数学解题教学的境界:数学解题教学

数学解题教学的境界

会解题是针对学生的数学问题，结合自己的知识水平和 能力水平，对题目所反映的信息进行处理，并得到题目的解 题思路或解题方法，其目的是为了求得自己对题目的理解， 并能顺利地解完此题，得到答案。

会讲题是针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和 能力要求，对题目所反映的信息进行处理，使学生能够思路 顺畅地掌握题目的核心点，并能够把握这一类题目的处理方 法，其目的是让学生更好地理解、消化、运用所学过的知识 以及思想方法，顺利地解决此类问题。

我们来看两位教师答疑后的情景，判断一下其中的教师 属于会解题还是会讲题：
（1）学生：老师，你讲的我没有听懂。

教师：我明明讲得很清楚，可是学生说不懂!是不是学 生的基础太差了? （2）学生：老师讲的我都懂了，可是我还是不会做。

教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么还不会做题呢? 是不是学生故意来捣乱的?毫无疑问，这两种情况都属于教师会解题而不会讲题的 情况。

会讲题的教师在讲题之前应该是这样的：①教师认真做 过题；
②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题 过程中遇到哪些障碍?③思考学生在解题过程中会遇到哪些 障碍?怎样讲才会使学生更容易接受? 比如，学生问到如下一道题：如图，将一张长方形纸片 翻折，则图中重叠部 答案很简单：等腰三角形。

经过询问，了解了学生的疑问：答案为什么不可以是钝 角三角形?一定是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰 三角形? 笔者引导学生拿了一张长方形纸片动手折了起来，结果 发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角 形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形。如 图所示：
而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中∠a的变化 就轻松搞定，即：
①当45°＜a＜90°时，△ABC 是锐角三角形；

②当0°＜a＜45°时，△ABC 是钝角三角形；

③当a=45°时，△ABC 是等腰直角 三角形，当a=60°时，△ABC 是等边三角形。

结合翻折，重合的角相等，即∠BAC=∠BAG，因DG∥BC，根据平行的性质，两直线平行，内错角相等，得∠ABC=∠BAG， 所以∠BAC=∠ABC，则△ABC 是等腰三角形，教师结合翻折 和平行的性质，运用逻辑推理，加以证明，学生理解了无论 ∠a 取何值，重叠的三角形一定是等腰三角形。最终学生满 意而归。

一个会讲题的教师从审题环节就会以学生为主体，会充 分考虑学生的情况和疑难点，从学生的角度出发寻找适宜的 方式方法，真正学会如何教学生学习，不仅仅是模仿和同伴 互助，更需要教师的精心设计。

二、教会学生学习方法，展示学生的思维 经常听到教师说：“ 我已经很用心给学生讲解了，有 的题讲了10 多遍，学生怎么还不领情，考试还是不会做呢？” 这里我想问，这些教师真的用心了吗？是否有“嘴勤心懒” 现象？ 一个小学六年级学生问到这样一个题目：从4、7、0、2 四个数字中，选出三个数字，一共能组成（ ）个三位数， 其中最小的三位数是（ ）。

题目不难，考查的核心是列举法。教师也的确是利用列 举法解答的：(1)以4 作为百位数：470、420、407、402、 472、427；
(2)以7 作为百位数字：740、720、704、702、 742、724；
(3)以2 作为百位数字：240、270、204、207、 247、274。其中最小的三位数是204。

教师的解答属于正常解答，但听完之后总感觉少了什么。教师尽管用了列举法，但逻辑不够深入，没有触发学生思维 的锚点，学生下次遇到同样的问题尽管会想到列举法，但仍 然可能遗漏，导致题目不能完全得分。

如果我们利用列表或者树状图来展示思维过程，学生就 会很自然地领会“分类讨论”思想，下次在遇到类似题目的 时候知道怎样做到不遗不漏，当然，在初中学习概率的计算 时也会更轻松自如。

在这里，分类讨论的思想需要明确向学生说明吗？不一 定，关键是我们要根据学生的学习情况以及思维的发展状况 自然而然地去渗透这些思想方法，去渗透解题的规律，这才 是真正的用心！ 一位好的教师要学会让学生唱主角，要学会做导演，要 学会“跑龙套”，要学会让学生展示他的思维过程，让学生 暴露他的思维盲点，让学生自己尝试解答题目，让学生自觉 总结题目的特点和解题方法，教师则应该在这个过程中衬托 学生，在学生遇到问题时辅助他找到解决的思路和方法，让 学生感觉自己很牛，自己就可以解决问题，而这需要教师对 学生情况熟练把握，需要教师用心设计答疑的方案，让学生 按照思路和方案来展示。

三、让学生从“清楚”上升到“懂”，再上升到“学会” 有的教师在给学生讲课时，常常会问学生：“你清楚了 吗？你懂了吗？你学会了吗？”清楚、懂、学会，这三者之 间有区别吗？有什么样的区别呢？“清楚”是指通过教师的讲解，学生能够把题目中的每 一个已知条件“分得开”，能够把这些已知条件分解成自己 熟悉的一个个知识点，能够理解这些条件的作用，能够理解 教师每一步的做法。

“懂”是指通过教师的讲解，学生能够把题目中涉及的 知识点与自己过去熟悉的知识、方法联系起来，能够“连成 网”，能够通过这些知识点之间的关系串出一个简单的思路。

“学会”是指通过教师的讲解，学生能够在懂的基础上 对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养学生思 维的发散性和深刻性，并能够使学生具备一定的自主探究能 力。

有这样一道题目：如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形 EFGH 的三个顶点E、G、H 分别在正方形ABCD 边AB、CD、DA 上，AH=2，连结CF。

(1)当DG=2时，求△FGC 的面积；

(2)设DG=x ，用含x 的代数式表示△FGC 的面积；

(3)判断△FGC 的面积能否等于1，并说明理由。

第一问中四边形(菱形)EFGH 已特殊化为正方形，容易 得到△FGC 的面积等于4。

第二问中“DG=x”是让菱形EFGH一般化，连接GE，通过 证明△HAE≌△FMG，得FM=AH=2，△FGC 的面积=6—x（0＜x ＜6）。

第三问是借助试题中“菱形EFGH的两个顶点E、G 分别在正方形ABCD边AB、CD 上”的限制作用。由第（2）问可知， FM=AH=2 是一个定值，所以x 的大小限制了△FCG 的面积。

因为HD＞AH，所以HC＞HB，因此：①点E 不可能与点A 重合；

②点G 不能与点C 重合。这样通过代入数值求出x 的值并由 此求出HG (或AE)的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等 于1了。

按照这样的分析，针对学生的情况进行讲解，学生清楚 题目的解答过程是没有问题的（即学生清楚了），如果互动 合理，引导学生进行分析，引导学生考虑已知条件之间的关 系，学生听懂也问题不大（即学生听懂了），但是不是会就 不一定了。

因为在上面的解答中，第(2)问中“ 连接GE”是学生解 题的一个难点，但这一难点的突破没有在讲题(或解题)中得 到暗示，同时，试题中连接GE 有些不流畅；
另外由于点F 是 随着点G、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到CD 的距离 FM=AH=2 是一个定值，但点F 到AD的距离却在一定范围内发 生变化，这一点也是学生不容易想到的。

连结GE 是为了证明角相等进而证明三角形全等，如果 不添加这条辅助线可以吗？ 当然可以，在七年级学习平行 线的时候，如果我们把平行线的性质进一步引申可以得到 “ 如果一个角的两边分别平行另一个角的两边那么这两个 角相等或互补”这个命题，如果在分析环节和学生说明这个 命题的正确性，辅助线GE 就可以不需要添加了。WWw.dYLw 同时，为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊—— 一般——特殊”，可引导学生将本题图形置于平面直角坐标 系的背景中，以探究动态菱形EFGH中点F 的位置变化为主线 改编题目。通过比较探究，相信学生能够掌握这一类题目应 该从何处入手，能够把握这一类题目的解题思路和解题方法。

当然这需要教师辅导学生时对题目有较深的研究和理 解，和学生的互动也比较和谐顺畅，否则一切都无从谈起。