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哲学的思维 [从数学思考走向哲学思维《数与形》教学设计分析]

来源:交易合同 时间:2019-10-21 07:51:52 点击:

从数学思考走向哲学思维《数与形》教学设计分析

从数学思考走向哲学思维《数与形》教学设计分析 摘 要:图形思考是数学抽象、数学推理、数学模型等 基本数学思想的集中反映,是最具数学特色的思维方式。

《数与形》是综合运用知识经验进行问题解决发展数学思考 的一节应用实践课。本案例设计的系列教学环节,试图借助 图形直观感受“数”与“形”之间的联系,把图形不仅作为 一种数学语言、数学工具,同时更作为一种数学方法、数学 思维方式,以帮助学生直观地理解、分析和解决问题,在感 悟数形结合思想的过程中,体会数与形作为一种存在方式和 表现方式,既是数学的,也是世界的。

“数与形”是人教版小学数学六年级上册教材第八单元 “数学广角”的新增部分,学习内容相对独立,思维性也比 较强。教材分两个例题进行编排,“例1”是发现图形中隐 含着数的规律,利用数的规律解决图形的问题,是用“数” 来解决“形”的问题。“例2”是利用图形直观地解释一些 比较抽象的数学原理、事实和思想,是用“形”来解决“数” 的问题。“例2”试图通过一道特殊的分数加法的计算,让 学生进一步体会数与形之间的内在联系,借助“形”沟通加 法与减法的关系及理解“无限接近1”,并能把数形结合的 思想迁移到解决一些实际问题,培养几何直观,发展数学思 考,帮助学生积累思维活动经验。学生对于结合“形”来分 析问题有一定的零散经验,如在第一学段要求学生通过观察 形,发现其中的一些规律,并解决简单的问题。另外,在课堂学习中也曾运用图形解释抽象的数学原理和事实的情况, 如利用小棒、计数器模型来认识抽象的数,利用点子图来理 解整数乘法的算理,借助线段图来理解分数除法的算理,借 助面积模型来解释分数乘法的算理、运算律等,这是本课教 学的起点。但以传统的教学审视,“例2”以及后面编排的 几道习题都属于思维训练题甚至数学竞赛题,是供学有余力 的学生学习的,对普通学生来说要求相对偏高。

一、课前调研 课前,笔者调查了一个班的40名学生,调查内容为:o. 9+0.09+0.009+……=?请用你喜欢的方式解释结果。前测 数据显示,认为结果是“0.999……”的学生占62. 5%,认 为结果是“1”或“无限接近于1”的学生占30%,认为“结 果无法表示”或“不会解答”的学生占7.5%。其中,仅有15% 的学生能够主动联想到运用图形(长方形或正方形面积模型、 线段长度模型)对运算的过程与结果做出合理性解释。这表 明,大部分学生没有主动运用图形来描述、分析和解决问题 的意识,没有体会到将图形应用于数学思考的价值。根据以 往的教学经验,学生学习本课的最大难点是“为什么……结 果无限趋近于1或者就是1”,学生对于极限思想的体会是个 很重要的思维卡点。另一个难点是,学生很难想到借助“形” 沟通加法与减法的关系及理解“无限接近1”,这种几何直 观的数学思考是学生需要跨越的一个障碍。二、教学目标 基于教学内容分析及课前调研,笔者确定了如下教学目 标:
1.在解决“数”的问题情境中,借助“形”(面积模 型、线段图等)来直观感受与“数”之间的关系,体会有时 “形”与“数”能互相解释,并能借助“形”解决一些与“数” 相关的问题。

2.经历运用数与形结合来分析思考数学问题的过程, 在“观察 猜想 关联 操作论证 归纳”等数学活动中,通过 撬动数与形的关系链接发展数学思考,感悟数形结合的思想 方法,提高问题解决的能力。

3.感悟数形结合的思考价值,培养独立思考、合作交 流、反思质疑的习惯,感受到问题研究的乐趣,喜欢数学, 喜欢思考。

三、教学重难点 教学重点:借助“形”感受与“数”之间的关系,用数 形结合的思想方法解决数学问题。

教学难点:体会极限思想,感悟图形作为数学思考的价 值。

四、教学流程 (一)数形互猜活动,初步感受关联 1.依次出示3个图形(见图1、图2、图3)。

提问:看到它们,你能想到哪个数?预设:第1个图形:5、15……第2个图形:3.5、……第 3个图形:0.25 …… 2.再依次出示下面3个数:
提问:看到它,你又能想到什么样的图形? 预设:第1个数:半径为2的圆、直径为4的圆;
第2个数:
边长为5的正方形;
第3个数:棱长为6的正方体。

小结:通过刚才的互猜游戏,看到图形我们能联想到数, 看到数我们还能联想到图形。看来,数与形之间有一定的紧 密联系。今天,我们就一起来研究数与形之间的奥秘。

[设计意图:从图形联想到数,再从数联想到图形,经 历“抽象 直观”互相解释的过程,初步感受“数”与“形” 之间的关联,突破数形认知转换的障碍,为后续数学问题的 解决埋下伏笔。] (二)运算问题解决,建立数与形的关联,感悟数形结 合的数学思考价值 1.计算分数加法,发现与应用模式。

提问:如果按这个规律加下去,接下来该加多少? [设计意图:在分数加法的计算中,让学生经历发现、 应用数学模式(即规律)的过程,学生通过观察发现加数有 规律,和也有规律。在数学学习中,要善于发现数(或形) 中的规律,只有发现了规律,才能进一步应用规律。] 预设4:后面的分数依次是前面分数的,可以画图表示…… [设计意图:在寻找数学模式时,不同的学生思考问题 的角度不同,找到的规律也不同。利用若干个数、式中存在 的有限规律,通过推理得到一般性的结论,再把这一结论应 用到所有符合这一模式的情形中去,这是一种典型的归纳推 理的思想和方法。本环节设计重在让学生体会这一思路。] 2.借助图形沟通分数加减法的联系。

课件动态演示,如图4。

[设计意图:借助面积模型图(形)直观感受与数(式) 之间的关系,体会形与数之间可以互相表达、解释,在数与 形之间建立关联,在问题解决中初步感悟数形结合的思想方 法,经历数学中几何直观的过程,初步体会数形结合的好 处。] 3.感悟极限思想。

提问:这个算式还能继续往下加吗? 提问:这个算式如果继续不停地加下去,加不加得完? 预设:还能加,永远加不完。

提问:…,像这样一个加不完的算式,你猜一猜最终的 结果会是多少? 预设:
[设计意图:猜想是数学思考和创新意识培养的必备前 提,让学生联系已有的活动经验经历数学猜想的过程,从而 提高后续验证的科学性。]追问:能不能在学习单上面个图,用“形”来证明你的 猜想,把你的思考过程画下来。

出示思考题(见图5):
学生先独立思考操作、解释、论证,再小组交流,教师 巡视指导,与小组学生交流,完成快的高效能小组带着本组 的思考成果下座位与其他小组同学交流。

[设计意图:小组合作学习的前提一定是个体独立思考。

在前期“以形助数”活动经验积累的基础上,出示研究活动 “学习单”,使得无论是能力强还是能力弱的学生都能明确 研究对象、研究任务、有效的研究方法和最终的检查方式, 进而在独立思考、小组交流后全班汇报时,组织条理清晰的 表述模式和表述语言,即儿童个体数学表达结构的建立,这 无疑是一次思维的巨大提升。] 学生反馈——预设1:正方形图;
预设2:圆形图;
预设 3:长方形图;
预设4:线段图。

[设计意图:尊重学生多样化的图示论证方法,尊重学 生数形结合的多元思维表达方式,学生质疑、争论的焦点是 图形无限地分下去算式的最终结果到底是不是1,即使有了 图形的直观支持,仍有学生对算式的最终结果为1这一事实 难以理解,这是十分正常的,这也恰恰是极限思想的精髓、 数学思考的魅力所在。] 课件辅助演示,见图6。

提问:式子中减去的去在图中表示的是什么?预设:空白部分的面积。

追问:如果继续往下加,空白部分会怎么样? 预设:空白部分会越来越小(理解无穷小)。

启发:还能否往下加?如果再继续无休止地加下去,空 白部分最终会怎么样? 预设:空白部分最终会被涂色部分填满。

引导学生发现:不停地加下去,空白部分会越来越小, 小到看不见,无限接近于O;
涂色部分越来越大,大到最终 充满整个正方形,结果无限接近于1。

课件继续演示,见图7。

提问:加到,还要继续加吗,能不能停下来? 提问:不断地加下去,这条线段会怎么样?长到哪里? 预设:线段继续延长,长到最终充满整条线段,结果无 限接近于1。

[设计意图:极限思想是学生理解的最大难点。无论是 学生独立论证小组交流,还是必备的课件动态演示,目的是 借助图形沟通关系、一目了然、关注变化,刻画运算连续性 中的变化,即图形中空白部分与涂色部分的面积的变化,理 解“无限”与“无穷小”,理解变化中“无限”才能理解“有 限”,从而理解运算的结果“无限接近1”,让学生在建立 关联中感悟这种极限思想,进而再次深入体会数形结合数学 思考的精彩之处。] 回顾:刚才我们是怎么解决数的运算问题的?小结:我们通过图形发现,像这样一个算式可以转化成 一个简单的算式来算,我们又借助正方形图、线段图、圆形 图等发现这样一个无止境的算式,它的最终结果无限接近1。

启发:借助图形解决数学问题有什么精彩之处? 小结:这样复杂的计算如果借助图形来解释就会变得直 观、简单。看来数与形的联系非常紧密,形不但赋予了数实 际意义,也给了数鲜活的生命。

[设计意图:回顾“以形助数”解决数学问题的意义, 体会图形的力量,感受数形结合思考的价值,培养学生归纳、 概括的数学能力。] (三)唤醒链接,拓展贯通,感悟数形结合思考的价值 过渡:其实,像这样借助数与形紧密关联的方法来解决 问题的情况在我们小学阶段以往的数学学习中并不陌生。回 想一下,在哪里见过?举例说明。

课件依次演示(见图8、图9):
小结:有的时候,利用图形来直观地解释一些比较抽象 的数学原理与事实,让人一目了然。比如,利用小棒、计数 器模型来认识抽象的数,利用点子图来理解整数乘法的算理, 借助线段图来理解分数除法的算理,借助面积模型来解释分 数乘法的算理、乘法分配律等。

[设计意图:回顾小学阶段六年数学学习中用“形”来 解决“数”的问题,唤醒以往散落的知识经验的记忆,以成 体系,感受图形在问题解决中的价值,使抽象的数学原理与事实变得直观、简明,体会数学中不同表现方式的关系,体 会数形结合思考的意义。] 出示图10:
提问:有认识的吗?这个公式主要讲述了一件什么事 情? 预设:勾股定理,在直角三角形中,两条直角边的平方 的和等于斜边的平方。

明确:勾股定理也叫毕达哥拉斯定理,迄今为止,存在 着几百种证明方式。但有一种不需要语言的证明。

课件演示(见图11):
小结:给三角形加上一点厚度,从面积问题跳转到了具 象的体积问题,这就是图形中的思维变换——数形结合的力 量。

[设计意图:以勾股定理为拓展延伸,关注小初数学课 程内容中数学思想方法的衔接,链接“以前”和“以后”。

在这种不需要语言的无声证明中,再次体会“形”的力量。] (四)课堂延伸,观看视频,感悟数形结合和谐完美的 万千世界 引导:数与形之间的联系在数学世界里是这样的密不可 分,其实,在现实生活中,大自然同样赋予数与形千丝万缕 的联系,数与形有机地结合在一起,构成了一个和谐完美的 万千世界。让我们一起走进去看看吧! 播放微视频《斐波那契数列——上帝的指纹》,课堂在学生观看微视频中结束。

[设计意图:通过“斐波那契数列”微视频,使学生感 悟“数”与“形”不仅是数学的表现方式,也是世界的存在 方式。其中蕴涵的数学规律,支配着自然,鹦鹉螺的花纹、 人体结构比例、希腊帕特农神庙……万千世界无不遵从数学 的规律,数与形的有机联系带给世界以和谐的美感。斐波那 契数是大自然的一个基本模式,它出现在许多场合。由此, 数学命题升华为哲学命题。] (五)学习效果评价设计 1.淘气这样计算5. 8X 3+7X4.2,他这样计算对吗?请 你试着借助图形解释其是否合理。

[设计意图:体会借助图形能够直观简明地解决运算问 题,感受数形结合思考的价值。] 2.小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的公园健 身中心,用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里, 还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。

然后,小兰跑步回到家中,用了5分钟,而爸爸是走回家中, 用了15分钟。下面的图(图12、图13、图14)是描述谁离家 的时间和离家距离的关系?为什么? [设计意图:体会有时图可以帮助我们直观地解决问题, 有时候也能帮助我们用数学的思维分析问题,理清题目意 思。] 3.(a+b)2=a2+2ab+b2这个公式叫作完全平方公式,你能画图来解释这个公式吗? [设计意图:借助图形来证明完全平方公式,感受“形” 与“数”之间的关系,用数形结合的思想方法解决数学问题。] 五、教后反思 首先,本课不仅重视了图形作为数学语言和数学丁具所 具备的价值,更挖掘了图形作为数学思考在问题解决中的价 值。将发现、应用数学模式与借助图形沟通关系发展数学思 考,自然地融合在一起,建立数与形的关联,让学生体会数 学思维中几何直观的力量。

其次,选用的学习素材,能够激发学生积极思考,主动 寻求图形描述和分析问题的内在需求,保证了教学目标的顺 利实现。同时,唤醒以往的知识学习过程,链接“以前”, 衔接“以后”,积累数学活动中操作的经验和思维的经验。

体会数与形作为一种存在方式和表现方式,既是数学的,也 是世界的。

第三,学生在本节课中经历不断发现,不断创 造,不断质疑,不断收获,不断成功的学习过程,体验数学 思考的力量,感受图形作为数学语言、数学丁具、数学方法 的价值。而且,学生的每一次思考都被充分尊重,每一次创 造都被肯定,每一次挑战都激起学生追求成功的信念,保证 了数学学习的兴趣,让学生喜欢数学、喜欢思考。

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