什么是基本数学思想 [用数学思想方法例谈一题多解]

用数学思想方法例谈一题多解

一这是一个行程问题，必须先说说解决问题所用的关系 式。

速度×时间=路程是解答此题所用的基本数量关系式， 用这个关系式可以求出行程问题中的速度、时间、路程。

根据“速度×时间=路程”这一基本数量关系式可以类 推出“相遇问题”所用的基本数量关系式：速度和×相遇时 间=相遇路程和，还可以类推出“追及问题”所用的基本数 量关系式：速度差×追及时间=追及路程（路程差）。

二解答此题的思路有多种，下面列举常见的几种。

1用算术法解 (1) 如果我们把每小时行40千米的摩托车看成甲车，每 小时行50千米的摩托车看成乙车。那么甲、乙两车同时从A 地驶向B地的路程差是：40 x0．2 +50 xl =58（千米） (2) 用路程差÷速度差=行驶时间：58÷(50- 40) =5.8 （小时） (3) 求A、B两地的距离：40×(5.8+0.2)=240（千米）或50x(5.8 -1) =240（千米） 综合算式：40×{[(40 x0.2 +50 xl)÷(50 -40)]+0.2} 或者50×{[(40 x0.2 +50 xl)÷(50 -40)] -1} 2列方程解 设：从A地到B地预期要行x小时。

那么，甲车行驶全程需要的时间是(x+0.2)小时，乙车 行驶全程需要的时间是（x -1）小时。根据“速度×时间= 路程”可以列出下面的方程：40×(x+0.2)=50×（x -1）解 此方程得：x=5.8再将x=5.8代入方程任意一边，都可以求出 全程。

3 用分数的有关知识解 如果把A、B两地路程看作单位“1”，那么甲车行驶全 程所需要的时间就是1/40，乙车行驶全程所需要的时间就是 1/50。甲、乙两车行驶的时间差是：(0.2+1)小时，而它们 相对应的分率差是( 1/40 -1／50)。根据：对应量÷对应分 率=单位“1”的量，可以列式求出全程：(0.2 +1)÷(1/40 -1/50) =1.2÷11200= 240（千米） 三解题方法分析 在解答此题的过程中，多种方法综合应用。下面作如下 分析：
1假设法：解题过程中，把每小时行40千米的摩托车看 成甲车，每小时行50千米的摩托车看成乙车，将摩托车行驶 的两种不同情形假设成两车同向而行。这就是假设法的典型应用，它是解答此题的基础。

2类比法：根据“速度×时间=路程”这一基本数量关系 式类推出”相遇问题”所用的基本数量关系式：速度和×相 遇时间=相遇路程和，还类推出“追及问题”所用的基本数 量关系式：速度差×追及时间=追及路程（路程差）。将此 题看成“追及问题”，应用基本关系式列出算式是解答此题 的关键。

3抽象法：把A、B两地路程看作单位“1”，甲车行驶全 程所需要的时间是1/40，乙车行驶全程所需要的时间是1/50， 用抽象的数代替具体的数进行运算，得出具体结果。前面列 举的三种解法中，第三种解法最简洁，步骤较少且能直接算 出A、B两地的相距。

4转换法：如果能在解题过程中，迅速地将“甲车迟到 0.2小时”转换成“甲车离终点还有8千米”；
“乙车早到1 小时”转换成“乙车超出终点50千米”。那对解答此题会有 很大帮助。

最后指出，题目存有一点瑕疵：我们算出A、B两地的距 离是240千米，摩托车每小时行40千米都要行驶6小时。我觉 得不合符情理，与实际生活相脱离。如果改变题目中的一个 条件，将“早到1小时”改为“早到0.4小时”，算出A、B两 地的距离是120千米。那样就完美了。