内容深刻 [把简单的内容教得深刻以函数的表示方法为例]

把简单的内容教得深刻以函数的表示方法为例

作为数学教研员，笔者经常听评常态的数学课。在听课 过程中笔者经常发现，教师将教材上的内容简单直接地呈现， 按部就班地讲解，让学生一点一点地接受；
整个教学过程体 现不出教师对教学内容的个性化理解和学生对学习内容的 理解程度，也缺乏教师对教学内容的深度加工和促进学生深 度理解的方法手段。这样的课听下来，总感觉与学生自己看 书自学没有多大区别，教不如不教。笔者多次在听课后询问 授课教师同样的问题：这节课你讲与不讲、讲与让学生自学 有什么区别？教师的教学价值体现在哪些方面？授课教师 多是说一些培养学生能力的套话、空话。这样的课上，教师 把“简单的内容”教得简单了：就知识教知识，没有对教学 内容进行多维度挖掘；
教学目标单一，没有发挥出数学的育 人功能。

数学教材中很多知识内容从表面上看并不复杂，就是一 个定义、一个公式或一个性质等。对此，学生一看就“懂”， 一学就“会”，也能简单运用——解决一些简单问题。但是，这种“对着谜底理解谜面的方法，很容易理解谜面的意思， 却无助于猜谜能力的提高”。比如，对于“函数的表示方法”， 苏教版高中数学教材一共介绍了三种表示方法（列表法、图 像法、解析式法）和两道例题；
学生理解这三种表示方法， 会做这两道例题，并不是难事。但是，如果站在深度学习、 教书育人的角度思考，“简单的内容”教学并不简单：函数 还有其他的表示方法吗？教材为什么介绍这三种表示方 法？这三种表示方法各有什么优缺点？在什么情境下选择 哪种表示方法？它们之间能相互表示吗？本节内容的学习 能渗透哪些数学思想方法？能培养学生的哪些数学能力？ 教材给出的例题的功能是什么？还能作怎样的拓展？等等。

这些问题都是教师需要深入思考的。这就要求教师深入“理 解数学、理解学生、理解教学”，把“简单的内容”教得深 刻。

一、理解课标与教参的教学要求和建议 教学需要经验，更需要依据，需要标准。教到什么程度， 如何教，既要根据以往教学的经验来判断，更要依据课程标 准与教学参考书对教学内容的要求和对教学方式的建议（常 规教学也要考虑考试大纲）来决定。教师要结合具体教学内 容和总体课程目标，对课程标准与教学参考书进行反复研磨 和深入解读，从而确定教学目标、教学重点、教学难点、教 学方法、教学策略、教学过程等。教师还要习惯于查阅课程 标准与教学参考书，结合教学实践，理解教学。对于“函数的表示方法”，课程标准提出的总的要求是：
“在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图 像法、列表法、解析法）表示函数。”“通过具体实例，了 解简单的分段函数，并能简单应用。”教学参考书提出的更 具体的要求和建议是：“理解同一个函数可以用不同的方法 表示。”“列表法、解析法和图像法是三种常用的函数表示 方法，在教学中应引导学生多举一些生活或其他学科中的例 子，以加深对函数表示法的理解。”“通过实例，使学生感 受到函数就在身边，体会到数学知识的广泛应用性，培养学 生的抽象概括能力及解决问题能力。”“函数的三种表示法 具有内在的联系，在一定条件下，是可以相互转化的，教师 应根据例题进行适当的示范和讲解。”“了解简单的分段函 数的特点及应用。”可以说课程标准与教学参考书的要求和 建议是多角度、多层次的：既明确了教学目标，提出了对知 识掌握和能力培养的要求，也提供了教学方法。不认真阅读 课程标准与教学参考书，很难有如此全面的“经验”。

二、系统认识教学内容（课题） 对于任何一节课的教学内容（课题），都不能孤立地看 待，而要放入章节、教材中从整体与系统的角度去认识、理 解、把握、设计。“函数的表示方法”是“函数的概念、定 义域、值域及图像”之后，“函数的性质”之前的学习内容。

有了函数的概念，就要研究其表示方法（不会表示函数，其 他一切都无从研究起）；
有了函数的表示方法，进而研究函数的性质。就像有了集合的概念，需要研究集合的表示，进 而研究集合的运算（性质）一样，这是研究数学概念（对象） 的基本套路。所以，这一课题的教学时机是自然的、恰好的， 教学中要让学生理解这种研究思路和研究方法，学会自己进 行思考，提出研究问题。

对于一节课的教学内容（课题），还要“咬文嚼字”， 深入理解；
并且把静态的文本内容（如情境、问题、例子、 结论等）转化成动态的思维过程，让学生从中学习数学知识 与方法。“函数的表示方法”中，“表示方法”是重要的， 因此这节课的重点是三种表示方法，必须理解清楚、掌握到 位；
但是，不会表示何谈方法，有了方法还要会表示，因此 “函数的表示”也是重要的。作为教材，选择最直接的三种 情境，体现三种不同的表示方法当然是恰当的，但是作为教 学，则不能只呈现教材上的三个例子，还应该给学生更多的 例子，让学生选择方法表示其中的函数关系，理解不同的表 示方法，在不同的表示中概括、抽象出这三种最常用的表示 方法。此外，从整个高中数学学习过程看，学生通常缺乏解 决应用题的能力，其主要原因是缺乏建模能力，而建模能力 主要表现在表示出函数关系上。所以，本节课以及后续教学 中，还要重视“函数的表示”，让学生会选择合适的方法表 示函数。

三、深入分析问题情境 问题情境是知识的载体与探究的动因，有助于学生充分理解知识，因此知识的教学离不开问题情境的设置。问题情 境往往具有比较复杂的内涵，教材设置的问题情境更是隐含 比较丰富的用意。对此，教师需要深度分析，从而引导学生 充分理解、掌握知识。

对于“函数的表示方法”，教材一脉相承地沿用了前一 小节“函数的概念和图像”开头的三个问题情境。第一个问 题情境以表格形式呈现了年份与人口之间的函数关系，如表 1所示；
第二个问题情境以解析式形式呈现了物体下落距离 与下落时间之间的函数关系，即y=4.9x2；
第三个问题情境 以图像形式呈现了时刻与气温之间的函数关系，如图1所示。

第一个问题情境中的列表法简洁明了，对应关系明确， 函数的“输入值”与“输出值”一目了然；
第二个问题情境 中的解析法概括全面，对应关系精确，由任一时刻都可以计 算出距离——这也是学生最熟悉的表示方法；
第三个问题情 境中的图像法能直观形象地反映函数值随自变量值变化的 趋势。而且，第一个问题情境可以用图像法表示，但是很难 用解析法表示；
第二个问题情境可以用图像法表示，但是很 难用列表法表示；
第三个问题情境既不好用解析法表示，也 很难用列表法表示。所以，三种表示方法各有优缺点，都有 存在的必要性；
对于不同的问题、不同的需要，应该选择不 同的表示方法。比如，教材例1呈现的是“购买某种饮料x听， 所需钱数为y元”的问题情境，用三种表示方法都可以。教 学中，要让学生分别用不同的表示方法表示其他两个函数关系，从而体会各种表示方法的优缺点，明白上述道理；
而不 能通过教师的介绍来强调。此外，在三种表示的相互转化为 也体现了数形结合思想和转化思想，为后续学习“函数与方 程”作好铺垫。

四、适当拓展例、习题 教学要“用教材教”，而不是“教教材”。教师要基于 学生的实际水平，从促进学生的深度学习和思维发展的角度 出发，对教材内容（尤其是例、习题）进行适当的变式拓展， 以增强学生对相关概念、原理的理解与应用。

对于“函数的表示方法”，在学生学习了函数的三种表 示方法以及分段函数的概念之后，教师可以提出“狄利克雷 函数D(x)=1,x是有理数， 0,x是无理数”的表示方法问题，扩大学生的见识。在 学生学习了教材中的例2“画f(x)=|x|的图像”之后，教师 可以增加变式1“画函数f(x)=|x+1|的图像”。这样做一方 面是为了考查学生能否对函数f(x)=|x|的分段画法进行迁 移（实际上，很多学生对|x|会分x>0，x=0，x<0讨论，但是 对|x+1|不会分x+1>0，x+1=0，x+1<0讨论），从而检测学生 是否真的理解函数f(x)=|x|的分段画法；
另一方面还可以引 导学生发现图像平移的方法，从而由模仿上升到创造。学生 理解变式1后，教师还可以给出变式2“画函数f(x)=x|x－1| 的图像”，让学生发现其是由两个二次函数各取一部分构成 的，从而拓展对分段函数的认识，减少思维定势。学生掌握变式2后，教师可以继续提出要求较高的变式3“画函数 f(x)=|x|+|x+1|的图像”，引导学生基于函数f(x)=|x|与 f(x)=|x+1|图像的画法，进一步分类讨论、去绝对值，欣赏 到不一样的分段函数图像，体会到分段函数中的思想方法。

而且，变式2与变式3中的函数都是后续学习中重要的函数模 型，在此借助分段函数的学习，进行适当的渗透，既有利于 对分段函数的理解，又有利于后续的函数学习。当然，这样 的拓展需要适度，不能偏离目标中心。比如，“已知f(x+1) 的解析式，求f(x)的解析式”的问题不涉及函数表示方法的 转换、比较，只是对解析法的深度认识，而且具有一定的难 度，需要较高水平的抽象、整体思维，因此不合适在本节课 作过多的拓展讲解。

五、充分体现学生自己的理解 教学不只是“教课程”，而且是“教学生”；
要由“教 书”变成“育人”。要把“简单的内容”教得深刻，就要在 教学过程中促进学生对学习活动的参与，体现学生对学习内 容的理解。很多教师在教学中常常以自己的理解代替学生的 理解，甚至认为自己讲解过后学生就应该理解，也应该与自 己理解得一样。但是，事实不是这样的：学生都有自己不同 的学习经验，有自己不同的认知基础，所以会有自己不同的 理解、个性化理解(即使内容很简单或者经过了教师的讲解)。

所以在教学过程中，教师要让学生充分展示自己的理解，使 学生从不同的角度充分理解。在此基础上，教师要处理好预设与生成关系，基于学生的理解及时调整预设，有针对性地 实施教学，促进学生进一步理解，让学生走向深刻。

学生将f(x)=x在x轴下方的图像对折上去；
第三位学生 根据f(x)=|x|的图像关于y轴对称画；
第四位学生用描点法 画f(x)=|x|的图像。于是，乙教师分别肯定了学生的理解， 并在学生理解的基础上进行讲解，使学生既肯定了自己的想 法，也理解了别人的想法，更优化了自己的解法。此时，再 让学生画函数f(x)=|x+1|的图像，学生基本没有错误。可见， 虽然教师习惯于用分段的方法解决，但是学生有自己不同的 理解；
而顺着学生的理解展开教学，可以取得更好的效果。