数学教学中的问题综述
数学教学中的问题综述 1数学教材中的问题建构 数学教材建构离不开数学问题，这种建构表现为问题一 回答一问题的环状连接，作为文本存在的教材，蕴藏其上的 意义实现的基本方式是看、读、听、议、做.〔‘〕因此教 材体系建构就要将一些数学事实，通过源问题、靶问题以及 单元问题、核心问题、关键问题的形式组织起来，尽最大可 能的体现、实现学习目标.分析北师版“圆”一章的建构， 每节基本上都是问题导人的，然后通过想一想、做一做、议 一议、读一读等活动的实施，以获取一些基本的几何事实， 如圆的概念，圆的性质，圆中的量之间的关系，圆与直线， 圆与圆之间的位置关系以及圆中有关量的计算等基本知识， 都是由环环紧扣的问题串起来的，并与之相接的练习、习题、 复习题一起将圆中的基本的数学思想方法，如对称、变换思 想，推理论证思想，分类归纳思想，算法思想等体现出.细 心品味，不管是源问题还是靶间题的提出、发现、分析与解 决，着力点是学生数学经验的获得.华师版也是以数学问题 为纽带，而且密度更大，通过试一试、思考、探索、观察、 做一做、操作确认、数学说理和逻辑推理等相结合的方法来 建构“圆”的相关内容，同时附以旁白的方式引出一些数学 概念、提出一些数学问题，把运动变化的思想，化归的思想， 分类的思想，数形结合的思想，特殊和一般的思想等囊括其 中，且用词用语十分简洁.人教版在“圆”这一章中，引人的源问题与北师版相类似，通过多种手段，如观察度量、实 验操作、图形变换、逻辑推理等建构圆的相关内容一个显著 的特点是要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和 逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实 验、探究得出结论的自然延续，特别注意联系实际，重视渗 透数学思想方法，重视知识间的联系与综合.从3种版本建构 圆体系的特点可以看出，数学问题是建构数学教材的主因素， 而语料是其建构的基因.由于教材是一类读者引领另一类读 者解读文本把握意义的现象，是在一定的情境下，彼此影响 着去理解、去接受文中的意蕴，如教师引领学生，那么基于 精细加工理论、学习环境设计思想、认知弹性理论选用语料， 进行问题选择、情境创设、结构组建就能达到可读易理解的 目标，顺利的将学习者纳人到参与探究、进行讨论、实践应 用、发掘事实的意义场景. 2数学教学:问题生成及教学策略 教材中的数学间题上通数学，下达课堂.但源于教材用 于教学的数学问题具有生成性的特点，师生共同体通过问题 这一桥梁，形成良好的教学生态环境，通过问题解决过程促 使学习者数学智慧的形成. 2.1数学教学中的问题生成分析 数学教学就是要创设良好的问题情境，让学生通过问题 来学习，在问题视域下，通过观察、实验、操作、计算、推 理、讨论、探究等方式夯实四基，提高能力.而数学教材中的问题又是教学的源问题，因此教学中要针对学生的数学现 实重构适切的问题情景及向题空间，让问题的表达、问题的 解决、问题的评价更具生成性、智慧性.数学问题表达体现 生成性数学问题是借助于语言提出来的，并借助于语言来分 析和解决.由于数学问题具有经验性和非经验性的特点，因 此，数学教学中数学问题表达的用词用语就要尽量适合学生 的学习经验与语言习惯，无论是提出问题的方式、呈现问题 的样态，还是展现问题解决的思路与教育价值，都要以更加 饱满的问题域来承载学生对教学的高期望，使问题在当下的 教学情景中与周边的环境相适合，切实展现问题产生的背景 及过程，体现问题的联系，赋予问题以活性，使教学朝着有 利于学生数学知识、数学思考、问题解决、情感态度的方向 发展.在“圆”一章的起始教学中，要对源问题、靶问题进 行生成性表达，使学生渴望通过圆一章的学习实现学习目标. 可设计如下问题:(1)老师给每位同学发了一张形状不同的 纸(诸如三角形、四边形等)，你能在纸上画出一个最大的圆 吗?(2)回忆以前三角形、四边形图形性质探讨的方法与技巧， 在所发纸的背面联想着写出圆图形可能的一些性质，你希望 通过什么路径来挖掘更多的性质?等等.提出适合学生实际 的问题域可激发和舒展学生的思维空间.数学问题解决体现 生成性教材中提出、展现的某些数学问题给出了解决的思路， 具有一定的示范性，通过师生、生生的多边数学活动，在赋 予了师生的数学智慧后完成.师生在不断解构源问题、靶问题的过程中，通过对基本问题解决模式的建立、分析与解决， 深化了数学理解.数学问题的解决是一个高度情境化的过程， 无论是对静态的数学问题结构要素分析，还是对动态的数学 问题中的思想方法挖掘，都要激活解决者动态体验和灵感， 在动态生成的过程中探讨问题解决的思路、寻找问题解决的 方法、串联众多的知识，形成自己的理解，真正实现过程性 生成.数学问题解决的过程，是感悟数学思想、掌握数学方 法、理解数学概念、获取数学经验的过程，是对数学知识的 一种加工、应用、拓展的过程.在流动的数学问题解决过程 中?师生之间的对立主要通过教材中的数学问题形成，由对 立走向统一，在解决愿望推动下，发挥能动性，使未知向已 知转化，并以关于对象的知的形式呈现出来，〔“〕从而拓 展着师生之间数学问题解决域.通过问题解决来学数学，是 最有效的学习途径.如华师版、人教版教材中都涉及到有关 太极图的问题.可设计成:以小组为单位，在观察太极图的基 础上讨论下列问题:(l)整个图形的构成有什么特征?(2)太 极图中圆周长、圆面积与圆中曲线的长度有什么关系?(3)能 否用一条直线把阴阳太极图中的每一部分再分成面积相等 的两部分?(4)能否像太极图那样用圆规和直尺画n一1条曲 线把圆的面积划分成面积相等的n个区域?能得出哪些数量 关系?(5)要把圆分成面积相等的3部分，你能给出几种分法? 分成面积相等的6部分，又能给出几种分法?这种基于教材并 在学生合作解决问题中生成更多的问题有利于激发学生的探索欲望.数学问题评价体现生成性数学问题是通向数学理 解之途.通过数学问题的发现、提出、分析、解决过程就能 达成学习数学知识、丰富数学智慧、促进数学进步的目的， 有效与否，取决于对数学问题解决过程的评价与反馈.无论 对数学中的基本问题、单元问题，还是重大问题、核心间题 带着评价反思的眼光进行源与流、正与反上的思考与分析， 总能有新的收获和感悟.在批判与质疑中才能挖掘教材中数 学问题的本质，促其理解深化，进而防止接受片面的观点， 抑制有创造性的思考.在“圆”一章的学习中，不可避免的 要碰到圆中最重要的一个量“圆周率砂问题，正是因为二带 给人类无限的智力挑战，在
初中教学中设计一个活动，让学 生查阅7r的相关知识，并在全班进行汇报展示，教师点拨评 价，从数学文化的角度评析学生的成果，可达到良好的教学 效果. 2.2数学教学中的问题解决策略 通过问题解决学数学不仅仅是一句口号，更多的是一种 行动.教材中蕴藏着大量丰富的问题，这些问题的解决、思 考、拓展为夯实学生数学素养提供了极其重要的经典素材. 在认真思考问题背景、结构以及解决思路时，要进行生成性 的教学设计与实施，使其真正发挥数学问题的文化力量.因 此数学问题解决的教学策略就至关重要.问题解决的准备策 略首先要细读研读教材中的数学问题，防止片面孤立的理解 教材所呈现的数学问题，在系统观的导引下，从学生现实、数学现实、环境现实人手，剖析问题的结构特征;一个间题 的解决需要一定的知识储备，精心析理问题解决所需的知识 就相当重要，不仅是数学知识，还需准备相关学科知识、教 育心理知识、社会科学哲学等知识，确保数学问题能够上通 数学、下达课堂;数学问题的分析和解决都离不开语言因素， 因此语言准备也是不可或缺的，不仅要对教材中的数学问题 储备适合学生理解的语言进行改造，而且还要通过问题语义 的变迁促使学生数学思维方式的深层变化;问题的解决着力 点还在于思想方法，因此思想方法的准备也十分关键，在对 数学问题话语形式、叙事模式、形式结构、修辞机理进行准 备时要将思想方法渗透其中，使之更加适合学生的心理特征. 让学生查阅圆周率相关知识时，教师要准备大量的与此相关 的史料性知识，3种版本的教材中都涉及到一些史料性知识， 需要教师整合，从二问题的起源、探索的过程、结论的得出 等维度进行梳理，把人类近四千年漫长岁月中探索的思想精 华提炼出，与学生分享，会使学生受益无穷.特别提出的是 要把工夫花在问题准备上，如二的值是如何猜测与估计的? 用了什么好的方法与技巧(从割圆术、渐近分数、三角函数、 无穷乘积、无穷级数直到蒙特卡罗法)?二有何性质?[’〕等 问题，可激发学生的探究兴趣.问题解决的实施策略有了好 的数学问题，就得通过好的活动去解决它，首先要营造活动 开展的环境，虽然数学教材已经预设了问题解决的活动策略， 它是按照一定的逻辑性与整体性设计的，有其顺性、自由、共处、精确、控制、预设、理解、对话、生成的基本特征， 但教学现实中仍然需要盘活问题解决的活动空间，让独立思 考、自主探索、合作交流、经验分享、智慧生成成为可能;
其次要精心设计活动进行的环节，不管是对问题域进行深度 剖析，还是对问题解决每一个关键点的点拨及启示，都要控 制教师的话语权，任何一种话语形式的背后其实都隐含了一 个欲望的运作机制或者说一种权力关系，[8]合理利用这种 权力关系，让学生在数学话语活动中理解，在理解中活动;
再次在活动中要把问题置于开放性的途中，不断开放师生的 成见和理解，学会承认自我理解的局限性，正视不同的理解 的正当性或合法性，这样就能在活动中吸收他人的理解来充 实自己的理解，并以各种不同的理解不断扩展和充实问题解 决的共有意义.〔’〕在“圆”章节中，无论涉及运算问题 还是推理论证问题的解决，都要设计成启发学生思考的情景， 想法拓展问题解决的策略空间.如3种版本的教材中都涉及 面积最大问题的计算，在解决这个问题时，可拓展提出“等 周问题”及“最速降线问题”，[10〕引导学生到一个新的 问题视域中，让精力旺盛的学生去思索与探寻解决的途径， 会收到意想不到的效果.问题解决的评价策略当师生通过一 定的数学活动解决完问题后可能需要教师进行有针对性、实 效性的点评，对其涉及的“概念知识”、“原理思想”、“策 略方法”、“语言表征”等方面进行剖析，这是提升问题解 决实效性的根本保证.恰当及时的评析是引导思维正向思考的助推器，也是开拓问题解决新路径的润滑油.通过评价反 思，重新梳理会使概念的本质揭示更能接近学生的理解水平 与兴趣层次，加深学生对概念、思想、方法了解的程度与层 次.点评与反思也是发挥教师解释权的机会，通过一定的解 释途径帮助学生理解数学问题解决的要领，评价时可能面临 着学生个体许多有意义的实际问题与许多新奇的解决思路， 把具有价值和意义倾向的思想梳理呈现给学生就能帮助学 生生成意义，超越狭隘的先前理解.对教师而言，评价有效 的办法就是向学生下放自主权，让学生自己去理解问题解决 的意义.而教师要对自身的解释保持一种清醒的批判与反思， 从而不断地更新教育话语表达方式，促进学生不断产生新的 文本意义.在学习圆的周长、面积时，笔者在教初中数学特 长班时，设计了一个开放的问题让学生探索:给出一个椭圆 的标准定义(涉及
高中知识，简要解释了其含义)，让
学生试 着猜测出椭圆的周长与面积.有学生给出了这样2个公式，椭 圆的周长是:斌a+b)，椭圆的面积是:二b.笔者对学生猜测出 的公式感到十分高兴，在分析其思路的过程中，鼓励学生想 法设法验证其是否正确，使学生认识到类比思维有可能犯错 误，但勇于思索，大胆探索的精神是值得肯定的。
