初中数学里渗透了哪些数学方法_对初中数学教学中渗透集合观念的思考

对初中数学教学中渗透集合观念的思考

一、问题提出 集合是“刻画一类事物的语言与工具”，能“简洁、准 确地表述数学的研究对象”；
集合是一种数学思想和思维方 法，能清晰地描述事物的属性与它们之间的关系，解释数学 问题。集合论已经成为现代数学的重要基础，对数学的学习、 研究和发展有着不可替代的重要作用。

在初中数学教学中适度渗透集合观念，对于培养学生符 号表达能力、抽象思维能力和数学认知、解题能力，帮助学 生形成正确的认识观和方法论等，具有积极的意义；
而且根 据螺旋上升的认知规律，可以为学生在高中数学课程中系统 学习集合知识做好铺垫（减少障碍）。

然而，在初中数学教学中渗透集合观念的现状不容乐观， 很多与集合观念相关的问题测试结果都不尽人意。

比如，2014年江苏省义务教育学业水平监测的一道数学 试题：
为了说明各种三角形之间的关系，小明画了如下的结构图（如图1）。请你采用适当的方式说明下述几个概念之间 的关系：
正方形、四边形、梯形、平行四边形、菱形、矩形。

此题旨在让学生通过类比三角形的分类方法，对四边形 进行分类，将每一类图形看成一个集合，利用韦恩图表示这 些集合之间的关系，考查了几种特殊的四边形之间的关系和 集合观念。从全省测试结果来看，能通过描述或画图正确表 示图形关系的人数只占 37.8%；
得0分的人数占比高达61.8%，其中不能辨别图 形之间关系得0分的占13.3%，其他错误答案得0分的占39.1%， 未作答的占9.2%，让人难以置信。

又如，2017年泰州市中考的一道数学试题：
平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m-1）。

（1）试判断点P是否在一次函数y=x－2的图像上，并说 明理由；

（2）如图2，一次函数y=－12x+3的图像与x轴、y轴分 别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，求m的取值范围。

此题处于试卷的中间位置（共10道解答题的第4道）， 实测得分率仅为51.1%， 学生失分主要在第（2）问， 出乎命题者的预料。其实，只要有一点集合常识（交集 思想），这一问便迎刃而解。点P在一次函数y=x－2的图像 上，又在△AOB内部，即点P在直线y=x－2在△AOB内部的线段（不包括端点A、B）上。用集合的观点思考，点P既属于 坐标满足一次函数y=x－2的点的集合，又属于一次函数y=－ 12x+3的图像与x轴、y轴围成的三角形内的点的集合，故满 足条件的点实质上在两个集合的交集中。因此，只要分别求 出一次函数y=x－2的图像与x轴、一次函数y=－12x+3的图像 的交点横坐标2和103，即有2

这一现象引起了笔者的关注与思考：现行的义务教育阶 段数学教材中与集合相关的内容有哪些？造成学生集合观 念淡薄的原因何在？初中数学教学中如何渗透集合观念？ 初中数学教学中如何把握好渗透集合观念的度？ 二、问题分析 （一）现行的义务教育阶段数学教材中与集合相关的内 容有哪些？ 虽然专门的集合知识最早出现在高中阶段的数学教材 中，但是集合的语言、工具、思想、方法等观念已经渗透在 义务教育阶段的数学教材中，可以说伴随着学生数学学习的 全过程。

1.小学数学教材中与集合相关的内容。

有些小学数学教材中直接安排了以集合为主题的内容。

比如人教版小学数学三年级上册第九单元《数学广角——集 合》，其中安排了这样的例题：“下面（表1）是三（1）班 参加跳绳、踢毽比赛的学生名单。参加这两项比赛的共有多 少人？”试图引导学生：（1）在具体情境中感受集合的思想，感知集合圈的产生过程；
（2）渗透多种方法解决重叠 问题的意识，重点突破对“重叠部分”的理解；
（3）能够 借助直观图，利用集合的思想，解决简单的实际问题，进一 步体会集合的思想。学生只要画出如图3所示的韦恩图，就 能解决问题。

此外，小学数学教材中有很多可以渗透集合观念的内容。

比如，最大公约数，分数与真分数、假分数，方程与等式， 自然数与奇数、偶数、素数、合数，三角形与直角三角形、 锐角三角形、钝角三角形等都可以通过集合的观点加深对它 们之间联系与区别的理解。

2.初中数学教材中与集合相关的内容。

初中数学教材中与集合有关的内容比比皆是。下面，以 苏科版初中数学教材为例来说明。

在“数与代数”领域，七年级上册第2章《有理数》和 八年级上册第4章《实数》中都设置了“把下列各数填入相 应的集合内”的问题，这些集合有的用椭圆圈（内有省略号） 表示，也有的用大括号（内有省略号）表示；
七年级下册第 11章《一元一次不等式》中明确提出不等式和不等式组的解 集概念，即“一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个 不等式的解的集合，简称这个不等式的解集”，“不等式组 中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集”， 这里集合、交集思想呼之欲出；
八年级上册第5章《平面直 角坐标系》中给出的由坐标（2，-3）确定点的方法是画出“在y轴右侧且到y轴距离为2的一条直线”和“在x轴下方且 到x轴距离为3的一条直线”，得到它们的交点，这里同样渗 透了交集思想；
此外，教材中求两个一次函数图像的交点坐 标、求二次函数图像与坐标轴的交点坐标等问题的研究，都 体现了交集思想的运用。

在“空间与图形”领域，与集合有关的内容可以分为三 类：（1）用集合语言描述图形。比如，八年级上册第2章《轴 对称图形》中这样定义线段的垂直平分线：“线段的垂直平 分线是到线段两端距离相等的点的集合”；
九年级上册第2 章《对称图形——圆》中这样定义圆：“圆是到定点距离等 于定长的点的集合”。（2）用集合方法解决问题。比如， 八年级上册第2章《轴对称图形》中有这样的可以用集合方 法解决的练习：“要在公路旁设一个公共汽车站，设在什么 地方，才能使A、B两村庄到车站的距离相等？直线l外有两 点A、B，若要在l上找一点，使这点与点A、B的距离相等， 这样的点一定能找到吗？请你画图表示各种可能的情况”；

九年级上册第2章《对称图形——圆》中有这样的可以用集 合方法解决的练习：“线段PQ=2 cm，到点P的距离等于1 cm 且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个？在图中将它们表示 出来。到点P的距离小于或等于1 cm且到点Q的距离大于或等 于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？也在图中将它表示出 来”。（3）用交集思想分析尺规作图思路。比如，七年级 上册第6章《平面图形的认识（一）》中的“作一个角等于已知角”，八年级上册第1章《全等三角形》中的“作一个 三角形与已知三角形全等”“作角的平分线”，第2章《轴 对称图形》中的“作线段的垂直平分线”，九年级上册第2 章《对称图形——圆》中的“作三角形的外接圆”“作三角 形的内切圆或旁切圆”等，都可以用交集思想准确快捷地分 析解决。

（二）造成学生集合观念淡薄的原因何在？ 一方面，课标没有安排涉及集合的内容，甚至全文没有 提到“集合”这个名词；
同时，教材虽然出现了不少与集合 有关的内容，但是对“什么是集合”只字未提，因而安排得 不连贯、不衔接，使学生毫无认知准备。另一方面，虽然初 中数学中集合的“影子”无处不在，但是不少教师对其内涵 理解不到位；
同时，不少教师对集合观念的价值缺乏清醒的 认识，认为课标和教材没有明确要求，就没有必要讲。

三、问题解决 （一）初中数学教学中如何渗透集合观念？ 初中数学教材中与集合相关的内容为教师在 教学中渗透集合观念提供了大量的素材。由此，教师应 该抓住概念建构、结论探究、问题解决等教学环节落实简单 的集合与集合的关系、元素与集合的关系、交集的思想等集 合观念的渗透。

1.在建构概念时渗透集合观念。

概念的基本要素是内涵和外延。相应地，明确概念的主要方法是定义（内涵或同位概念）和划分（外延或下位概念）。

初中数学教学中，教师要注意引导学生理解概念定义中的集 合语言，把握概念划分中的集合思想，从而帮助学生建构概 念，增强学生概括事物本质、发掘事物联系的能力。

比如，苏科版初中数学八年级上册第2章《轴对称图形》 中这样定义线段的垂直平分线：“线段的垂直平分线是到线 段两端距离相等的点的集合。”这是学生第一次接触概念定 义中的集合语言。教学中，教师要帮助学生理解它的含义：
（1）满足一定条件的点的集合构成图形，这个条件是“到 线段两端的距离相等”，这个图形叫“线段的垂直平分线”；

（2）“条件”和“图形”之间满足纯粹性（无混珠之目） 和完备性（无漏网之鱼），即在“图形”上的点都满足“条 件”，满足“条件”的点都在“图形”上。教师还可以画出 如图4所示的图形，让学生结合上述含义，判断图形l是不是 到线段AB两端距离相等的点的集合。学生不难发现：在图形 l上的点不都满足条件，如在图中的曲线上任取一点P，显然 PA≠PB；
满足条件的点不都在图形l上，如在图中的虚线上 任取一点Q，显然QA=QB。通过正反两个方面的例子，学生自 然能理解上述集合语言的含义。

类似地，函数的图像等概念的定义也可以这样教学。

又如，苏科版初中数学七年级上册第2章《有理数》中 用这样两道习题引导学生划分有理数：（1）把下列各数填 入相应的集合（如图5）内：+5，-7.25，－34，0，+125，0.32，－12。（2）按要求在下列大括号中各写几个数：正 数集合{…}；
负数集合{…}。这是学生第一次接触概念划分 中的集合思想。首先，学生会对集合的表示产生一些困惑：
（1）为什么有时用椭圆，有时用大括号？（2）为什么在椭 圆或大括号后面要加省略号？因此教学中，教师不能满足于 学生能正确填写相应的数，而要进一步让学生明白：（1） 集合既可以用椭圆表示，也可以用大括号表示；
它们的本质 是一样的，都表示某一类对象的全体。（2）集合中的元素 可以是有限个，也可以有无限个；
这里，正数的全体和负数 的全体都有无限个，因此对应的集合所含的元素也有无限个， 而椭圆或大括号中能填入的数是有限的，所以后面要加省略 号表示列举未完（不完）。其次，学生会对有理数概念的划 分以及相关下位、上位概念的关系产生好奇。因此教学中， 教师可以引导学生将正数、负数、整数、分数、有理数、无 理数、实数等相关概念分别看成集合，厘清它们之间的关系， 并用相应的图表（结构图、序列图等）表示出来，从而渗透 集合的思想，帮助学生对概念的分类、集合的表示、概念与 集合之间的关系等问题形成比较清晰的认识。

类似地，四边形、相似、函数等比较上位的概念的分类 也可以这样教学。

2.在探究结论时运用集合工具。

在初中数学教学中，运用交集工具探究结论是一种行之 有效的方法。比如，教学“尺规作图：三角形的外接圆”时，可以启 发学生分析：设圆心为O，则有OA=OB=OC，在圆心没有确定 之前可以理解为圆心O是动态的；
将OA=OB与OB=OC分别思考， 可知满足OA=OB的点的集合是AB的垂直平分线（如图6中的 ①），满足OB=OC的点的集合是BC的垂直平分线（如图6中的 ②）；
于是，同时满足OA=OB与OB=OC的点的集合一定是两个 集合的交集，即两条垂直平分线的交点（如图6中的③）；

这样，只要以点O为圆心、OA长为半径画圆（如图6中的④）， 问题就得以解决。由此，适当渗透交集的思想和分析方法。

当然，这其实是交轨法作图，但是，教学中不必提及这个名 词。

3.在解决问题时尝试集合方法。

在初中数学教学中，有些问题运用集合方法处理可以达 到事半功倍的效果。

比如：某班共有50名学生，其中参加书法社团的人数是 全班人数的35，参加舞蹈社团的人数比参加书法社团的少5 人，两个社团都参加的人数是两个社团都不参加的2倍，问 两个社团都参加和两个社团都不参加的学生各多少人？ 解决此题可以利用韦恩图以形助数，将几种对象以及它 们之间的关系区分得一清二楚。记全班学生组成的集合为U， 参加书法社团的学生全体组成的集合为A，参加舞蹈社团的 学生全体组成的集合为B。由题意，参加书法社团的人数为 50×35=30，参加舞蹈社团的人数为30-5=25；
设两个社团都不参加的人数为x，则两个社团都参加的人数为2x。画出韦 恩图，如图7，可得数量关系，即(30－2x)+(25－2x)+x+2x=50， 解得x=5，2x=10，所以两个社团都参加和两个社团都不参加 的学生分别是10人、5人。

又如：如图8，在平面直角坐标系xOy中，x轴为一条国 道，AB为一段高速公路，A、B两点的坐标分别为（8，4）、 （12，7）（单位为千米）。现AB路段因车祸而发生毒气泄 漏，方圆6千米范围内有危险；
为确保安全，要将国道封闭， 问应该封闭多长的路段？ 从集合的观点看，应该封闭的路段是“到线段AB 的距离不超过6千米”的点的集合与x轴（即“纵坐标为 0”的点的集合）的交集。于是，解决此题关键是表示出“到 线段AB的距离不超过6千米”的点的集合：分别以A、B为圆 心、6为半径画⊙A、⊙B，并作两个圆的公切线，形成一个 封闭图形，如图9。由此，所求的交集就是x轴与封闭图形的 两个交点P1、P2之间的所有点（包括P1、P2）组成的集合。

可以求得OP1=8－25，OP2=383，故P1P2= OP2-OP1=143+25， 即应该封闭的路段长143+25千米。

（二）初中数学教学中如何把握好渗透集合观念的度？ 作为高中数学课程中教学更为抽象的集合概念（定义和 分类）、符号化表示和简单运算的初步铺垫，初中数学教学 中渗透集合观念要把握好教学的“度”，不可超越课标和教 材的要求以及学生的认知水平。初中数学教学中渗透集合观念应主要体现在四个方面：一是初步了解集合的简单表示方 法（椭圆圈和大括号）及其意义；
二是用集合图将研究对象 简单分类；
三是用韦恩图解决相关简单问题；
四是用交集的 方法对基本尺规作图等问题进行分析。

参考文献：
［1］ 彭漪涟，余式厚.写给中学生的逻辑学［M］.北 京：北京大学出版社，2010.