[在知识建构中发展数学核心素养一位特级教师的教学片段分析] 核心素养校本化建构

在知识建构中发展数学核心素养一位特级教师的教学片段分析

数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身 发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。普通高中数学 课程标准修订稿指出，高中阶段数学核心素养包括数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

数学核心素养的提出给数学课堂教学带来了新挑战，即 如何发展学生的数学核心素养。从课程标准修订稿给出的框 架可以看出，数学核心素养的本质是能力（思想方法）。事 实上，能力（思想方法）是无法直接获得（传授）的，其发 展（培养）与知识形成（以及问题解决）的过程密切相关。

依照建构主义的观点，学生知识的形成只能通过基于自身认 知结构的同化和顺应来实现。喻平教授认为学科核心素养的 发展要经历知识理解、知识迁移、知识创新三个阶段，而这 三个阶段都与知识的建构密切相关。从这个意义上说，学生 数学核心素养的发展必须通过自身的知识建构来完成。基于 这种认识，数学教学的主要任务是为学生搭建知识建构的脚手架，营造知识建构的环境，让学生自觉地去构建知识，从 而发展数学核心素养。具体来说，可以设置有利于学生探究 的问题情境和课堂氛围，让学生自由探索、尝试自己的观点 思路，充分解释、表达自己的思维过程。

下面，撷取南京师范大学附属中学 特级教师刘明老师的一些课堂教学片段，考察如何在知 识建构中促进学生逻辑推理、数学运算能力的发展。

一、在知识建构中发展逻辑推理能力 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其 他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理， 推理形式主要有归纳、类比；
一类是从一般到特殊的推理， 推理形式主要有演绎。高中数学教学，要使学生能够提出和 论证数学命题，掌握逻辑推理的基本形式，理解事物之间的 关联，把握知识结构，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思 维品质和理性精神，增加交流能力。为此，教师需要构建前 后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在知识建构的过程中 学会思考面对一个新的研究对象，从哪些角度发现和提出值 得研究的问题，按照怎样的线索、用什么方法研究问题等数 学认知问题，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程， 发展逻辑推理能力。比如，刘明老师设计、实施的《数列》 教学过程：
【片段1】 突出认知，建构概念 （教师出示问题1：根据前面的学习，结合学过的方法，你觉得应如何研究“数列”这一新的概念？） 生首先要研究它的定义，从它的定义出发，研究它的性 质和其他的一些东西，有时还会涉及表示方法和运算。

生首先是定义，然后是表示方法；
再与已有的概念进行 比较，研究概念之间的联系，可以用已有的概念研究新概念。

师 大家总结得非常好！经过前面的学习，我们知道， 研究一个 新的数学概念，往往需要经历这样的一个研究过程（投 影图1 并讲解）。那么，我们想一想，在建立一个新的概念时， 我们 通常的路径是什么？现在能不能形成概念？ 生（齐）不能。

师不能，应该怎么办？大家说说看。

生给出概念和它的一些注意情况。

师给出一个定义，然后看看它是什么，是这样吗？有同 学有不同 看法吗？ 生我觉得应该由特殊情况归纳到一般情况。

师非常好!在建立概念时，往往是由特殊对象归纳到一 般概念的；
而有了一般概念以后，再通过一些特殊的对象来 加深对它的理解。我们学习概念就是在重复这件事情，处理 这种关系。那么是怎样的一些特殊对象呢？请大家看书第31页上这样的几个具体的例子。

…… 刘老师这节概念课的引入方式很特别：循序渐进地引导 学生建构学习概念的方法体系。其意图是，通过问题1，引 导学生将前面已经初步形成的研究概念的基本策略类比迁 移到建立数列概念的过程中，从而进一步发展学生的元认知。

从以上教学过程中可以看到，问题1引发了学生的思考。这 不是简单解决一个问题的思考，而是整合解决一类问题的思 考：先归纳出一般情况，再演绎出特殊情况，从而形成一定 的知识体系。这样的教学体现了建构主义的观点：让学生通 过高级思维活动来学习，即针对各种信息进行加工、转换， 基于新旧经验进行综合、概括，从而建构知识。正是这种思 维过程，使得学生的逻辑推理 能力在知识建构中得到发展。

【片段2】 注重关联，理解概念 （教师出示问题2：数列{an}中的各项ak与各项序号k(k ＝1，2，3，…，n，…)之间存在着如图2所示的对应关系， 从该对应关系中，你能发现什么？） 师请大家思考一下，之后可以相互讨论。

生数列是函数。

师数列是函数？为什么呢？ 生因为对数列中的每一个项数1，2，3，…，n，…，都 有唯一的项a1，a2，a3，…，an，…与它对应，所以数列是一个函数。

师其他同学认同这个结论吗？ （学生大多点头认同。） 师依据函数的定义，我们可以发现：数列确实是一个函 数。因此，当我们学习新知识时，要关注它与原有的知识之 间有无内在的联系，以利于我们从整体上来认识和把握数学， 形成一个系统化的知识体系。

师我们知道了数列是一个函数，那么，我们应当继续研 究数列的哪些问题呢？ 生我们应当研究它的定义域、表示法和相应的性质。

师你是怎样想到研究这些内容的呢？ 生模仿函数的研究内容。

师回答得很好！既然数列是一个函数，我们就可以用类 似于研究函数的方法来研究数列。那么，数列的定义域是什 么呢？ 生数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1，2，3， …，k}。

师很自然地，数列的值域是什么呢？ 生数列的值域难以确定，因为有些数列是由一些随机的 数构成的，比如我们用计算机产生一组随机数，它们可以构 成一个数列；
有些数列可能是由一组有一定规律的数构成的， 如细胞分裂的个数。

师数列与我们前面研究过的基本初等函数（如指数函数、 对数函数、三角函数）相比较是有区别的：前面所研究的基 本初等函数通常是连续型的函数；
而数列则是一种离散型的 函数，它的值域规律性有时较弱。（稍停）数列的表示法有 哪些呢？ 生由于函数的表示法有列表法、解析法、图像法，而数 列是一种特殊的函数，那么它也应当有这三种表示法。

师很好！上面的问题2就是一个列表法表示数列的例子。

类似地，我们还可以用以n为自变量的函数解析式f(n)来表 示数列{an}，即an＝f(n)，我们把它叫作数列{an}的通项公 式。下面请同学们完成例1。

…… 这里，刘老师通过问题2，引导学生发现数列是一个特 殊的函数，即可类比函数的研究内容和研究方法，进一步研 究数列。这样的设计可以促使学生从整体上认识数学，把所 学的数学知识与方法串成一个完整的系统。

综合来看，上面两个教学片段有两个特点：其一，教学 设计环环相扣、层层递进，逻辑关系清晰、明确，这就为发 展学生的逻辑推理能力创设了外部环境；
其二，由学生通过 联想、类比、归纳形成概念，这一过程不仅使学生建构了概 念，而且突出了逻辑思维的训练。

二、在知识建构中发展数学运算能力 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。

主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思 路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。高中数 学教学，要使学生能够进一步 发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题， 通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质， 养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。可见，数学运算实质 上是在理解数学知识的基础上,运用概念、判断、推理等思 维形式思考数学问题的过程；
运算能力并非一种单一的数学 能力，而是运算技能与逻辑思维能力乃至空间想象能力的一 种独特的结合。其实，按照算法规则按部就班地进行运算只 是数学运算的一个简单、基础的方面，构造、设计或选择算 法才是数学运算的更为困难、关键的方面。因此，培养数学 运算能力，不仅要教会学生按照常规的程序实施运算的“技 能、技巧”，更加要引导学生经历构造、设计或选择算法的 探索过程，体会其中的创造性思维。为此，教师需要引导学 生综合运用相关的知识和方法，深入挖掘蕴藏在抽象符号、 图形以及不同数学对象之间的关系或模式，探求如何从运算 目标出发产生判断，发现适当（优化）的变形方向，最终确 定合理（简洁）的运算路径。比如，刘明老师设计、实施的 《点到直线的距离公式》教学过程：
【片段3】 初步交流，引发深度思考 （教师立足于定量研究，从两条相交直线的交点问题过渡到两条平行直线的距离问题，引出点到直线的距离问题， 再转化得到求两点之间的距离这一基本思路。） 师下面请同学们独立地推导点P(x0，y0)到直线l：Ax＋ By＋C＝0的距离公式。

（学生充分思考后，教师引导交流——） 师这种解法是一种最基本的想法，其他同学对他的解法 有没有疑问？ 生他忽略了系数A、B是否为零。这里应该对系数A、B是 否为零进行分类讨论。

生没有必要考虑系数A、B是否为零。他这样写没有问题。

生我觉得这样求点Q的坐标太难算了。由于PQ＝(x－ x0)2＋(y－y0)2，所以没有必要具体地求出点Q的坐标 ，只要求出x－x0和y－y0就可以了。可以把直线l和PQ 的方程分别化为①A(x－x0)＋B(y－y0)＝－（Ax0＋By0＋C）， ②B（x－x0）－A（y－y0）＝0。然后，由①×A＋②×B得x －x0＝－A（Ax0＋By0＋C）A2＋B2，由①×B－②×A得y－ y0＝－B（Ax0＋By0＋C）A2＋B2。

师这位同学在运算时，利用了整体思想，减小了运算量。

今后，在解析几何的相关计算中，要逐步形成整体意识，以 减小运算量。其他同学有没有问题？ 生受他的方法的启发，我发现，可以不解出x－x0和y－ y0，由①2＋②2得到(A2＋B2)［(x－x0) 2＋(y－y0)2］＝(Ax0＋By0＋C)2，就可以得到距离公式了。

这里，基于知识结构的生长，引出研究问题的基本思路 后，刘老师要求学生自主尝试推导点到直线的距离公式，经 历构造、设计或选择算法的探索过程，以发展数学运算能力。

根据研究问题的基本思路，学生自然地得到了一种推导方法， 并感受到其计算量十分可观。于是，刘老师引导学生对此展 开交流，得到了利用整体思想简化的两种推导方法。由此， 学生初步体会到运用适当的思想方法可以简化运算过程，而 运算方法选择 得恰当与否常常直接决定着运算量的大小、运算的繁杂 程度，甚至能否得出正确的运算结果。

【片段4】 合作交流，展示不同方法 师刚才这两位同学通过求出点P在直线l上的射影坐标 的方法，推导出了点到直线的距离公式，通过相互启发，使 计算变得越来越简单。请同学们再考虑有没有其他的推导方 法？先独立思考，在得到推导的方法后和组内其他同学交流， 然后和全班同学交流。

师这一方法是过点P分别作与两条坐标轴平行的直线PA、 PB，分别交直线l于点A、B，把所要求的“斜线段”PH的长 度转化成与坐标轴平行的线段PA、PB的长度，并利用由∠1+ ∠2=90°得到的(sin∠1）2+(sin∠2）2=1 求出了距离。它体现了解析几何中求线段长时常用的一 种方法——化斜为直，即把“不与坐标轴平行的线段”转化成“与坐标轴平行的线段”。还有没有其他不同的方法？ 生我的解法和上面的解法有相近的地方，也是化斜为直， 求出与坐标轴平行的线段PA、PB的长。所不同的是，我利用 勾股定理AB2=PA2+PB2求出了AB的长，再通过面积法12PA·PB ＝12AB·PH求出了PH的长。

师这一解法利用面积相等得到了点P到直线l的距离。利 用面积法求三角形的高是平面内求距离的一种基本方法。在 空间中，有没有类似的方法？ 生用体积法求三棱锥的高。

师很好！其他同学还有别的方法吗？ 师向量是一种重要的数学工具，是沟通数与形的桥梁。

刚才这位同学利用向量巧妙地 得到了点到直线的距离公式，避免了代数运算。另外， 还有其他几位同学给出了其他几种方法，限于时间，这里不 一一展示，课后张贴在教室的张贴栏内，供同学们相互交流。

…… 让学生参与到促进学习的事件和活动中去，经历数学知 识的自我建构过程，才能真正地发展学生的数学核心素养。

这里，刘老师进一步给予 学生自主探究与合作交流的时间和空间，让他们在推导 出点到直线的距离公式的同时发展数学运算能力。主体地位 的凸显使得学生的思维很活跃、发散，给出了教师很难全部 预设的直接法、三角函数法、三角形面积法、向量法等近10种推导 方法。之前整体思想的运用使得学生产生了探索改进算 法的意识，于是，学生想到了三角函数、三角形面积、向量 等各种相关的知识，从而对所求距离进行了相应的转化，使 运算过程得到了不同的改进。总之，殊途同归的推导点到直 线距离公式的探索过程使得学生进一步体会到算法的探索 改进、运算的过程技巧，提升了数学运算能力。

综合来看，上面两个教学片段体现了解析几何的核心思 想——数形结合，使得学生在通过数学运算方法解决直观想 象问题的知识建构过程中学会了合理构造、设计或选择算法， 在直观想象素养的渗透中提升了数学运算的素养，在成功快 乐的体验中增强了数学学习的兴趣。

参考文献：
［1］ 喻平.发展学生核心素养的教学目标与策略［J］. 课程·教材·教法,2017(1). ［2］ 史宁中.试论数学推理过程的逻辑性——兼论什 么是有逻辑的推理［J］.数学教育学报,2016(4). ［3］ 章建跃.构建逻辑连贯的学习过程，使学生学会 思考［J］.数学通报,2013(6). ［4］ 刘明.“数列”起始课的教学设计［J］.数学通 报,2015(1).