【因式分解与唯一性定理教学的方式】因式分解定理

因式分解与唯一性定理教学的方式

如求矩阵的Jordan标准形时，需要先求出其特征矩阵的 全部初等因子。此时，需要用到的是一元多项式理论中的互 素理论：
设，，若多项式，都与，互素，则矩阵与等价（见文献 [1]第262页引理8.3.5）。

一元多项式理论可归纳为以下四个方面：①基本理论：
包括数域上一元多项式的基本概念、运算、导数及其基本性 质；
②整除理论：包括整除、最大公因式、互素等的概念与 性质；
③因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解与唯 一性定理、重因式、实数域、复数域上多项式的因式分解、 有理系数域上多项式不可约的判定等；
④根理论：包括多项 式函数、多项式的根、代数学基本定理、本原多项式、有理 数域上多项式的有理根求法等。虽然一元多项式理论内容丰 富，但重点是整除理论和因式分解的理论，主要定理是带余 除法、最大公因式存在性表示定理、因式分解唯一性定理。

在教学过程中，若能把握住两大重点和三大基本定理，就能够避免一元多项式理论由于“概念术语多且抽象、证明思路 难入手”所带来的麻烦，进而从整体上掌握一元多项式理论， 提高课堂教学效果。

就因式分解与唯一性定理的教学而言，目前国内主要教 材（见文[1-4]）采用的是：首先给出不可约多项式的概念、 列举出不可约多项式的3条性质，最后讲因式分解与唯一性 定理并证明之。老师没有用更多时间强调不可约多项式的定 义、让学生充分理解不可约多项式的概念。另一方面，因式 分解存在性的证明采用的是中学不怎么讲的数学第二归纳 法。虽然唯一性定理的证明采用的是数学第一归纳法，但仍 有很多学生学习起来有一定困难。结合笔者在因式分解与唯 一性定理的教学实际，我们首先用给出数域一元多项式不可 约的两个充分必要条件，以让学习充分理解这一数学概念；

然后用反证法证明因式分解与唯一性定理的存在性，以期让 学生更容易地理解这一重要的基本定理。

1 不可约多项式的充分必要条件 关于不可约多项式的定义，国内教材基本都采用如下形 式：
定义[1] 设为数域上一元多项式，且的次数。如果不能 表示为数域上两个次数比低的多项式的乘积，则称为上的不 可约多项式。否则，称为上的可约多项式。

下面，我们给出不可约多项式的两个充分必要条件。

定理 设为数域上一元多项式，且的次数。则下列命题等价：
⑴ 为上的不可约多项式；

⑵ 若，是满足的任意多项式，则或者，或者；

⑶ 若，是满足的任意多项式，则或者，或者是非零的 常数。

证明 ⑴⑵：见[1，第9页性质1.3.3]。

⑵⑶：假设。则由⑵知，或者，或者。从而有，或者。

（*） 另一方面，由假设可知：
。

（#） 欲使（*）式和（#）式都成立，除非 ，或者 。因此， 或者，或者是非零的常数。

⑶⑴：设为的任一因式，即有，。由⑶知，要么，要么， 其中且。若，则为上的不可约多项式。若，则， 。从而， 仍为上的不可约多项式。

2 因式分解与唯一性定理的新证明 定理[1] 设为数域上一元多项式，且。则可唯一性地分 解成数域上一元不可约多项式的乘积。唯一性指的是，如果 有两个分解式 其中和均为数域上不可约多项式，，，则必有，而且适 当排列不可约因式的次序后，有，，其中为数域上非零的常 数。

证明 唯一性：同文[1-4]中相应证明。下面，我们给出存在性定理的一个新的、更为学生所能理解的简捷方法。

存在性：记 不能表示成一些不可约多项式的乘积，。

故需证明。我们用反证法证明之。假设。令 。

从而。记中的最小元为，相应的一元多项式为。故不能 表示成一些不可约多项式的乘积，且自身也不是一个不可约 多项式。从而，存在数域上一元多项式，，使得，其中，两 者中至少有一个不能表示成一些不可约多项式的乘积。不妨 设不能表示成一些不可约多项式的乘积，从而。故， 。

因此，。这与为中的最小元相矛盾。故。

参考文献：
[1]. 同济大学应用数学系编. 高等代数与解析几何[M]. 北京：高等教育出版社，2005. [2]. 孟道骥. 高等代数与解析几何（上册）[M]. 第二 版. 北京：科学出版社，2007. [3]. 陈志杰. 高等代数与解析几何（上册）[M]. 北京：
高等教育出版社，2000. [4]. 王心介. 高等代数与解析几何 [M]. 北京：科学 出版社，2002. * 基金项目：校教育教学研究课题（JYB201109）。