理解测量本质,渗透数学思想:怎么渗透数学思想

理解测量本质 渗透数学思想

借助度量工具度量物体、线段的长度，角的度数，时间 的长短、物体的轻重，是测量，但这仅仅是物理测量；
探究 图形的周长、面积、体积公式并进行相关计算，表面上看起 来是计算，其数学本质还是测量，且是数学测量。对物体进 行物理测量是一种技术、一种技能。但是，数学的本质不是 技能而是思想，数学学习的本质是创新而不是模仿。所以我 们认为，数学测量技能不应该被看作是一种机械操作的程序。

数学测量技能如果与数学思考分离，纯粹的操作程序只能是 没有“灵魂”的操作守则，脱离数学基础知识、基本思想、 基本经验的学生便成了只会执行操作指令的没有思想的机 器人、操作工。我们必须在数学测量教学中积极渗透数学思 想，提高学生的数学核心素养。

所以，我们应该让学生掌握技能的数学本质，引领学生 从更高层面上理解测量技能，把技能的训练同知识的理解、 运用，同数学思想的渗透结合起来。学生理解了技能的“理”， 才能理解技能的“法”，进而能掌握技能，熟练技能，甚至技能创新。

一、区分测量属性，渗透数形结合思想 用尺子去测量一条线段的长短是物理行为，而用恰当的 数量（含式子）去表示一个几何图形，则是数学行为。数形 结合是基本的数学思想之一。

“数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学。” 数与形是对立统一的两个方面。几何所研究的是生活的空间， 因而我们对于一些几何图形的基本性质，具有丰富感性、直 观的认识，对于长方形、正方形的周长、面积公式等是可以 看到的。而代数所讨论的各种公式，高度抽象、概括、简洁；

几何问题借助于数或式的表示，可以使几何直觉等转化为逻 辑推理的代数运算，从而实现化难为易的目的，并使人获得 对问题的精确化认识。数是形的抽象概括，形是数的直观体 现。数形结合就成为数学领域的一种基本思想方法。

正因为人们对自身生活环境当中的一些几何空间有丰 富的感性认识，有些甚至是不言自明的，所以，小学数学教 材中对最基本的概念“长度”没有下定义，只是在二年级教 材中只是介绍了厘米、米、分米和毫米等长度单位。我们拿 尺子去测量一条线段的长度，其数学本质是给每一条线段以合适的数。在这样的视角下，角度、面积、体积的数学测量 意义是一致的，以数释形。

对于最基本的图形——点，也可以用数来表示。对于一 维空间图形直线（数轴）上每一个点都对应着一个数，对于 二维空间上的点可以用数对来表示，对于三维空间上的点， 可以用数组来表示。

对于长方形、正方形、圆形的周长与面积，则用代数式 来表示。正方形、长方形的周长与面积公式是直观可感的， 有时依靠我们丰富的、感性的、直观的认识便可以看到；
而 圆的面积、周长，圆柱的表面积、体积以及圆锥的体积公式， 它们在本质上是逐步归纳、复合，通过构造而获得的，其直 观性要弱得多。这样，数量关系获得几何解释，可以使问题 变得更直观易懂，使人们易于洞察问题的本质；
几何问题的 代数表示，可以使几何直觉、合情推理等转化为程序操作的 代数运算，实现化难为易的目的，使人们获得对问题精确化、 概括性的理解。

而对图形周长、面积、体积的测量，最终转化为对线段 的测量（边长、长、宽、高、半径、直径等）。这样，会使 人们进一步认识数学的本质，知道数学是研究数量关系和空 间关系的一门学科。二、理解测量本质，渗透重合思想 在教学“常见的量”测量时，如测量长度、角度、时间、 质量等，不少一线教师通常是先让学生建立测量单位的概念， 选择测量工具。在教学具体测量方法时，常常采用自学教材、 教师示范或课件演示的方式教给学生操作程序，但是没有数 学思考相随的技能学习只能是记忆和模仿。记忆和模仿对于 技能的学习和形成是有用的，它能让学生把各个局部动作连 贯起来、固定下来，通过一定量的练习使测量技能熟练，进 而达到自动化的程度。这种技能往往是一种外显的操作技能， 它是为了完成教学任务，主要借助测量工具，通过外部肌体 的操作而完成的技能，是一种由各个局部动作按照一定程序 连贯而成的外部操作活动方式。但是如果仅仅定位于技能的 操作性，而不能让学生理解技能的数学的本质，这样对技能 的训练也多基本停留在模仿层次，降低了训练中理解的作用。

应知：数学的本质是思想而不是技能，学习的本质是创造而 不是模仿。

下面以量角教学为例。一位老师教学量角时，先让学生 看书了解量角的步骤，接着又示范怎样量角，最后让学生进 行量角练习及变式练习（变换角开口的大小及朝向）。学生 经过一段时间练习后，“掌握”了量角方法。然而在做一道判断量角方法正确与否的习题时，绝大多数学生对量角器零 刻度线不与角的一边重合时即判错。

根据教材所教的量角方法，学生对第一小题判错似乎理 由充足。第一题量角方法真的错吗？在学生对该题判错后， 笔者让执教老师把练习中第一题角的两条射线延伸，再把量 角器与图中量角器重叠，投影给学生看，让学生重新判断。

学生很快算出第1小题角的大小是90°-30°=60°或者 150°-90°=60°。旋转量角器，只要量角器中心和角的顶 点重合，完全覆盖在角上（如下图），学生还是能说出如何 测算所量角的大小的方法：同一圈的两个刻度相减。

学生开始时为什么会错？显然学生是把题中量角方法 与机械记忆中教师介绍的量角程序进行对照，凡不合程序即 判断错，缺乏自己的独立思考，缺少对量角本质的认识。

图形测量最本质的数学思想是重合，即看图形中包含有 多少个度量单位。测量与是否从测量工具0刻度线开始无关， 只要能测算出图形与多少个度量单位的量重合，测量结果就 是多少个单位。用量角器量角就是测量所量角中含有多少个 1°的角。所以无论是“常见的量”教学，还是几何图形的 教学中，都应让学生明白其中的道理，从而渗透重合的数学 思想。待学生明白测量道理后，量角的方法不再拘泥于书上所 说的方法，甚至有学生说“把量角器中心对齐角的顶点后， 角的一边和量角器180°的边重合，也可以量出角的大小”。

书上强调角的一边和零刻度线对齐，只是为了测量方便，可 以直接读数罢了。

学生理解了测量技能的实质，透过现象看到测量技能的 本质，就能调动相关知识和经验界定问题的本质，进行调控 或转变，从而实现技能创新。

三、沟通内在联系，理解测量方法的一致性 学生掌握的数学知识有好坏之分。如果学生所掌握的知 识是松散的、不连贯的，就是坏的知识；
如果学生学的知识 是有结构的、适度开放的，就会成为学习新知的载体，是好 的知识。测量技能同样如此。沟通不同测量技能的内在联系， 不仅有利于学生理解测量技能的具体操作方法，而且有利于 其在新的环境中迁移已有的测量技能。

学习量角技能时，让学生对学过的测量进行一次梳理。

学生结合练习回顾以前测量线段长度、计算经过时间、测量 物体质量等方法，比较它们的异同，发现测量角的度数与测量线段长度等在方法上有相同之处：测量长度、角的度数（计 算经过时间、测量物体质量），都是用测量工具测得的终点 刻度减去起点刻度。测量起点既可以与测量工具0刻度线对 齐，也可以不与0刻度线对齐；
计算方法都是用终点刻度减 去起点刻度（或相反），都是计算含有多少个测量单位的量；

不同之处是测量线段长度的直尺，只有一排刻度，首尾两个 刻度直接相减即可；
而量角器有两圈刻度，是为了方便改变 量角器朝向，以便测量不同开口方向的角，只是测量时需用 同一圈的两个刻度相减而已。

旅美数学教育家马立平教授在《钟摆与太极》的学术讲 座中介绍，小学数学中的模型分为三类：行为模型、算术式 模型、代数式模型。我们有意识引导学生把用测量工具的同 一排（圈）刻度对齐被测图形的起点、终点，用终点刻度减 去起点刻度求出多少个计量单位的量看成一种数学操作模 型。它能沟通起长度测量、时间测量、角的大小测量、质量 测量之间的联系，把不同量的测量方法归结为一个有联系的 结构体，亦即技能组块。

测量技能组块（包括知识组块），沟通测量技能内在关 联，有利于学生理解技能、熟练技能，形成测量经验。这样 的知识、技能在使用时会被迅速提取，而且占用的智力资源少，掌握的方法有力度，更有利于其把掌握的知识形成的技 能，积累的经验向陌生情境迁移，培养学生的创新意识和实 践能力。

比如，在学生掌握测量本质之后，在学习体积时，学生 就能很快把上述方法迁移到测量物体的体积上去。测量土豆 等不规则物体体积时，就有学生提出借助量杯和水，把土豆 投入盛有水的量杯中，看液面上升多少，从而算出土豆的体 积，其测量方法在本质上是与测量线段长短、角的大小前后 一致的。

四、推导形体计算公式，感悟化归极限思想 人们面对新的数学问题时，有时不能应用已有知识、技 能直接解决，往往把待解决的问题通过某种转化，归结到一 类已经能够解决或者比较容易解决的问题中去，借此获得问 题的解决。这就是大家所熟知的化归的思想方法。

例如，当学生掌握长方形和正方形面积计算公式、积累 了面积计算经验后，在推导平行四边形、三角形、梯形、圆 的面积公式时，教材一般先安排数格法，让学生在数格子的 过程中去直观感悟、发现、猜测，然后引导学生用割补等方 法把上述图形转化成长方形、平行四边形，再比较原来的图形与转化后图形之间的关系，从而推导出新的图形的面积公 式。探究圆柱体体积公式时，充分利用学生探究圆的面积公 式的经验，把圆柱体转化成长方体来推导出圆柱体的体积公 式；
研究平面图形面积和立体图形体积的计算公式时，教材 给学生留出较大的探索空间，期望学生能够自主地通过多种 途径进行探索，亲历过程，得出结论。通过剪割、平移、旋 转、拼补等方法，进行图形间的相互转化，沟通图形间的内 在联系，形成知识体系，不断渗透化归的数学思想，提升学 生解决问题的能力。

在学生探究圆的周长、面积公式，圆柱体的体积公式时， 我们除了应该渗透化归思想，还可以渗透极限思想。

圆是小学阶段平面图形中唯一的一个曲线图形，对它的 周长、面积计算公式的探索都具有一定的挑战性。教学“圆 的面积公式推导”时，把准备好的圆形纸片分成若干份相同 的扇形。如果把圆平均分成8份、16份、32份、64份，拼出 的图形的边越来越直，图形越来越接近长方形。把拼成的图 形加以比较，使学生直观地看到等分成的扇形的份数越多， 拼成的图形就越接近长方形。如果继续等分下去，拼成的图 形就与长方形没什么差异了。这样，再引导学生观察、比较 拼成的长方形与原来圆的关系，推导出圆的面积公式。在此 过程中，使得学生初步接触量变到质变、有限到无限的辩证思想，培养了学生的空间想象能力，发展了学生的空间观念。

同样，在推导圆柱体体积公式时，把圆柱的底面平均分成的 份数越多，拼成的物体就越接近长方体。再比较拼成的长方 体和原来圆柱体的关系，从而推导出圆柱体的体积公式。

在对圆的面积公式、圆柱体的体积公式的推导过程中， 从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是 “无限”的过程，想象图形就真的变成了长方形、长方体。

学生经历了从有限到无限的过程，感悟了极限的思想。学生 在探究圆的面积公式、圆柱体积公式过程中反复运用这种办 法，实际上也就是在反复感悟数学思想。

在这些公式的推导过程中，采用了化曲为直、化圆为 方、由近似到精确的极限分割、逐步逼近的思路，根据图形 分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果，不仅使学生掌 握了计算公式，重要的是在不断地学习中促进极限思想潜移 默化地形成。

在几何图形测量教学过程中，渗透从有限到无限的微积 分数学思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是数 学抽象的基本思想的一个体现。现在的小学数学教学内容中 包含极限思想的素材很多，如循环小数无限循环，数轴、角 的边、平行线无限延伸等等。在图形测量中，有一些曲面图 形测量的计算公式是不能通过演绎推理的方法来解决的，而 是借助对直观材料的操作，运用无限逼近的思想，发挥学生的空间想象，通过合情推理，去探索，从而获得重要的数学 结论。

五、测量周长面体，渗透建模思想 模型思想是最基本、最重要的数学思想之一，也是《全 日制义务教育数学课程标准》（2011年版）指出的三大数学 思想之一，十大核心概念之一，成为义务教育阶段数学课程 最应培养的核心素养。新课标指出，模型思想的建立是学生 体会和理解数学与外部世界的基本途径，建立和求解模型的 过程将有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣 和应用意识。

模型思想与符号化思想都是经过抽象后，用符号和图表 示数学关系和空间形式。但模型思想更加重视如何经过分析、 抽象，建立模型，更加重视如何应用数学模型解决问题。小 学数学建模学习有两种情况：一是新授课以例题为代表的基 本模型的学习，二是利用基本模型解决丰富多彩的习题。推 导平面图形周长、面积、立体图形的表面积、体积公式的过 程中充满着模型思想。小学生推导各种图形计算公式的过程 就是建立数学模型的过程，同时也是一种数学再“发现”和 再“创造”的过程。

数学测量技能不仅包括测量长度、角度等外显的操作技 能，还包括测算周长、面积、体积等内蕴的心智技能。因此， 我们不仅要测量长度、角度等常见的量，在教学“图形与几 何”时，还要教学生测算平面图形和一般物体的周长、面积，立体图形的表面积、体积、容积等。所以，测量不仅为数量 与空间形式之间的联系架构起一座桥梁，同时，测量的实施 过程和结果的表述也为应用其他重要数学概念提供了联系 和机会，如分数、几何图形特征等。

学生在测量图形的周长、面积、体积、容积时，不仅要 体会、建立长度、面积、体积的单位的概念，形成直观丰富 的表象，而且能探索长方形、正方形的周长，长方形、正方 形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积，长方体、正方 形、圆柱体的表面积及体积公式，圆锥的体积公式，经历公 式的推导过程，让学生在建模过程中学会分析、学会推导、 学会验证和应用。

比如，在教学《平行四边形的面积》时，先让学生尝试 求一个底4厘米、高2厘米的平行四边形的面积。学生通过剪、 移、拼的方法把它转化成长方形求出平行四边形的面积，教 师再抛出更多的平行四边形，让学生求出面积（现实问题引 入）并思考，求平行四边形需要知道什么条件（数学化）？ 有什么规律（建立数学模型）？为什么这样就可以求平行四 边形的面积（释模）？再进一步去计算图形、土地的面积（验 证、应用模型）。在此过程中，学生经历现实问题导入、建 立数学模型，解释数学模型，运用模型解决现实问题并进一 步验证模型的建模过程。

经历周长、面积、体积公式推导并运用的过程中，主要 依靠大脑内部语言，建立图形表象，并对图形表象进行加工，建立模型。在计算过程中甚至可以简化、省略、跳过某些心 智动作，此时的测量技能已经是一种测量的智慧技能，它有 利于学生在数学学习过程中形成数学智慧。

测量图形长度、周长、面积、体积的技能本质上是运用 已经掌握的数学知识、概念等来理解并解决问题的心智动作 经验。它是以数学知识为载体，并在数学知识学习和应用过 程中，通过实际操作获得的动作经验而形成的，并对数学知 识学习产生反作用。数学技能的形成运用，甚至于进行技能 “创新”，可以看成学生掌握数学知识的一个标志。

数学测量技能只有和数学知识、数学思想融合在一起， 才能更好地发挥其教育作用，才能提高学生的数学素养。

参考文献：
[1] 张奠宙.深入浅出 平易近人——怎样测量长度、面 积和体积[J].小学教学（数学版），2014（9）. [2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京 师范大学出版社，2006，2. [3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 （2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社， 2012，1.新课程研究·基础教育