小数的意义和概念 [概念教学应凸显意义本质的理解以小数的意义教学为例]

概念教学应凸显意义本质的理解以小数的意义教学为例

一、基于现实起点，激活原有概念 学习者对一个概念的理解程度与他们内在的认知结构 息息相关。那么，在教学“小数的意义”之前，学生已经具 备怎样的认知结构？我们又如何进行合理设计，从而达到有 效衔接呢？ 1． 学生起点探析 学生数学学习的起点可以分为两类：学习的逻辑起点和 学习的现实起点。对于“小数的意义”这节课，学生的逻辑 起点有两个方面：（1）分数的初步认识。在三年级上半学 期，学生已经初步认识了分母小于10的分数。（2）小数的 初步认识。教材中把“让学生知道1/10米可以写成小数0.1 米，1/100米可以写成小数0.01米”作为三年级数学教学目 标。

从上述两个方面的逻辑起点可以看出，“分数的初步认 识”“小数的初步认识”已经给小数意义的理解铺平了道路。于是，在新课导入环节我尝试如下设计。

［片段一］直入主题 教师板书0.1后问：看到0.1，你想到了什么？ 学生有些迷茫，片刻停顿后有学生举手。

生1：就是很小很小。

生2：对，就是这么一点点。（比划手势） 生3：就是0.1元…… 教师开始引导：它表示哪个分数？ 片刻思考之后，有三五个学生举手表示：0.1=1/10。

在引入环节遇到这样的尴尬，让我开始对之前的学生逻 辑起点分析产生怀疑，开始侧重对学生的现实起点进行分析。

通过分析发现，学生的现实起点为：（1）学生确实已经经 历了“分数的初步认识”和 “小数的初步认识”，可是学 生对两者的认识仅仅只是“初步”，必须借助直观的图示或 生活经验来解释“0.1元就是1/10元”，否则即便有学生说 出“0.1就是1/10”，也不能让大部分学生产生共鸣。（2） 时间跨度较长。从“分数”“小数”的初步认识到“小数意 义”这节课的时间有一年之久。我一开始对这点很不以为然， 通过实际的谈话了解才意识到，时间跨度较长、内容本身抽 象使得很多学生已经遗忘了小数与分数的关系，因此“看到 0.1，你想到了什么”这个问题就缺少了必要的认知支撑。

2．激活学生原有经验 通过之前的尝试和之后的再次分析，我开始调整引入环节。

［片段二］激活原有经验 （1）出示题目 师：同学们，在三年级的时候我们对小数已经有了初步 的认识。这里的小数具体表示什么意思呢？（如右图） 生：0.4元就是4角，78.78元就是78元7角8分，0.6米就 是6分米。

师：6分米为什么就是0.6米？ 生1：因为米和分米的进率是十，10分米等于1米，所以 6分米就是0.6米。

生2：因为6分米就是把1米平均分成10份，这样的6份就 是6/10米，所以就是0.6米。

师：简单地说，6分米就是6/10米，所以就是0.6米。

（2）在电脑屏幕上出示一个超级大的0.1 师：刚才的0.4、78.78、0.6这些都是小数，这里还有 小数0.1，它具体可以表示什么？ 生：可以表示0.1元、0.1米、0.1公里…… 通过前面的分析，我们明白学生对“小数的认识”还需 要具体的量作为支撑，这是三年级的终点，也是本堂课的起 点之一。所以我认为元、角、分和长度单位依然是本堂课的 首选素材，引入的素材非常简洁，重点提问“6分米为什么 就是0.6米”，自然地激活了小数与十进分数之间的直观关 系，以“0.1可以用来表示什么”来打开学生思路，真实展现学生起点，从而体现出“学生的实际认知基础是教学的基 本出发点”这一教学理念。

二、层层深化建模，突出概念本质 在小数意义的建构过程中，教师应该引导学生亲自操作 和体验，进行再创造，并在这种富有生命活力的再创造过程 中，主动沟通小数与十进分数的联系。这样，学生才能深刻 理解小数的意义。对此，我精心设计了下面的教学环节。

［片段三］主动建构0.1的意义 （1） 概念具体化 （紧接片断二）师：看样子0.1能表示很多东西，你们 说的这些量，能通过分一分、涂一涂在图上表示出来吗？ 学生自主操作，表示出心中具体的0.1。

（2）由具体到一般 师：我们刚才表示的物体并不一样，所用的图形的形状 也不一样，为什么都可以用0.1表示呢？ 学生进行激烈的讨论与交流，最后统一得出：因为它们 都平均分成了10份，都涂出了其中的1份（因为它们都表示 出了1/10）。

（3）概念一般化 教师总结：也就是说1/10就是0.1，0.1就是1/10。

在这一教学环节中，对于0.1意义的理解可分三步走：
先让学生自主“在图中表示心中的0.1”，再交流与沟通“为 什么都可以用0.1表示”。通过这样的交流，学生对“0.1”的理解，经历了从特殊到一般，从具体到抽象的过程，最后 再抽象概括。正是因为有了这个模型的建立，学生对0.1的 理解十分到位。

三、材料有效反馈，完善概念理解 概念的形成要遵循由易到难、层层深入的规律。在概念 学习中，材料的选择与反馈非常重要。好的材料、好的反馈 方式可以促进学生对概念的深入理解。

1．精挑细选学习材料，促进学生主动迁移 ［片段四］两位小数意义的建构 出示图形：
师：如果一个正方形表示1米，那么左图表示什么？右 图表示什么？ 师：这是两个人的身高，一个1.7米，一个1.8米。老师 的身高比1.7米高一点，比1.8米又矮一些。请你猜一猜，老 师的身高有多少米？ （学生猜测：1.71米，1.75米，1.77米……） 师：你们猜的都符合这个范围。同学们能不能在图上通 过分一分、涂一涂，把你猜的身高准确地表示出来？ （学生在纸上自主表示自己猜测的老师身高。） 在上述教学之前，学生刚刚抽象概括出一位小数的意义， 即一位小数表示十分之几。通过看图表示身高这个材料，一 方面很好地突破了之前一位小数形式上的定式（整数部分都是0的一位小数）；
另一方面通过“猜一猜，老师的身高是 多少米”这样一个贴近学生生活的问题，激发学生的学习兴 趣，使学生体会到引入两位小数的必要性。在接下来的教学 过程中，教师放手让学生在纸上自主表示自己猜测的身高。

这一刻，学生研究“一位小数意义”的方法被激活，在解决 问题的过程中，学生必将主动迁移方法。多样化的方法、富 有个性的学习将在此过程中体现得淋漓尽致。这样的学习活 动比单纯的模仿、记忆更有利于调动学生的学习积极性，更 有利于学生理解小数的意义。

2．充分利用生成材料，合理安排反馈顺序 ［片段五］两位小数意义的教学 （紧接片段四）反馈（教师选择性展示学生作业）。

生1（估计）：表示1.76米，先涂满7条，在第八条中涂 一部分。

师：同学们，你们觉得这方法怎么样？ 生：不大好，看不出到底表示1.7几米。

师：刚才的同学用估计的方法表示出了大于1.7米，小 于1.8米的身高，这个想法非常好。但到底是1.7几米呢？有 什么办法可以准确地表示出来吗？ 生2：我猜老师的身高是1.76米，只要在第2个正方形上 先涂出7条，再把第8条平均分成10份，涂出其中的6份，就 表示0.76，合在一起就是1.76。

生3：但是他表示的是1.86米了，1.76米应该这样表示——（出示③号作业） 生4：我也猜老师的身高是1.76米，但我是把整个正方 形平均分成100份，涂了76份。

师：仔细观察这两幅图，为什么都表示0.76？ 生：其实它们是一样的，因为把1条平均分成10份，共 有10条，就是被平均分成100份。

师总结：第一位同学将第8条平均分成10份，事实上就 是把这个正方形平均分成了100份，涂了其中的76份，所以 0.76就是表示76/100。（课件跟进，沟通过程） 从片段五中我们看到，学生生成材料有对错之分，也有 优劣之别，还有同一水平的不同表达方式。材料①不能准确 地表示出1.7几米，材料②思路正确但结果错误，材料③、 ④能正确表示，但方法不同。笔者将四位学生的自主研究成 果按序呈现，有利于让学生感受引入两位小数的必要性以及 深刻理解“两位小数的意义”。

四、淡化形式表达，深化概念理解 所谓的“淡化形式表达”并不是不要形式表达，而是不 要把形式看得过分“神圣”。在概念教学中，教师既要引导 学生由具体到抽象理解概念，又要让学生由抽象到具体应用 概念。通过应用概念可以让学生加深理解，增强记忆，帮助 学生更好地建立概念体系，完善知识，形成结构。

1．回避术语表达，突出实质理解 概念教学中往往会出现一些比较抽象的术语，这些术语对于学生掌握概念的本质意义，有时会起到干扰的作用。例 如，“小数意义”一课中计数单位的教学，笔者发现若问学 生：“0.9里有多少个0.1？”学生非常容易回答；
但若将题 目改成“0.9的计数单位是什么？它是由多少个这样的计数 单位组成的”时，部分学困生就会愣住。分析原因是学生对 于“计数单位”这个术语比较难理解，如果一定去强化这个 术语，那自然也就成了一种形式。

［片段六］ 计数单位的教学 （紧接片段五）师：现在老师告诉大家，我的身高是1.77 米，那么在这个基础上如何表示出1.77米呢？ 生：再涂1格。

师：这里的1小格表示多少呢？ 生：0.01。

师：那你现在想一想，0.01表示什么意思？ 生：把这个正方形平均分成100份，这样的1份就是1/100， 也就是0.01。

…… 师：右图表示0.09，如果在多涂一格，它表示多少？ 生1：0.10。

生2：0.1。（课堂内有争议） 生1：这里把正方形平均分成了100份，涂了10份就是 10/100，也就是0.10。

生2：因为涂色部分也可以看作把这个正方形平均分成10份，涂了1份，所以可以用0.1表示。

师：0.1和0.10的大小是一样的，但是它们表示的意义 不一样，0.1表示1/10，0.10表示10/100，1里面有多少个 0.1？0.1里面有多少个0.01？（课件跟进，沟通过程） 每相邻两个计数单位的进率是10，如果以告知的方式让 学生记住，显然，知识是得不到内化的。笔者采用分散教学， 将进率的教学融于意义教学中，既是对意义的巩固与理解， 又水到渠成地得出“10个0.1就是1”的结论。片段六中始终 没有专门给出“计数单位”这样一个名称，而是借直观图帮 助学生理解，通过直观图学生对“10个0.1是1，10个0.01就 是0.1，1里面有100个0.01”等进率关系有了非常直观的表 象支撑，理解也十分到位。尤其是计数单位0.01的教学，运 用学生所猜身高（1.76米）与老师真实身高（1.77米）之间 的1厘米，即一小格就是0.01，引出计数单位，学生对此意 义的理解尤为深刻。

2．突破形式总结，注重意义理解 概念课的总结环节往往容易产生形式化，例如笔者在试 教“小数意义”时曾形式化地问学生：“同学们，这节课你 有哪些收获？”“我知道了小数的意义。”“一位小数表示 十分之几，两位小数表示百分之几……”为避免如此形式化 的回答，笔者改变了总结的形式。

通过形式上的小小改变，发现学生更有话说了，学习形 式更新了，课堂气氛更活跃了。更为重要的是，这样的总结目标完全指向对意义的理解，非常有助于学生对知识的内化。

3．变化练习形式，深化意义理解 ［片段八］课堂练习 抢答：用小数表示涂色部分 …… 师：为什么第三幅图表示0.5。（课件出示） 生3：因为一半就是0.5。

生4：不是0.5，是表示0.1，因为只涂了1份。

生5：0.1是表示1/10，这里是平均分成了2份。

生6：我们可以把这幅图想象成平均分成10份，那么涂 色部分就是5份，所以是0.5。

师：真棒，那第四幅表示多少呢？ 生：表示0.2，可以把每一条再平均分成两份，这样就 平均分成10份，涂色部分有2份，所以就是0.2。

师总结:后面的两幅图并没有平均分成10份，同学们能 够通过分解想象出平均分成10份，非常好。

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