[关于抛物线及其标准方程的研究]抛物线的标准方程

关于抛物线及其标准方程的研究

本文运用举例方式列举出数学中常见的有关抛物线及其标 准方程的题型，并论述抛物线在实际生活中的具体应用。

一、抛物线及其标准方程的定义 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一个定直线l距离相等的点的轨 迹叫作抛物线，F和l分别是抛物线的焦点和准线。

另一种表达方式是：若 =1，则M的轨迹是抛物线。

2.抛物线的标准方程 设直线l与x轴的交点为K，=P，则F=（ ，0），l：x=- ， 设点M的坐标为（x，y），则 化简得，y2=2px（p﹥0）。

根据抛物线在平面内的位置不同，可得出其他形式的标准方程：
y2=-2px x2=2py x2=-2py，其中p﹥0。

二、抛物线及其标准方程的运用 1.给出抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程 这类问题是比较简单的抛物线问题，可以通过抛物线的 方程求出p值，根据抛物线在坐标轴中的位置，确定焦点和 准线的位置，从而得到结果。

例1：已知抛物线的标准方程是y2=4x，求它的焦点坐标 和准线方程。

解：由2p=4，得出p=2，所以焦点坐标是（1，0），准 线方程是x=-1。

例2：已知抛物线的标准方程是x2=8y，求它的焦点坐标 和准线方程。

解：根据抛物线方程可知焦点在y轴上，由2p=8，得p=4， 所以焦点坐标是（0，2），准线方程是y=-2。例1和例2是抛物线的基础题型，只需要根据抛物线的标 准方程确定焦点F在x轴还是y轴上，准线与哪条坐标轴平行， 就可以准确计算出焦点和准线。

2.给出抛物线的焦点坐标或准线方程，求它的标准方程 求解这类问题的关键是通过焦点坐标和准线方程确定 抛物线的位置，从4个基本方程中选择正确的表达形式。

（1）直接给出 例3：已知抛物线的焦点坐标F（5，0），求它的标准方 程。

解：由焦点坐标可知，抛物线的标准方程属于y2=2px， 由 =5，得出p=10，所以抛物线标准方程为：y=20x。

例4：已知抛物线的准线方程为y=3，求它的标准方程。

解：由准线方程可知抛物线位于第三、第四象限，所以 抛物线的标准方程为x2=-2py，由 =3，得出p=6，所以抛物 线标准方程为x2=-12y。总结：在进行抛物线标准方程的求解时，一定要根据题 意进行判断分析，而且要注意焦点和准线方程的符号。

（2）间接给出 在熟悉了较为简单的抛物线计算后，已经能够较为灵活 地在焦点、准线、标准方程之间进行转换，此时需要进行抛 物线的深入研究，对其中的各个知识点加以巩固。

例5：求过点B（1，2）的抛物线的标准方程。

解：经过分析，只有抛物线开口向上或者是开口向右时， 才能经过点B，所以当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，把 B（1，2）代入y2=2px，得p=2;当抛物线的焦点在y轴的正半 轴上时，把B（1，2）代入x2=2py，得p= 。所以，抛物线的 标准方程是y2=4x或x2= y。

总结：当给出平面中一个点的坐标时，就能够判断出抛 物线在平面中的位置和开口方向，之后将点的坐标代入到标 准方程中，求出p值，从而列出标准方程。

例6：已知抛物线的标准方程是y2=-8x，将焦点向左移3个单位，求新的抛物线方程。

解：由y2=-8x得p=-4，所以焦点F的坐标为（-2，0）新 的焦点F?的坐标为（-5，0），由=-5，得p=-10，所以新的 抛物线方程是y2=-20x。

总结：知道了抛物线方程就能求出焦点坐标，根据题意 将焦点移动，得出新的焦点坐标，求出p值，就能得到新的 抛物线的标准方程。

以上是数学中的常见题型，较为简单，只需要熟悉抛物 线的定义和标准方程就可以轻松解答这类问题，下面我们将 研究抛物线的实际应用问题。

三、抛物线的应用 学习数学是为了更好地解决实际中的问题，而在实际的 生活中，经常可以看到各类数学模型，我们可以将所学的知 识代入，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，使问题简 单化。

例7：如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O 点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-4）2+h。已知 球网与O点的水平距离为6m，高度为2m，球场的边界距O点的 水平距离为12m。

（1）当h=3时，求y与x的关系式。

（2）当h=3时，球能否越过球网？如果球能越过球网， 球会不会出界？ 解：（1）因为A点在抛物线上，所以将A点坐标（0，2） 代入方程，得16a+h=2。因为h=3，所以a= =- ， y=- （x-4）2+3。

（2）当h=3 x=6时，y=- （x-4）2+3 y=- （6-4）2+3=2.75 ﹥2，所以此时球能越过球网。

当h=3 x=12时，y=- （12-4）2+5=1﹥0，所以球会出界。

本题是抛物线知识的延伸，我们应把实际的排球发球问 题建立出数学模型，使其转化为抛物线问题，通过代入数据 计算抛物线的顶点和与x轴的交点坐标，从而判断出球是否 会越过球网和出界。在实际生活中经常会遇到抛物线问题，如拱桥的形状、 投篮时篮球的运动轨迹等，所以学生应学好抛物线，将数学 和生活实际结合到一起，以解决更多的实际问题。

总之，本文将常见的抛物线问题一一列举出，并提出了 相应的解题方法，在遇到有关抛物线的实际问题时，我们应 善于建立抛物线的数学模型，将各种已知条件代入，以便学 生思考和计算。

参考文献：
王丽媛.《抛物线及其标准方程》教学反思[J].延边教 育学院学报，2012（1）.