[中学数学不等式证明方法] 不等式的证明方法

中学数学不等式证明方法

【关键词】中学数学；
不等式；
证明方法 不等式是利用“<”“>”“≠”表示的一种不等式关系 式子。当发现不等式的两边同时乘以、加上相同的正数和负 数的时候，其获得的结果都为不等式。但是，在实际变形的 时候，主要变换不等式的不等号方向。在高中对不等式进行 证明期间，都存在一定规律，所以，需要利用不同方法对其 证明，保证能解决学习中遇到的问题。

1证明不等式的思想 第一，分类思想。是基于主要的研究对象和属性之间的 差异点、相同点，对研究对象进行划分，也能在期间对其讨 论和分析。基于分类思想，能使我们对数学知识充分应用， 也能提高我们的知识获取能力，保证数学知识网络的严密性。

第二，数形结合思想。在高中学习中，数与形为交叉知识， 基于数与形的结合性，能解决数学问题。同时，数形结合思 想能简化复杂问题，也能实现抽象问题的具体化。当我们对 不等式证明的时候，也可以利用图形和图像的方式，学会对 知识的有效运用。第三，函数方程思想。当我们对一些数学问题进行解决期间，为其构造相关函数和方程，能求解出其 中的问题。其中，可以将不等式看做函数、方程，在这种形 式下，能更为合理的分析出函数与方程的单调性。例如：数 列的通项a，可以将其看做为正整数。第四，转化思想。根 据已经存在的数学知识，对其进行观察喝类比，并转换求解 的问题，保证能对其简化，是问题解决的主要思想。当我们 掌握转化思想后，能实现各个转换。比如：利用化归思想， 对多元方程进行转变，并产生一元方程，也能对高次方程进 行转换，将其应用到不等式证明中，也能促使其作用的发挥。

2不等式证明的主要方法 2.1比较法 比较法是对两个实数进行比较，对其作差或者作商，为 大小比较的主要方法。作差方法是利用常用语多项式、分类 式；
作商法是利用常用语含有幂指数类比较，作差方法使用 的时候，对其差值与零进行比较。比如：分析作商法的应用。

例题：设x大于0，y大于0，对y2/x+x2/y≥x+y进行求证。根 据对该例题进行详细分析，其必要条件为x大于0，y大于0， 发现不等式的两边数值都会大于0。为了对该题进行证明， 可以使用作差法、作商法。最差法为，作商法为。针对一个 相同的例题，利用这两种方法，能使我们在学习中对其灵活 运用。

2.2均值不等式证明 例题：不等式公式为：，其中，x、y不属于R。对于该例题对其证明，使用均值不等式，其两端的次数相等，也能 促使其对称性和排比性的实现。当发现该不等式具备这些特 征的时候，使用均值不等式方法进行证明最为合理。

2.3换元法证明 换元法在对不等式进行证明的时候，需要根据不等式的 变量，对其合理替换，保证能为不等式证明提供更为有效的 方法。一般情况下，经常使用的换元手段为代数换元法、三 角换元法。这两种方法其存在不同的公式。如：三角换元方 法：，其中的等。例题：当，证明基于对的分析，将其做为 主要条件，将x、y表示为Rsinφ,Rsinφ，其的R大于0小于1， 其中的φ大于0小于2π。因为，x、y表示为Rsinφ,Rsinφ， 所以，。根据对该题的分析，发现其中的R值为常数，能对 sinφ,sinφ进行替换，所以，在替换的时候，要重点分析 变量，保证原来的变量范围不会产生变化。

2.4函数法证明 构造函数法的利用，是对一个函数进行构造，表明正在 证明的不等式，也能根据该函数具备的单调行，对不等式进 行证明。该方法在使用期间，构造表征不等式的函数还存在 一些难点，为了能满足不等式的证明需要，一定要促使其为 单调函数，并对不等式进行观察和证明，保证能利用这些特 征对不等式进行构造。例题：如果实数a大于0小于1，b大于 0小于1，c大于0小于1。证明。为了对其证明，可以将其整 理成a函数。当1-b-c大于-1大于0的时候，发现f(a)在0和1之间为单调函数。当1-b-c=0的时候，发现f(a)=。当1-b-c 大于0小于1的时候，发现f(a)在0和1之间为增函数。实现合 理的构造函数，主要是针对构造的函数单调性，能为不等式、 函数进行解决，也能对其证明。实现函数单调性与不等式理 论的结合性，能简化其中的问题。在实际学习过程中，要有 针对性分析其存在的问题，鼓励我们的主动性和积极性，重 点培养我们的思维能力。但我们对不等式证明的时候，要全 方位的了解例题规律，并利用概念、公式和相关定理对其分 析，培养我们的解题能力，也能增强我们的综合能力。

3总结 不等式的证明是我们高中数学学习的重点，由于不等式 的证明方法多种多样，在实际应用中，要对其灵活应用，掌 握其存在的规律，并做出有效思考和总结，以达到有效的应 用目标。

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