有哪些数学思想方法_浅析圆中的数学思想方法

浅析圆中的数学思想方法

一、特殊与一般 特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特 殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；
而 对于具有一般性的问题，我们也常常通过考察其特殊情况 （如特殊取值等）揭示其一般规律，这种特殊与一般的思想 往往贯穿于整个解题过程之中，通过特殊化能使我们认识问 题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻。

例1：（2015广东佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两 组对边的延长线分别相交于点E、F.（1）若∠E=∠F时，求 证：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；

（3）若∠E=α，∠F=β时，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小. 解：（1）∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB， ∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB，∠ADC=∠ABC；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，∠ECD+ ∠BCD=180°，∴∠A=∠ECD，由（1）知∠ADC=∠ABC， ∴∠ADC=90°，∴∠A=90°-42°=48°；

（3）由（2）知∠A=∠ECD，∵∠EDC=∠A+∠F，∠EDC+ ∠E+∠ECD=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°，∵∠E=α，∠F= β∴ . 点评：（1）根据外角的性质可得结论；
（2）根据圆内 接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）是把（2） 特殊情形推广到一般结论，根据圆内接四边形的性质得∠A= ∠ECD，再根据三角形外角性质、内角和定理有2∠A+∠E+∠ F=180°，再解方程即可。

二、化归与转化化归与转化的思想方法，就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决 问题的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简 单问题，将难解的问题通过变化转化为已解决的问题。化归 与转化思想在中考中占有十分重要的地位，数学问题的解决， 总离不开化归与转化。例如解决圆中线段与角问题时，经常 转化为圆中直角三角形或相似三角形来解决。

例2：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，C（0，-3）， 动点Q的坐标为（m，1），连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求 出点Q的坐标. 解：如图，记?OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN 上（MN与y轴交于点N）.连接OM、CM，则 ，MC=MO=MQ， ∴ ， ∴ 的值随着OM的增大而减小. 又∵OM=MQ， ∴当MQ取最小值时 最大，即MQ⊥直线y=1时，∠CQO最大，此时，⊙M与直线y=1相 切. ∴MQ=NF=2.5，MN= =2， ∴Q1（2，1）.根据对称性，另一点Q2（-2，1）也符合 题意。

综上所述，Q1（2，1），Q2（-2，1）. 点评：利用圆周角与圆心角的关系，将问题转化为直角 三角形的内角最值问题，再利用三角函数，将问题转化为线 段最值问题，进而转化为直线与圆相切这一特殊位置关系。

三、数形结合 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数 与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数” 和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指借助形的 生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数 作为目的。“以数辅形”是指借助于数的精确性和规范严密 性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。例3（2015湖北天门）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O 的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB= ∠APB. （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6 时，求MB，MC的长. 解析：（1）证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90° ∵∠BOC+∠AOB=180°，且∠BOC=∠APB∴∠APB+∠ AOB=180°. ∴在四边形AOBP中，∠OBP=360°-90°-180°=90° ∴OB⊥PB∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线. （2）解：∵PA切⊙O于点A，B切⊙O于点B，∴PA=PB. ∵∠OBM=∠PAM=90°，∠M=∠M∴△MBO∽△MAP. ∴ 设MB=x，MC=y，则 ∴ 解得x=4，y=2.即MB=4，MC=2. 四、分类与整合 在解某些数学问题时，当被研究的问题包含了多种情况 时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范 围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究。

这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为 特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分 类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分 —合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想。

例4（2015湖北襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°， 则∠BAC的度数为（） A.40° B.100°C.40°或140° D.40°或100° 解析：当点O在△ABC内部时， ；
当点O在△ABC外部时， 。

故选C。

五、函数与方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联 系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变 量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性 质，使问题得到解决。方程思想是将所求的量设成未知数， 用它表示问题中的其它各量，根据题中隐含的等量关系，列 方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究， 以求得问题的解决。函数与方程是整体与局部、一般与特殊、 动态与静止等相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转 化。

例5（2015江苏南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5， AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切 线交BC于点M，则DM的长为（） A. B.C. D. 解析：设GM=x，由勾股定理得（3+x）2 =42+（3-x）2 解得 ，所以 .故选A. 数学思想方法是解题的核心，只有不断地归纳，总结， 掌握规律，才能提高解题能力。

蔡华远，泉州第三中学数学教师，中学二级，硕士研究 生学历。

程玉林，晋江陈埭民族中学数学教师，中学二级，硕士 研究生学历。