[打通标准到执行的教学通道]打通通道

打通标准到执行的教学通道

数学文化是在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事 数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。

[4]国内外数学家和数学教育家已十分肯定数学文化（数学 史）对数学教育的意义，归结起来至少有以下三点：有助于 理解数学；
激发学生的学习兴趣；
指导数学课堂教学。基于 此，有很多专家学者提出：数学教育本质上是数学文化教育。

由此，有必要将“（算术）平均数、众数和中位数”置于数 学文化的视角来分析。

义务教育阶段，反映数据集中趋势的统计量一般有众数、 中位数和算术平均数。从历史上来看，这三个统计量的来源 却不一样。人们最早应用反映数据集中趋势的统计量可能是 众数。公元前428年，雅典受困需要突破敌人的围城，很多 人通过数城墙砖的层数的方法来估计城墙的高度，利用众数 来反映该组数据的一般水平。在历史上，人们还使用中位数 替代（算术）平均数来反映某个总体的集中趋势。1599年， 爱德华·怀特（Edward Wright）将中位数应用于航海，用 以确定指南针所指定的位置。1874年，费 歇 尔（R. A. Fisher）将中位数用来描述社会和心理现象。1882年，高尔 顿（Galton）第一次使用“中位数”一词。使用（算术）平均数有以下几个来源：第一，用平均数来估计较大的数。公 元4世纪，印度鲁帕那（Rtuparna）为了估计果树上树叶和 果实的数目，使用了平均数。第二，重复测量取平均数以减 少误差。公元16世纪末，第谷（Tycho Brahe）为了减少观 测的误差，率先取重复测量值的平均数作为天文学观测的数 据。后来，这种方法在欧洲得到广泛的运用，有效地减少了 系统误差。第三，平均数的补偿性。古希腊时期，数的大小 用线段表示，其平均数的定义为“a和c中间的数b称为算术 平均数，当且仅当b-a=c-b”，古代中国也有类似的思想。

第四，利用平均数来公平分配。大约公元前1000年，地中海 地区航海贸易比较发达，但存在风险，人们想到利用平均数 的方法解决公平分担风险问题。第五，平均数是总体的代表 值，在现实情境下不一定具有实际意义。1831年，魁特奈特 （A. Quetelet）提出“平均人”概念：有这样一个人，他 在一切重要的指标上都具有某一群体中一切个体相应指标 的平均值。[5] 基于数学文化的分析，可以建立有关反映数据集中趋势 的数学知识结构，从而帮助学生形成结构完善的概念图。在 数据分析时，人们倾向于先使用众数和中位数刻画数据的集 中趋势。因此，有必要将平均数、众数和中位数安排在同一 个单元。2.基于学习心理学的分析。

统计与概率虽然进入基础教育比较晚，但是有关统计与 概率的学习心理研究随着课程改革在不断地深入。关于反映 数据的集中趋势的统计量的一些研究有了以下一些结果。

Strauss和 Bichler研究发现：50%的8岁学生和几乎所 有的10岁学生能够理解平均值位于最大值和最小值之间。几 乎所有的学生能够理解平均数受每个数据的影响，平均数不 一定是真正的数据。[6]Mokros和 Russell发现：有些低年 级的学生将“平均数”理解为出现次数最多的一个数据（众 数）。有些低年级的学生将平均数理解为中位数。有些低年 级的学生虽然意识到算术平均数，但是具体数据问题中不会 应用。[7]Russell和Friel设计了一道测试题：九个不同品 牌的薯条，袋子大小规格相同，所有品牌的平均价格是 1.38 美元，问九种不同牌子各自价格是多少？测试的结果是：大 部分学生认为平均数是数据中出现最多的数。小部分学生认 为平均数是中间的数，并构造一些以平均数为中心的对称数 据。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位 澳大利亚学生，发现：40%的三年级的学生、7%的六年级学 生和 2%的九年级的学生不理解平均数。[9]上述研究表明， 关于这三个统计量的学习难度存在不同，学生学习众数和中 位数的难度较低，而平均数则比较难。由此，不妨先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法， 然后再进一步学习平均数。

3.基于数学知识内容的分析。

平均数、众数和中位数作为反映某组数据的集中趋势， 并在比较中判定在某种条件下所适用的统计量，这是数学知 识的内在规定。根据数学知识内在规定的特点来组织教学， 才能更深刻、全面地理解平均数概念及其统计意义。

平均数、众数和中位数都是作为反映某组数据的集中趋 势的统计量，但一般来说，这三个统计量的使用存在着前提 条件。如果某组数据呈现正态分布，那么平均数、众数和中 位数都能客观地反映该组数据的集中趋势，三个统计量没有 区别。如果某组数据呈现偏态分布，那么必须考虑这三个统 计量的适用条件，才能客观地、较为真实地反映该组数据的 集中趋势。一般地，在明显存在极端值的情况下，用中位数 更能代表总体的一般水平。在某些数据出现的频次相对比较 多的情况下，用众数能较真实地代表总体的一般水平。在某 些数据呈现均匀分布的情况下，往往使用平均数来反映该组 数据的集中趋势。这三个统计量所蕴涵着的统计意义，归结 起来大体有四点：作为判断事物的数量标准或参考；
作为代 表来衡量不同总体之间的水平；
作为用样本的平均数来推断 总体的水平；
作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化，探索研究对象的发展规律。

三、思考与建议 行文至此，有必要梳理一下相关结论并给出相关建议了。

首先，从课标研制的角度而言，理论与实践的结合是数学课 程标准制定的永恒法宝。数学课程标准的研制需要考虑社会 发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律 与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务 教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等 这五项基础性研究，但是更细致地、深入到每一个数学知识 点的研究，则需要从数学知识内在规定性、学习心理学的相 关研究以及数学历史文化三个方面对具体知识点进行综合 分析，并且开展相关的教学实验对理论分析进行验证。

最后，由于“众数、中位数和平均数”这一内容本身具 有一定的抽象性，需要学生具备一定的计算能力，因而笔者 赞同将其放在第二、三学段进行教学，但对具体的教学顺序 与要求有自己的看法。具体而言，（1）将平均数、众数和 中位数安排在一个单元，有利于相似知识的连贯性教学；
（2） 先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思 想方法，然后再进一步学习平均数；
（3）考虑到平均数的统计意义有4点，不妨考虑以平均数的统计意义为学段划分 的依据，分两个学段进行学习，《课标》中第二学段有关的 内容标准不妨这样修订：“体会众数、中位数和平均数的统 计意义——作为判断事物的数量标准或参考和作为代表来 衡量不同总体之间的水平，能确定中位数、众数，能计算平 均数，了解中位数、众数和平均数的关系”，第三学段的内 容标准可修改为“理解众数、中位数和平均数的统计意义 ——作为用样本的平均数来推断总体的水平、作为总体的平 均数通过在某段时间内的发展变化、探索研究对象的发展规 律，能计算加权平均数，理解众数、中位数和加权平均数的 关系”；
（4）由于教师在进行教学设计时，往往会先从数 学教材出发揣摩《课标》中的要求，因而，不同教材对同一 知识点的编写应在内涵上保持一致。

【参考文献】 [1]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012. [2]张辅，唐华军.上海与加州数学课程标准小学“统计 与概率”比较研究[J]. 泰山学院学报，2006（06）.[3]闫炳霞.从美国小学的一节统计课谈我国小学“统计 与概率”的教学[J].中小学教学研究，2006（02）. [4]陈克胜.基于数学文化的数学课程再思考[J].数学 教育学报，2009，18（01）. [5]吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数 的理解[J].数学通报，2013，52（11）. [6]Strauss S， Bichler E. The Development of Children’s Concepts of the Arithmetic Average[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988 （19）. [7]Mokros J， Russell S J. Children’s Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）. [8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics， 1989：134-148.[9]Moritz J， Watson J， Pereiramendoza L. The Language of Statistical Understanding：
An Investigation in Two Countries[J]. Education，1996 （01）. 注：本文系安徽省教育科学规划项目“高中数学课程中 数学文化及其典型案例研究”（编号：JG12016）研究成果 之一。