单摆周期测量误差探析|单摆的周期和什么有关

单摆周期测量误差探析

为了提高测量的精确度，我们通常采取的观测方法有两种：
在规定时间内，测量单摆摆动的次数；
用秒表测量相同摆动 次数时所需要的时间，这种探究的活动目标指向性非常明确。

可是，我们经常看到的结果是：有些学生经过多次实验、记 录，数据出现较大差异，得出的结论与预设的探究目标完全 不同。

如何处理这样的情况，如何科学地看待差异数据，一直 困扰着一线教师。很多教师面对这样的难题，面对差异数据 是这样处理的：
一种认为是数据上的问题。许多老师采取数据统计的方 法，使数据趋于一致，意在引导学生关注支持结论的数据， 不支持结论的数据则认为是误差数据。另一种认为这是学生 理性思维方面的问题。有的老师觉得出现这种差异数据的问 题在于学生的理性思维不充分，逻辑性推理证据不足，学生 在证据链不统一的情况下轻易下结论，以偏概全。

笔者认为，以上两种处理方式都不对。首先，笔者承认 充足的证据很重要，科学的结论是建立在充足的证据基础上的，但我并不认同“逻辑性推理的证据链统一”这一说法， 认为证据链不统一就是无效数据的归纳方法显然是不科学、 不合理的。其次，在单摆周期测量中，测量误差肯定是存在 的，但并不代表不支持结论的数据就是误差数据，误差数据 是有一定取值范围的。在物理学计量中，测量值+估计值=准 确值，其中估读值是测量值的一部分，是读出准确值后，余 下的一位数要进行估读，其结果为估计值。也就是说，在单 摆周期测量中，估读值最大值为0.5，那么在测量摆动10 次 时，相对误差控制在5%以内的数据才算误差数据，超过此值 就不算是误差数据，而是错误的数据。这种错误数据的出现 从本质上来讲，还是说明了学生的实验操作有错误。

笔者发现，在单摆周期测量过程中，摆长的改变、摆角 的改变、摆运动的轨迹改变以及实验者的反应时间不同，都 会对摆的周期测量造成影响，甚至造成错误。为了减少误差， 有必要在学生实验前进行指导。

一、单摆周期测量误差分析 1.单摆摆长测量带来的误差 根据单摆运动的周期公式 可知（其中l指摆长，g 是重力加速度），如果摆长测 量误差为△l，引起周期测量绝对误差为△ T，相对误差为 δ，则有δ = 在实验中可能出现以下两种情况导致摆长发生变化：（1）摆的悬点不固定。

倘若在实验过程中，摆绳是绕在悬点上的，那么在实验 时，摆在做周期运动时，向左运动和向右运动时的摆长就会 有所不同，在单摆周期测量时将会带来一定的误差。

（2）摆锤加重量时使重心位置改变。我们所指的单摆 是一种理想的模型，把摆锤看成是一个质点，摆绳指的是摆 的悬点到质点之间的距离。我们通常用螺帽来做摆锤，摆绳 则是悬点到螺帽重心点之间的距离。当给摆锤加重量时，倘 若重心位置不变则不会有误差，但这是难以做到的。倘若加 重量的过程中，重心位置发生改变，就会引起摆动周期误差。

这两种情况使摆长改变量约为几个毫米，若以0.5厘米 计，这种改变给摆长为25厘米的摆带来的相对误差约为1%；

若摆长更短，则引起的相对误差会更大，如图1。

2.摆角角度大小变化造成测量周期误差 研究发现，单摆在摆角小于10°的条件下振动时，可近 似认为是简谐运动。单摆做简谐运动时，振动周期只与摆线 长度有关，与摆角大小、摆锤质量无关。也就是说，单摆的 简谐运动与摆角大小是有一定关系的。

笔者在摆长一定的情况下（选择了摆长为0.25 米和1.0 米的摆，此时摆长改变引起的相对误差比较小），完成了摆 的摆角与周期关系的几组实验，得出的数据如下：
2.摆角角度大小变化造成测量周期误差研究发现，单摆 在摆角小于10°的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。单摆做简谐运动时，振动周期只与摆线长度有关，与摆角大 小、摆锤质量无关。也就是说，单摆的简谐运动与摆角大小 是有一定关系的。笔者在摆长一定的情况下（选择了摆长为 0.25 米和1.0米的摆，此时摆长改变引起的相对误差比较小）， 完成了摆的摆角与周期关系的几组实验，得出的数据如下：
2.摆角角度大小变化造成测量周期误差研究发现，单摆 在摆角小于10°的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。

单摆做简谐运动时，振动周期只与摆线长度有关，与摆角大 小、摆锤质量无关。也就是说，单摆的简谐运动与摆角大小 是有一定关系的。笔者在摆长一定的情况下（选择了摆长为 0.25 米和1.0米的摆，此时摆长改变引起的相对误差比较小）， 完成了摆的摆角与周期关系的几组实验，得出的数据如下：
理论上讲，摆长为0.25 米摆振动10 次的时间为10秒钟， 摆长为1.0 米摆振动10 次的时间为20 秒钟，如果把时间差 视为Δt，摆的摆角引起的相对误差为δ，则有δ=Δt/t， 通过数据分析图2、图3，我们可以发现摆角从5°变为15°， 引起周期测量误差在1%以内（两表的数据是笔者实验数据， 理论数据会更小）。也就是说，学生实验时，摆角大小选在 这个范围较合适。

3.摆动时摆线不在一个平面上，摆锤运动轨迹为椭圆， 这样造成的测量周期误差 单摆是一种理想化模型。摆在摆动时有可能摆线不在一 个平面上，假设摆的运动形成了圆锥摆（即摆锤运动轨迹为圆），那么从理论上来看，如果把摆的摆角看成θ，摆长为 l，摆的周期为T，则有。由摆长为0.25 米的圆锥摆和摆长 为1.0 米圆锥摆在各摆角下的周期理论值（见表3、表4）可 知，摆角为15°时，产生的周期测量误差要小于2%，摆角越 大，产生的周期误差会越明显。

4.实验者反应时间不同带来的测量周期误差 反应时间指的是人从发现情况到采取相应行动经过的 时间。每个人的反应时间均不相同，一般人反应时间在0.2 秒 至0.4 秒之间，那么在测量摆长为0.25 米（理论周期为1.0 秒）的摆的振动周期时，如果计振动10次的时间周期，这样 带来的相对误差在2%至4%。如果实验过程中，由不同的人进 行计时，则会产生更大的误差。

综上分析，笔者认为，为了降低单摆周期测量的误差， 建议教师在学生实验时强调以下几点：
（1）悬点固定；

（2）加重量时考虑重心位置；

（3）摆角选择在5°到15°之间；

（4）线拉直，使摆绳尽量处于同一平面；

（5）同一个人完成计时。

二、单摆周期测量误差改进前后的实践 为了检验以上分析，笔者找了6 组学生（2 人一组）进 行单摆测量周期实验，一~三组在没有指导过的情况下直接 实验，四~六组经过指导后进行实验。实验材料为相同的细棉绳和螺帽，所选螺帽从顶端到中心的距离为0.9 厘米，这 样，在摆绳长24 厘米（摆绳长指的是支架低端到螺帽的顶 端距离）时，实际摆长约为25 厘米（24.9 厘米）。各组所 测得的15 秒内的摆动次数如下：
在实验巡视中，发现第一组学生把线绕在竹棍上，拉开 的摆角大概在30°左右；
第二组学生固定了悬点，拉开的摆 角约为30°；
第三组学生把线绕在竹棍上，拉开的摆角约为 60°～70°。

从上述数据对比来看，没有指导过的小组测得的数据与 理论值间的差距要远大于指导过的小组，这些数据是在摆长 为25 厘米的情况下测得的，倘若摆长更短，这个比例差距 将会更大。通过以上实验，我们可以发现，在不考虑实验者 反应时间的情况下，在实验前，有没有对悬点固定、摆角的 选择、线是否拉直等方面进行指导，对于单摆周期测量有较 大的影响。

教学中出现问题并不可怕，可怕的是学生的思维不发生 碰撞，只跟随教师的步伐。学生需要创新思维，教师更需要 创新、反思。教师要学会从问题出发，重新审视教学过程， 而不是根据经验说话；
教师要学会从学生能达到的目标出发， 重新审视教材内容的设计，而不是直接向学生灌输教材内容。

只有这样，我们的科学教育才能更上一层楼。