【浅议高中数学中抽象函数问题的解法】高中数学

浅议高中数学中抽象函数问题的解法

抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型 较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就 其中几个主要问题加以分类解析。

一、求抽象函数的定义域 1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a，b)，求函数f(x)。

解决这类问题的方法是：利用a 例1. 已知函数f(x+1)的定义域是 [-2，3]，求y=f(x)的定义域。

解：因为函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3 所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定义域是[-1，4] 2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a，b)，求f [g(x)]函数的定义域。

解决这类问题的方法是：a 例2. 已知函数f(x)的定义域为(0，1]， 求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因为函数f(x)的定义域为(0，1] 所以0 由于- 所以不等式组(Ⅰ)的解为-a 即 g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 二、抽象函数的周期性和奇偶性 1. 抽象函数的周期性 例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，且当x∈(-1，1]时， f(x)=x2+2x， 求当x∈(3，5]时，f(x)的解析式。

解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)∴f(x)是以4为周期的周期函数 设x∈(3，5]时，则-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 评 注：若对函数f(x)定义域内的任意，恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零， a≠0) ①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=- ④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a) 则函数f(x)是以2a为周期的周期函数① 2. 抽象函数的奇偶性 奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断 函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于 抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。

例4. 已知定义在上的函数f(x)，对于任意x，y∈R都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0 (1)求f(0)的值 (2)判断函数f(x)的奇偶性 解：(1)令x=y=0，则有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1 (2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y) 所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。

三、抽象函数图像的对称变换 结论1：①函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称;
③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称;
④函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。结论2：若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，则函数y=f(x) 的图像关于直线x= 对称。

结论3：函数y=f(x+a)与y=f(-x+b)的图像关于直线x=对称(a，b为常数)。

例5. 设函数y=f(x)的定义域为，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于 ( ) A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称 C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称 错解：因为函数y=f(x)的定义域为R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函数y=f(x) 的图像关于直线x=0对称，故选择B。

错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个 不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。

正解：因为函数y=f(x)的定义域为R，而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像 向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位 而得到的，又因为f(x)与f(-x)的图像关于y轴对称，因此函数y=f(x-1)与y=f(1-x的 图像关于直线x=1对称，故应该选择D。

四、求抽象函数的解析式 解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值 法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。

例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函数f(x)的解析式。

解：令a=0，则 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1 再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1 作者：罗鑫 来源：中学课程辅导·教学研究 2016年6期