微分方程数学建模_微分方程在数学建模中应用

微分方程在数学建模中应用

摘 要：
数学教学;理论与实际;教学方法 一、数学建模与微分方程概述 数学建模(Mathematical Modeling)是用数学方法解决 各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞 速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用也越来越重 要，而且已经渗透到各个领域，可以毫不夸张的说，数学和 数学建模无处不在。

经典的数学建模理论认为数学建模一般由下列六个步 骤组成:1，建模准备:包括进行调查研究，明确问题，搜集 信息，查阅文献资料，初步确定问题属于哪一类模型.2，分 析与简化:分析问题，分析信息与资料，抓住主要因素，忽 略次要因素，简化问题.3，模型建立:用数学语言刻画所研 究问题的因果关系，得到问题的数学描述，通常是所研究问 题的主要因素的变量之间的一个关系式或其他的数学结 构.4，模型求解:选择合适的方法求解上述数学模型，多数 情况下很难获得其解析解，而只能得到其数值解，这就需要 应用各种数值方法，各种软件系统和计算机. 5，模型检验 与评价:包括模型是否易于求解，是否能反映和解决实际问题等.6，模型应用:就是把经过改进的模型及其解应用于实 际系统，看是否达到预期的目的.若不够满意，则建模任务 尚未完成，仍需继续努力。

二、微分方程在数学建模中的应用 （一）人口预测模型 由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制 人口的增长。为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人 口增长的因素，而影响人口增长的因素很多。因此，先把问 题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的 模型。

例1 (马尔萨斯Malthus模型)英国人口统计学家马尔 萨斯(1766-1834)在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口 出生统计资料，发现人口出生率是一个常数，于1798年在《人 口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型。他的 基本假设是在人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率 于死亡率之差)是常数，即单位时间内人:口的增长量与人口 成正比，比例系数设为r。在此假设下，推导并求解人口随 时间变化的数学模型。

解:设时刻t的人口为N(t)，把N(t)当作连续、可微函数 处理(因人口总数很大，可近似地这样处理，此乃离散变量 连续化处理)，据马尔萨斯的假设，在t到t+△t时间段内， 人口的增长量为N(t+△t)-N(t)=rN(t)△t并设t= 时刻的人 口数为，于是N()= 这就是马尔萨斯人口模型，用分离变量法易求出其解为 N(t)= 此式表明人口以指数规律随时间无限增长。模型检验: 据估计1961年地球上的人口总数为3. 06×109，而在以后的 7年中，人口总数以每年2%的速度增长。这样， =1961， =3.06 ×109，r=0.02，于是 N(t)=3.06×109e0.02(t-1961) 这个公式非常准确地反映了在1700-1961年间世界人口 总数。因为，这期间地球上的人口大约每35年翻一番，而上 式断定34. 6年增加一倍。

但是，后来人们以美国人口为例，用马尔萨斯模型计算 结果与人口资料比较，却发现有很大的差异。尤其是在用此 模型预测遥远的未来地球人口总数时，发现更加令人不可思 议的问题，如果按此模型计算，到2670年，地球上将有3万 6000亿人口。如果地球表面全是陆地(事实上，地球表面还 有70%以上被水覆盖)，我们也只能互相踩着肩膀站成两层了。

这是非常荒谬的。因此，这一模型应该修改。

例2 (逻辑Logistic模型)1838年，荷兰生物数学家韦 尔侯斯特(Verhulst)引入常数Nm，用来表示自然环境条件所 能容许的最大人口数(一般说来，一个国家工业化程度越高， 它的生活空间就越大，食物就越多，Nm就越大)，并且假设 净增长率等于，即净增长率随着N(t)的增加而减少，当N(t)→Nm时，净增长率趋于零。按此假设建立人口预测模型。

解:由韦尔侯斯特假定，马尔萨斯模型应改为 N()= 上式就是逻辑模型。该方程可分离变量，其解为 下面，我们对模型作简要分析。

(1)当t→∞时，N(t)→Nm，即无论人口初值如何，人口 总数趋向于极限值Nm;
(2)当0 0，这说明N(t)是时间t的单调递增函数 (3)由于，所以当N＜时，＞0，单增；
当N＞时，＜0， 单减；
即人口增长率由增变减，在处最大，也就是说在人口 总数达到极限值一半以前是加速生长期，经过这一点后，生 长的速率逐渐变 (4)用该模型检验美国从1790年到1950年的人口，发现 模型计算的结果与实际人口在1930年以前都很吻合。自从 1930年以后，误差愈来愈大，一个明显的原因是在20世纪60 年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人 口。由此可见，该模型的缺点之一是Nm不易确定。事实上， 随着一个国家经济的腾飞，它所拥有的食物就越丰富，Nm的 值也就越大;
(5)逻辑模型来预测世界未来人口总数。某生物学家估 计，r=0.029，又当人口总数为3.06×109时，人口每年以2% 的速率增长。由逻辑模型得= 即 0.02=0.029(1-) 从而得 Nm=9.86× 即世界人口总数极限值近100亿。

（二）动力学模型 动力学是微分方程最早期的源泉之一。动力学的基本定 律是牛顿第二定律 f=ma 这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式。

例3 物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气 阻力的作用。设跳伞运动员质量为m，降落伞所受空气阻力 与速度成正比。求降落伞下降速度v=v(t)的变化规律。

解:设空气阻力系数为k。又设在时刻t物体的下落速度 为v，于是在时刻t物体所受的力为 f=mg-kv 从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程 分离变量后得 积分得 即 解出v得 当t→+∞时，有（1） 据测定，k=αρs，其中α为与物体形状有关的常数;ρ 为介质密度;
s为物体在地面上的投影面积。人们正是根据 公式(1)，来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的。

落地速度v1、m、α与ρ一定时，可求出s来。只要跳伞者在 空中有足够长的停留时间，他到达地面时的速度近似地等于 常速，而且不会超过，所以跳伞者才能安全降落地面。而自 由落体则是按照加速度g落到地面的。

（三）流体混合数学模型 我们在生产和实验中常常遇到如下问题:容器内装有 含物质A的流体。设时刻时，流体体积为，物体A的质量为 (浓 度已知)。今以速度 (单位时间的流量)放出流体，而同时又 以速度注入浓度为的流体。试求时刻t时容器内物质A的质量 及流体的浓度。这类问题称为流体混合问题，必须用微分方 程来解决。

首先，我们用微元法列出方程。设在时刻t，容器内物 质A的质量为x=x(t)，浓度为。经 过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx。于是，有 关系式 因为 代入上式得 或 （2）这是一个线性方程。求物体A在t时刻的质量问题就归结 为求方程(2)满足初始条件x(0)= 的解的问题。

三、结语 以上所给出的生态学，经济学以及物理学等方面的模型 是高等数学中有关导数和微分方程及其求解的具体应用，这 些实例不仅能够消除学生“学习高等数学不能解决实际问题， 毫无用处”的惯有想法，提高学生学习高等数学的主观能动 性，还有助于激发学生用所学的知识解决实际问题的兴趣， 从而达到良好的课堂教学效果。

参考文献：
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