怎么证明勾股定理 [关于勾股定理有趣的数学文化与多种证明方法]

关于勾股定理有趣的数学文化与多种证明方法

我们老师不仅要教会同学们学会数学科学文化知识，更重要 的是要让我同学们在日常生活中去灵活运用以及有关它存 在的各种数学模型中。还要能感受我们今天的学习都是古代 数学家们经过大量的实践与证明的得到的东西，探索数学知 识从无到有的文化。勾股定理的发现与证明都是十分精彩的， 在历史长河中，勾股定理是全世界人的伟大发现。今天我们 教科书上的多种证明，在此一一列举出来，可能对同学们学 习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平 道路，对勾股定理有趣的文化有一个更加深刻的认识。

一、勾股世界 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的 数学经典著作《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开 国之初（约公元前一千多年）有一个叫商高的数学家对周公 （周武王的弟弟，封在鲁国当诸候）说：把一根直尺折成直 角，两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为 勾，长直角边称为股，斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高定理。

在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达 哥拉斯也发现这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失 传。后来欧几里得写《几何原本》时，给出一个证明留传至 今（后文我们再补充，丰富同学们的视野）。因而西方称这 一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用， 而且工程技术，测量中也有许多应用。它在人类文明史上有 重要的地位。

而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明 了勾股定理。他这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他 用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系 （与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似）。既具严 密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数 和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以 后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的 刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体 图形的分合移补略有不同而已。

二、勾股定理的多种证明方法（以教科书编排为序）：
第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C 的小 方格数，将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关 系。小方格数即为面积。由此方法可以得出正方形A、B的面 积与正方形C 的面积相等。

第二种证明：教科书P8，如图所示：家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将 图中弦上的正方形称为弦图。这也是2002 年世界数学家大 会（ICM-2002）在北京召开的会标。如右图所示中央图案正 是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成 就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！ 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给 他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其 中的道理，并给出了简洁的证明方法。

如图所示：
分析：四边形ABED 是直角梯形，可通过求梯形的面积 减掉两个小三角形的面积而得出△ACB 的面积。

第六种证明：教科书P15-16，意大利文艺复兴时代的著 名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究。他的验证勾股 定理的方法可以从下面的实验中得到体现。

（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b 正 方形，并连接BC、FE（如图①示）。

（2）沿ABCDEFA 剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ， Ⅱ，如图②所示。

（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图③所示的图形。

（4）比较图①，图③中两个多边形ABCEEF 和A’B’C’ D’E’F’的面积，发现两个的面积是一样的。

就能得出勾股定理的存在。

本种证明补充说明一下：同样两个纸板翻了下，就能证明，很明显，原图中剪掉的两个小三角形面积都在，翻一下 只不过将剪掉的两个小正方形合并为一个正方形了，从而得 出勾股定理的存在。

第七种证明：教科书P16，也是“无字证明”如图所示， 过较大正方形的中心，作两条互垂直的线，将其分成4 份， 然后，将这四个部分围在四周，小正方形填在中间，恰好得 到大正方形。

第八种证明（书本上没有列出）：
欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进 行了论证，证明过程如图所示：
证明：在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，以AB、AC、BC 为 边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。

连接DC、AJ。过A 点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。先通过 SAS，可得△ABJ≌△DBC，因此它们的面积相等。而正方形 ABDE 的面积=2△DBC的面积，长方形BMNJ 的面积=2△ABJ的 面积。因此，正方形ABDE 的面积=长方形BMNJ 的面积。同 理可得正方形ACGF 的面积= 长方形CMNH 的面积。

从而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、结束语 通过以上的八种证明方法，相信同学们对于勾股定理会 铭记在心，使这个烙印永远烙在心底，为数学的学习树立更 为坚定的信心，为明天的学习奠定更为坚实的基础，为心中 的理想目标迈出成功的一步。让这次洗礼成为中学学习生活中最为难忘的一堂课，而且在今后的运用中会更加得心应手， 我也相信你们会向古代数学家们一样，遇到问题会去探索、 发现、归纳和概括。