价值的概念 [数学实验在概念教学中的价值引领]

数学实验在概念教学中的价值引领

概念教学是培养学生科学素养的一种途径。从数学本身 的发展来看，一般认为数学概念的来源有两个方面：一是直 接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得；
二是在抽象 的数学理论基础上经过多次抽象而得。数学实验是数学家研 究数学问题的常用方法。G·波利亚提出：数学不仅是逻辑 推理，还有实验。因此，在小学数学概念教学中引入数学实 验，可以帮助学生在具体材料的支撑下循序渐进地抽象概念， 从而深入理解概念的本质特征。下面，笔者以小学不同学段 的概念教学为例，谈谈数学实验在其中的价值。

一、在数学实验中初步感知——经历概念的形成 概念的形成是概念学习中的重要环节，也是思维过程中 最复杂的部分。布鲁纳认为，学生获得一个数学概念的过程 是以线性方式，从动作表征过渡到图像表征，最后到抽象思 考。从这个意义上看，数学实验以其鲜明的操作性让学生经 历由具体到抽象的过程，学生可以在动手做的同时逐步完成 对概念的初步建构。比如面积的概念，苏教版小学数学教材没有具体下定义， 而是用“黑板面的大小是黑板面的面积，课本封面的大小是 课本封面的面积”这样的描述性语言，让学生感知什么是面 积。学生虽然对面和面积的认识有一定的生活经验，但这种 认知是零散的、模糊的、感性的，缺乏全面、体验、抽象的 过程。如何让学生在已有认知的基础上，深入理解面积这个 抽象的数学概念，形成一个面积表象，建构一个模型呢？我 们可以先设计一个“铺一铺”的数学实验，让学生选择正方 形或圆形的纸片，铺出课桌面的面积。交流时，教师提问：
“你选择的是哪种纸片？为什么？”学生会发现选择圆形的 纸片铺时有空隙，不能铺满；
而选择正方形纸片可以正好铺 出桌面的面积。在铺的活动中，学生感知了“面积必须覆盖 完整的面”。再设计一个“涂一涂”的数学实验，让学生在 纸上围出自己的手掌面，并涂出它的面积。在交流的过程中， 学生不仅逐步认识到封闭的图形才有面积，还有意识地区分 了面积与周长两个不同的概念。在这样的数学实验中，学生 可以逐步建立“面积就是一块区域大小”的表象，在后续学 习平面图形的面积及大小比较时就会轻松一些。

又如百分数的概念，苏教版小学数学教材给出的定义是 “表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数”。

百分数是在分数的基础上产生的，与分数有着密切的联系。

教学时，应该将二者进行关联，使学生懂得百分数与“求一 个数是另一个数的几分之几”的本质相同。这里，可以设计一个数学实验：“我眼中的百分数”。以“目前我国的残疾 人约占全国总人口的6%”中的“6%”为例，教师先提出要求：
“这里的6%表示什么意思？请你用文字、图形或者其他方式 表示出6%的含义。”学生独立活动后，汇报交流：可以把一 个正方形平均分成100份，将其中的6份涂色表示6%；
也可以 画一条线段表示单位“1”，就是全国总人口数，然后平均 分成100份，取其中的6份表示6%；
还可以直接用文字表示为 “我国残疾人数占全国总人口数的百分之六”。教师接着追 问：“这些不同的表示方法，其实都是表示哪两个量之间的 关系？什么关系？”再出示几个不同的百分数，让学生分别 说一说这些百分数的含义。在此基础上，归纳出百分数的意 义就水到渠成了。

二、在数学实验中深度理解——贴近概念的本质 概念的理解是对客观事物的数量关系或空间形式进行 抽象、概括的过程。因此，教学时要注意通过多种实物或事 例引导学生分析、比较，找出它们的共同点，揭示概念的本 质特征。数学实验以其具体、形象的特质解释抽象的数学理 论，让学生真正理解数学概念的本质意义，增强学生的概括 抽象能力。

比如乘法的概念，小学数学教材中没有明确的定义。各 版本教材都是结合生活实例，让学生感受求几个相同加数的 和用乘法计算比较简便，体会引入乘法的必要性。乘法概念 的建立与同数连加有着密切的联系，同数连加算式的意义也是理解乘法意义的基础。教学时，为了让学生切实理解相同 加数的概念、同数连加的意义，可以设计一个“分一分”的 数学实验。教师先出示主题图，让学生根据图意列出四道加 法算式（有加数相同的，也有加数不同的）。接着，教师提 问：“比一比，你能把这四道算式分成两类吗？怎么分的？ 为什么这么分？”学生小组讨论后根据加数相同与不同分类。

教师追问：“这两道算式都是几个相同的数相加？这道算式 中加数是几？有几个2相加？”一起数一数，从而揭示“相 同加数”的概念，数出“相同加数的个数”。为了让学生进 一步理解乘法的意义，还可以设计一个“画一画”的数学实 验。以“3个5的和”“5个3的和”为例，教师提问：“写出 的乘法算式相同吗？算出的‘和’相等吗？你能画一幅图既 能表示3个5相加，也能表示5个3相加吗？”经历了这样的学 习过程，学生对乘法概念的本质特征无疑会有更丰富的理解。

又如除法的概念，小学数学教材中同样没有明确的除法 定义。各版本教材也都是结合生活实例，让学生感受到生活 中分东西时，可以按份数平均分，也可以按每一份的数量平 均分，在积累大量等分的基础上引出除法。除法的本质是平 均分。教学时，首先要让学生清楚平均分的过程和方法，知 道分的是什么，怎样分，分的结果如何。这里可以设计一个 “分一分”的数学实验，给学生提供12根小棒，按要求分别 动手操作：12根小棒，每（）根一份，可以分成（）份；
12 根小棒，平均分成（）份，每份（）根。学生操作后，汇报交流：这些分的方法有什么相同的地方?让学生体会到被除 数是要分的总数，除数是平均分的份数或每一份的数量，商 是平均分的结果，从而理解除法是解决平均分问题的一种运 算方法。

三、在数学实验中巩固应用——认同概念的价值 概念的巩固应用是培养学生思维，发展数学能力的过程。

学生能够运用概念解决数学问题，才会巩固学到的概念，进 而提高学生对数学概念的应用技能。数学实验体现了动手操 作与思维生长的有机融合，可以让学生在“做”的过程中有 效实现“思”的提升。

比如圆的概念，小学数学教材中没有直接给出定义，而 是列举出一些生活中常见的圆形物体来说明圆。圆在生活中 随处可见，不仅让我们的生活变得方便舒适，还将我们周围 的世界变得五彩斑斓，其价值集中体现在“一中同长”上。

怎么让学生在有限的课堂学习中体会“一中同长”呢？我们 可以设计一个数学实验，提出要求：同学们要玩传球的游戏， 站成圆形，怎样在操场上画一个圆？请根据提供的材料模拟 画圆，并提供一些材料，如图钉、线圈、回形针等。学生有 的用线圈绕着图钉画出一个圆；
有的固定线圈的一端后旋转 一周画出一个圆；
还有的用铅笔绕着回形针画出一个圆。此 时，教师提问：“这些画法有什么相同的地方？如果想要使 传球的同学传给每个人的距离相等，应该站在哪里？”这样 的实验，让学生充分感受了利用圆的特征可以解释生活中的现象，解决生活中的问题。

又如平均数的概念，教材提供的是过程性定义——“总 数除以总份数所得的结果就是平均数”。为了突出平均数在 统计中的价值，苏教版小学数学教材还增加了“平均数能较 好地反映一组数据的总体情况”的描述。因此，教学的重点 不仅在于怎样求平均数，更在于用平均数描述、分析一组数 据的状况和特点，或者对两组数据进行比较。教学时，我们 可以设计一个“估一估”的数学实验——出示某水果店星期 一至星期三卖出苹果情况的条形统计图，卖出的苹果分别是 5箱、6箱、7箱，提问：“根据前三天的销售情况，你能估 一估星期四可能卖几箱吗？根据什么估计的？”学生回答后， 教师继续追问：“如果要使4天卖出的苹果平均数是7箱，星 期四可能卖了几箱？把你估计的结果画在统计图上。如果要 使4天卖出的苹果平均数是5箱呢？”学生操作后交流自己是 怎么估的。经历这样的实验，学生不仅感受了平均数的作用， 还感受了“平均数和一组数据中每个数据都有关”的特点。

四、在数学实验中形成系统——理清概念的脉络 概念的系统化是指在对概念的理解、运用和深化的过程 中，把相关联的知识联系起来，以纲带目，以点带面，形成 知识网络。每一个数学概念，都不是孤立存在的，必须把它 放在一个系统中去看待，去组织教学。我们可以利用数学实 验引导学生观察、分析、抽象、概括，帮助学生理清新旧概 念之间的区别和联系。比如平行四边形的概念。平行四边形在平面图形的认识 上起着承上启下的作用，长方形、正方形是特殊的平行四边 形，平行四边形又是研究三角形、梯形的基础。教学时，我 们可以在学生认识了平行四边形及其特征后，设计一个验证 型数学实验。教师先提出猜想：“正方形是特殊的长方形， 长方形是特殊的平行四边形吗？”学生根据提供的材料（一 个活动的平行四边形木框）验证。学生活动后展示验证方 法：当木框的邻角是直角时，就形成长方形，这时还符合平 行四边形的特征，所以猜想是成立的。接着，教师出示集合 图，提问：“你能在集合图中表示出正方形、长方形、平行 四边形的关系吗？”交流时，引导学生结合它们的特征说一 说。通过这样的过程，学生提升了对概念的理解，在系统化 过程中了解概念之间的联系。

又如质数和合数的概念，不同版本的教材均给出了明确 定义。这部分内容的教学要使学生能够根据概念判断一个数 是质数还是合数，而学生往往对质数、合数、奇数、偶数等 概念混淆不清。教学时，我们可以设计一个“圈一圈”的数 学实验，借助数学实验的直观性，帮助学生理清相关概念的 区别与联系。教师出示1~20的自然数，先让学生用不同的符 号圈出质数、合数、奇数、偶数。学生活动后，教师提问：
“你有什么发现？所有的质数都是奇数吗？所有的合数都 是偶数吗？”学生交流后，教师追问：“刚才圈质数和合数 时是依据什么判断的？圈奇数和偶数呢？如果把这些数分分类，你想怎么分？”学生不仅发现了质数中有一个偶数， 合数有可能是奇数，还明白了质数和合数、奇数和偶数的分 类标准是不一样的，从而对这些概念的理解更加清晰化、系 统化。

以上案例，既涉及小学数学教学的不同学段，又涵盖小 学数学课程的不同领域。由此可见，数学实验在概念教学中 可以发挥重要作用，数学实验的行为方式和思考习惯可以让 学生对概念的学习走向深入。

参考文献：
［1］ 吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概 念解读［Ｍ］．北京：教育科学出版社，2014. ［2］ 董林伟．数学实验在概念教学中的运用［J］． 数学通报， 2015（8）.