个函数的最大值。令g(x)=ln x+x－11－2x，0＜x ＜14，求导得g′(x)=4x2－5x+1x(2x－1)2= (4x－1)(x－ 1)x(2x－1)2，0＜x＜14，可知g(x)在0,14上单调增，所以 g(x)＜g14=ln14－32＜0，也就证明了。这样也就可以作为 独立的一问了。

W导数零点求不出，学生就怵了。利用导数方程消元不 是学生的强项。不过，作为压轴题倒也可以，起码能够起到 引导学生提升的作用。如果作为一问，还得加上条件“a>8”， 这太突兀了。那么，能不能限定f(x)只有一个零点，求a的 取值范围？ （大家合作得到如下第1稿。） 第1稿设函数f(x)=ln x+ax2－ax。

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程；
（2）讨论函数f(x)的单调性；

（3）若函数f(x)有唯一零点，求a的取值范围。

B就是说还是把它作为讨论的一种情况。考虑到第2问还 要讨论f(x)的单调性，过程就太复杂了，答卷上可能都写不 下。

D能不能只讨论f(x)有两个零点的情况？1已经是一个 零点了。从图像上可以看出，当－1＜a＜0时，另一个零点 在1的右边；
当a＜－1时，另一个零点在1的左边。就这两种 情况，所以结果是a＜0且a≠－1。

（大家合作得到如下第2稿。） 第2稿设函数f(x)=ln x+ax2－ax。

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程；

（2）讨论函数f(x)的单调性；

（3）若函数f(x)恰有两个零点，求a的取值范围。

Cf(x)恰有两个零点，就是要f′(x)只有一个正零点。

这样f(x)的图像就是先增后减的，所以只要极大值大于0即 可。但是，fa－a2－8a4a>0这个不等式不好解，还是需要消 元解决。和前面a>8时的消元过程一样，可得g(x)=ln x+x－ 11－2x在14,1上单调减，在(1,+∞)上单调增。而且g(1)=0， 所以只要极大值点不是1，极大值都是大于0的。

B这么说是不需要讨论了。而且学生如果不会解极大值 大于0的不等式，不会消元，就不能得分。W那就让f(x)只有一个零点，求负实数a的值。学生容易 得到a的值，也容易“会而不全”。不过，一般都是指定正 实数a，所以最好再改一下函数解析式。

（大家合作得到如下第3稿。） 第3稿设函数f(x)=ln x－ax2+ax。

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程；

（2）讨论函数f(x)的单调性；

（3）若函数f(x)有唯一零点，求正实数a的值。

至此，围绕压轴问的打磨基本完成，题目的主体也基本 搭建好。

（三）打磨解答 Af′(x)=－2ax2+ax+1x，x＞0。设f(x)有极大值f(x0)， 则－2ax20+ax0+1=0。因为f(1)=0，所以f(x)的唯一零点就 是1，那么极大值f(x0)必然为0，其实就是x0=1。这样的话， 代入－2ax20+ax0+1=0，即－2a+a+1=0，就能解出a=1。这就 太简单了。

W这只是找到了“f(x)有唯一零点”的一个充分条件， 即如果极大值f(x0)=0，那么f(x)有唯一零点。但是，如果 f(x)有唯一零点，那么极大值f(x0)也可能大于0。（出示图 2）比如，另一段图像是以x轴为渐近线的。

图2 B因为当x→0或x→+∞时，f(x)都是趋向于－∞的，所以可以利用零点的存在性定理判断：极大值大于0时，f(x) 一定有两个零点。（出示图3）解决的思路应该是这样的。

D怎样寻找x1，是一个难点。f(x)的图像是动的，x1应 该是与a有关的。

W近年来的江苏高考题都比较注重这类x1的寻找。这是 学生的短板，但是确实需要训练。

B从图像的变化来看，当x0＜1时，a>1，要找的x1＜1；

当x0>1时，a＜1，要找的x2>1。x1、x2的大小与a的大小正 好相反地变化，所以可以分别取x1=1a，x2=1a，那么f1a=ln1a －1a+1，可以证明只要a≠1，f1a＜0恒成立。

W你因为有几何画板，所以看得清楚。学生怎么能够发 现呢？ A可以考虑在第2问中给个提示。原来的第2问讨论单调 性太复杂，可以改为证明不等式f1a＜0？ （大家合作得到如下第4稿。） x0≠1时x0＜1时→可知f(x0)＞0;
存在x1,使f(x1)＜0→在(x1,x0)内有1个零点 x0＞1时→可知f(x0)＞0;
存在x2,使f(x2)＜0→在(x0,x2)内有1个零点矛盾 图3第4稿设函数f(x)=ln x－ax2+ax。

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程；

（2）求证：当0＜a＜1时，f1a＜0；
（3）若函数f(x)有唯一零点，求正实数a的值。

A这样只是给出了x0>1时的x2。x0＜1时的x1就留待学生 去发现吧。

W给学生先铺个路，看学生能否细心留意。这样，第3问 的解答可以参考今年的江苏高考题，先确定a的值，再用反 证法证明。另外，第1问求出的切线方程不太简洁，出现了 ln 2，不如改成“在点(1,f(1))处的”。

（大家合作得到如下第5稿。） 第5稿设函数f(x)=ln x－ax2+ax，a为正实数。

（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方 程；

（2）求证：当0＜a＜1时，f1a＜0；

（3）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。

[www. DyLW.net/yuwen/提供论文代写和代写论文服务] 至此，针对前两问的修改也基本完成，一道题干简洁、 设问精炼、考查函数与导数的核心问题、入手浅而又不失灵 活性、考查从基础知识和基本方法到灵活的思维能力和严谨 的推理论证的压轴题便基本完成。后来在四市汇总时，笔者 又将第2问中对a的范围限制去掉，从而铺了一条完整的路， 让学生能顺着走下去。

三、命题体会 一道好题，应具有科学性、探究性、创新性，应关注学 生的数学素养、学习过程、应用意识、思维的开放性和批判性。磨题是命题的重要环节，打磨试题的关键在于打磨试题 的功能、美感和导向。

（一）打磨试题功能 高考模拟试题，首先要有考查基础知识、基本技能和基 本思想方法的功能，以反映教与学的有效性；
其次要能兼顾 考查思维的灵活性，以达到较好的区分度。本题前两问考查 导数的几何意义（求切线方程）和导数的应用（研究函数的 单调性、最值）；
而第3问中，参数引起函数图像的动态变 化，关注动曲线过定点可以很好地反映思维的灵活性，不同 的考生会有不同程度的思考。

（二）打磨试题美感 试题除了具有考查功能，还应注意美观。好的试题不会 给人以烦冗压抑之感，而能让人赏心悦目地开启解题之旅， 并随着每一问的引导，将思考逐步深入。本题初稿中，讨论 f(x)单调性的问题是函数含参问题的常考类型，重点考查学 生的分类讨论思想，但是因为讨论情况过多，书写过程复杂， 占据篇幅过大，会影响考生做最后一问，于是改成了为最后 一问铺路的证明不等式问题。而经过打磨，本题题意简洁， 目标明确，方向清晰，是训练学生直觉猜测与严谨推理的好 材料。

（三）打磨试题导向 命制高考模拟试题，还应考虑其对教与学的导向作用。

每年高考过后，高考题的导向作用首先体现在下一届的模拟题中。各地的模拟卷多少都能看到高考题的影子，其初衷是 引导日常的教与学具有高考意识。本题与2016年江苏高考第 19题有着内在的联系：由基本初等函数的性质，可以判断出 问题的结果；
但是要严谨推理，却要颇费一番周折。在命题 的过程中，就出现了“极大值为0”的错误判断，这是使用 数形结合思想时常犯的一类错误，即用看到的“事实”掩盖 实在的推理。本题意在引导师生研究高考命题，研究高考题 的分析思路、解答过程、书写规范。