浅析凯尼曼心理学对概率教学的效果分析:心理学概论

浅析凯尼曼心理学对概率教学的效果分析

在一个有50个学生的班级，美国斯坦福大学商学院的数 学教授库珀和他的学生打赌：“我用5美元打赌，你们中至 少有两个人同月同日生。有人敢跟我赌吗？” “我赌！”几个男学生举起手来，另外七八个学生也掏 出5美元扔在桌子上。有的学生暗想：一年365天，我们班只 有50个同学，同一天生日的可能性也太小了，库珀这不是白 送钱吗？ 结果怎么样呢？当然是教授赢了。教授用数学方法计算 出50个人中没有两个人同一天生日的概率只有3%，而至少有 两个人同一天生日的概率就有97%，也就是说，教授赢的把 握足足有九成以上。

凯尼曼教授最重要的成果是关于不确定情形下，人类如 何作决策的研究，他证明了人类的决策行为如何系统性地偏 离标准经济理论所预测的结果。那么凯尼曼心理学对概率教 学到底有哪些影响呢？ 一、代表性启发的偏差事实上，人们总是不自觉地根据已有经验和规律，为各 类事物塑造了它们各自的原型。该原型具有本群体的最典型 特征和最大代表性，做决策时，人们往往是将事物与各个原 型相对照，一旦对照匹配相似，就将其归入该原型所代表的 范畴。由代表性启发法造成的认知偏差基本就表现在以下几 个方面：对基率或者先验概率敏感性低；
结合效应和小数法 则。

凯尼曼教授论证了在不确定情形下，人们在对事物的判 断上出现的一个基本偏差就是，人们应用小数法则，把从小 样本和大样本中得到的经验平均值赋予相同的概率分布，因 此违反了概率论中的大数法则。

经常可以看到学生有以下的错误：在掷硬币活动中，如 果前面7次得到的结果都是正面，那么第8次的结果会如何？ 许多学生会认为结果更可能是反面。这种认识上的偏差就是 应用了小数法则简单地认为：8次试验中应该是4次正面和4 次反面，现在已经知道前7次是正面，那么第8次出现反面的 可能性就大了。其实大数法则是指在随机试验中，每次出现 的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎 总是接近于某个确定的值。其原因是，在大量的观察试验中， 个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而 使现象的必然规律性显示出来。大数法则中强调试验次数的 大量性，在很少的几次试验中，规律不一定显现出来，也就 是说，8次掷硬币试验中结果未必是4次正面和4次反面。在教学过程中，教师有时也会不经意用到应用小数法则。

例如，为了向学生解释“游戏的公平性”，在课堂上组织了 摸球的游戏（学生在装有4个白球、4个黄球的袋子里重复摸 球30次）。10组学生汇报的白、黄球摸到的结果分别是：（15， 15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、 （16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15， 15）（数据中的前一个数是白球被摸到的次数，后一个数是 黄球被摸到的次数）。在最后总结结论时，教师却只将其中 的三组（15，15）的数据写在了黑板上，并向学生提出问题：
“通过这个游戏，你们发现了什么？”有的学生说：“白球 和黄球被摸到的次数是相等的。”教师很快地说：“通过游 戏得到的结果可以说明这个游戏是公平的。”教师对其他小 组的实验结果再没有继续讲解、说明。其实我们应该知道：
在这个试验中，重复摸球30次球，未必一定是15次白球和15 次黄球，这个实验结果发生的可能性是很小的。

小数法则也使得人们易于从一个短序列（小样本）中过 分地推断潜在的大样本的概率分布。我们都有过这样的经 验：如果一个人能连续几次预测正确，那么我们就会相信他 的判断力，并且认为他下次的预测一定是正确的。

在实际教学过程中，一位三年级教师在讲解“可能性” 一课时，把学生分成4人一组，每组有3个黄球和1个红球， 每次摸一个球，摸10次，请学生先进行猜测。学生的猜测结 果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六种。操作结果情况如下：（8，2）、（7， 3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、 （5，5）。在课堂实验结束后，教师提出问题：“谁的猜测 是对的呢？”显然，有两组实际的结果是（5，5）。在实际 数据面前，教师不得不承认（5，5）的估计也是很准的。事 实上，教学中所用的实验方法“每人做10次、20次，小组不 过百次，全班不过千次”，根据大数定律，试验的次数太小， 不一定能说明问题，有时反而把学生弄糊涂了。

教学启示：小学数学应该在一定的情况下渗透大数法则 的思想。课堂上每组摸球30次，10个人合起来也不过300次， 太少了。这时可以用计算机软件解决这样的问题：“要抛多 少次才能判断硬币正面朝上接近1/2？”也可以通过数学史 上一些著名数学家的掷硬币的试验结果，说明重复实验次数 越多，正面、反面的可能性就会趋向相等。

二、可得性启发的偏差 当人们遇到未知事物没有经验可循的时候，通常会根据 该事物可想象的难易程度来判定它的发生概率。例如，从一 个21人组成的样本中抽取2人组织评委会和从一个同样大的 样本中抽取19人组织评委会，问这两种情况的组织方式各有 多少种？这个问题让两组被试成员对上述两种情况进行直 觉判断，他们都认为：第一种情况的结果要远大于第二种情 况的结果。而实际上，由任意两人组成的一个评委会的同时， 样本中余下的19人也就相应地形成一个组织，所以这两种情况下的答案应是相同的。而之所以会有这样大的偏差，就是 因为两人的组成情况更容易在我们的想象中进行。

教学启示：学生经常会依靠直觉来解决一些看起来很简 单的问题，这是人的正常心理。教师对于看似简单的概率问 题，都存有如此“可怕”的错误，况且尚在成长过程中的学 生。当学生被告知他们的答案是不正确时，他们的头脑里一 定会出现困惑与疑问，此时教师的工作就是让学生经历复杂 的数学思考，经历思维和智力的历险，使他们对数学本质的 理解更准确、更深入。

三、锚定启发式的偏差 这种效应是凯尼曼和特维斯基早期在进行关于启发式 思维和认知偏差的研究中发现的。在他们的研究过程中，先 让接受测试者启动未来之轮（一种上面有很多数字的转盘， 这些数字是随机的），并看着转盘上的数字，然后估计另外 一个事件（比如，加入联合国的非洲国家）的数量。凯尼曼 和特维斯基对结果分析后发现，面对着有较小数字的转盘， 受试者估计了一个较小的数量，而面对具有较大数字的转盘， 受试者估计了一个较大的数量。

“锚定启发式”是我们在作决策和判断时经常采用的一 种方法，即先把自己“锚定”在某个事物上，然后再根据事 物的特性进行判断。

例如，掷一枚质地均匀的硬币，随着掷硬币次数的增加， 出现正面的次数和出现反面的次数恰好相等的概率又是怎样的呢？我们认为随着掷硬币次数的增加，这个概率是增加 的，因为这个事件发生的概率“锚定”在“掷硬币次数越多， 正反面出现的可能性都趋于二分之一”上。但实际结果却与 学生的判断相反，掷硬币2次时出现正反两面各1次的概率是 50%，掷6次硬币时出现正反两面各3次的概率是31.26%，而 掷10次硬币时出现正反两面各5次的概率是24.62%，当掷100 次硬币时出现正反两面各50次的概率却只有大约8%。

教学启示：人们倾向于根据留在大脑里的最新信息片断 对事物做出决定，而不取决于这个信息是否与事件相关。但 我们不能根据这些来武断做决定，而要根据事实做分析。这 种根据数学方法分析解决实际问题的能力是学生走上社会 面对工作所必需的。学生学习概率的目的之一就是意识到概 率和确定性数学一样，是科学的方法，能够有效地解决现实 世界中的众多问题，从而逐渐树立起新的信念。

总之，概率与确定性数学有许多不同之处，广大教师必 须掌握、弄懂有关概率的知识。同时，教师还必须了解相关 的心理学知识，如凯尼曼心理学，这样才能更好地开展概率 内容的教学与研究，同时让学习概率的心理体验与理性思考 成为解决不确定问题的有力武器。