线性代数课中案例式教学的应用|线性代数案例

线性代数课中案例式教学的应用

根据笔者所在高校教务处的调查，线性代数成为学生最 易挂科的课程之一，这一方面与学生学习积极性不高有关， 另一方面也和教师授课模式以及选择的教材有关。现在我们 选用的教材，基本以线性代数基础理论讲解为主，并且给出 的理论证明较多，由于课时安排的限制，教师基本按照书上 的理论进行授课，很少给学生们提供实际案例进行分析。然 而线性代数作为一门基础学科，在数据结构处理、经济模型、 密码学、图论等学科中都有着广泛的应用。因此，在教学过 程中，有目的地引入案例进行教学，有助于提高学生的学习 兴趣，加深他们对基础知识的理解。

运用以案例为基础的教学模式进行教学，教师针对某个 知识点，事先根据学生的专业情况选择合适的案例，可以有 效唤起学生们的学习兴趣。教师可在关键环节进行引导和启 发，让学生们积极讨论，发表各自的观点，教师再对他们的 想法进行点评分析，使学生们的学习始终处于“问题—思考 —探索—解答”的积极状态，这不仅能加深学生对知识点的 认识，更重要的是培养了他们从不同角度解决问题的能力。笔者设计了两个具体的案例，通过案例来讲授线性代数 中的相关知识点。线性方程组的求解是线性代数课的主要内 容，现在大多数教科书直接给出列方程组的数学公式，接着 对其对应的增广矩阵进行初等变换，进而讨论方程组解的情 况。这种讲解方式会使学生们感到求解线性方程组比较抽象 和枯燥，如果以城市中几个关键路口的交通网络流量来建立 方程组，再进行求解分析，会大大提高学生们的兴趣。

案例一：交通网络流量分析问题 交通拥堵的问题是各大城市发展过程中面临的首要问 题，对城市交通网络的优化设计是提高车辆通行能力的重要 方法。分析和评价城市道路网中每条道路、每个交叉路口的 车流量是首要工作。城市某交通路口单行线如图1所示， 其 中数字表示上下班高峰期监测到的每小时该路段按箭头方 向行驶的车辆数。

教师要求学生根据实际车流量信息设计流量控制方案， 必要时可以设置单行线，提高车辆通行能力，避免交通出现 长时间拥堵。教师可请学生们根据车流量信息建立线性方程 组，同时为确定车辆通行的准确信息，思考还需要对哪些道 路的车流量进行监控？此外，当x4=400时，确定x1、x2、x3的值；
若x4=150，思考图中单行线的设计是否合理？ 【模型建立】 根据道路交通实际通行情况，让学生们 注意下面两个假设条件。第一，每个箭头代表的都是单行道 路；
第二，进入每个路口的车辆和驶离的车辆相等。接着引 导学生运用上面两个条件建立线性方程组，尤其是让他们注 意到进入和驶离的车辆相等这一关键假设。再根据上图车流 量统计情况，对①、②、③、④四个路口进出车辆数量建立 如下线性方程组：
【模型求解】线性方程组的求解是线性代数重点研究的 内容，引导学生们如何运用消元法解方程组，相应地通过初 等变换化其对应的增广矩阵为行最简形式，结果如下：
为了确定唯一未知量，只需增添x4统计的值即可。

当x4=400时，确定x1=300，x2=200，x3=100。

若x4=150，则x1=50，x2=450，x3=150<0。这表明单行 线“③？邛④”应该改为“③？邝④”才能有效缓解拥堵。

通过本案例的学习，对学生们来说，线性方程组不再是 抽象的数学公式，而是可以用来解决实际问题的工具。这一过程有助于加深学生们对方程组的建立和求解这一过程的 理解，更好地掌握这个知识点。

为了提高学生学习兴趣，教师还可以结合他们感兴趣的 话题设计案例，比如女孩子普遍比较关心自己的体重，我们 可以用减肥食谱的配置这个案例来讲解线性方程组解的判 断和求解。

案例二：减肥食谱的配置 随着人们生活水平的提高，越来越多的人开始注意日常 饮食情况，下面的表格列出了三种食物中每100克蛋白质、 碳水化合物和脂肪的含量，表中最后一列是剑桥大学医学院 工作人员给出的每日所需的基本营养处方。提出问题：如果 一个人每天使用这三种食物作为主要食物，那么他应该吃多 少就能达到营养要求。

【模型建立】 设香蕉的用量为x1个单位（100g），口 蘑的用量为x2个单位（100g），瘦牛肉的用量为x3个单位 （100g），表中的三个营养成分列向量为：
即香蕉食用157g，口蘑食用56g，瘦牛肉食用55g，就能 保证一个人每日所需的综合营养量。最后让学生们展开讨论，从网上搜索常见食物营养成分 表，寻找三种常见食物，给自己制定一份健康的套餐。通过 这个案例的学习，学生们对线性组合的概念有了更深的理解， 同时也掌握了线性方程组有唯一解的判定，以及如何借助 MATLAB软件求解线性方程组。

在线性代数的案例式教学中，教师要根据相应知识点， 有目的地设计一些案例，使学生们通过案例不仅学会知识点， 同时也了解到其应用背景，扩大视野，提高学生们的学习兴 趣，这对于提高线性代数的教学质量是非常有益的。