在探究和思考中积累数学基本活动经验:二年级数学小知识

在探究和思考中积累数学基本活动经验

《圆锥的体积》是教科书六年级下册的内容，在本课教 学之前，学生已经掌握了圆锥的特征以及圆柱体积的计算方 法。因此，依据教材内容和学生认知现状，执教者试图通过 猜想、验证等数学活动过程，让学生发现等底等高的圆柱与 圆锥之间的关系，最终推导出圆锥的体积公式。

【案例】两次教学过程的对比与分析 在教学展开前，我校同年级的两位教师均设计了前置性 学习任务，引导学生先学，具体内容如下：
在此基础上，两位教师都沿着“猜想—验证”的主线展 开数学活动，但因验证过程的不同，收到了迥异的教学效果。

【A教师课堂教学片段回放】（一）交流课前猜想情况 师拿着学生的学具（等底等高的圆柱和圆锥）问：在做 实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的 几分之几？ 生1：我认为是1/2。

生2：我认为是1/3。

（二）交流课前验证情况 师：在前置作业中，老师要求“在圆锥形的容器中装满 水，再倒入圆柱形的容器中”，通过倒水实验你有什么发现 呢？ 生1：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容 器中倒了3次正好倒满。

师：（满意地点点头）是的。

生2：我在圆锥形容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的。

师：（略皱眉头）你在操作的时候肯定没有很注意，所 以有了些小误差，应该是倒3次正好倒满。

师：还有谁要说说自己的发现？ 全班沉默不语。

（三）归纳结论：
师：通过课前实验，你现在认为圆锥的体积是与它等底 等高的圆柱体积的几分之几？（大部分同学认为是1/3，也 有同学认为是1/4，师相机板书：圆锥的体积是与它等底等 高圆柱体积的1/3）。

教学效果分析：以上教学片段中，在归纳结论时，大部 分学生“认为圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。

得出这样的结论，也许有些学生对于两者的关系已经有了清 晰的认知，但也不排除一部分学生是被概念化地告知以及对 于强势的认同。除此以外，一部分同学由于受操作实际结果 的影响，认为“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体的1/4”。

综观A教师的教学，因为课前布置了前置任务，所以课堂上仅仅是对前置作业的交流，走了一个形式化的过程，并没有 具体关注到学生已有的操作实际，更没有体现验证过程的科 学性，学生这样的行为操作是低层次的，他们很难从这样的 行为操作过程中真正领悟知识的本质。

【B教师的课堂教学片段回放】 （一）感知“等底等高” 谈话：请同学们比一比课前准备的圆柱和圆锥，它们之 间等底等高吗？你是怎么比的？请一位学生拿着学具上台 展示比的过程。

明确：像这样底和高分别相等的圆柱和圆锥，我们叫做 等底等高。

（二）实验明理 1﹒第一次验证 （1）师：课前，在做实验之前，你猜想圆锥的体积是 与它等底等高的圆柱体积的几分之几？生1：我认为是1/3。

生2：我认为是1/2。

（2）师：课前，同学们在“圆锥形的容器中装满水， 再倒入圆柱形的容器中”，在做倒水实验时你觉得要注意什 么？ 生1：装水要装满，要装到和圆锥的边口齐。

生2：倒水的时候要小心，不能泼洒。

师进一步明确了操作要点。

师：通过倒水实验你有什么发现呢？ 生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

生2：我发现圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

生3：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容 器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的，圆柱的体积 好像是圆锥体积的4倍。（3）师：请每位同学拿出等底等高的圆柱和圆锥，根 据刚才倒水实验的注意要点，再进行倒水小实验。

（4）师：通过现在的倒水实验，你有什么发现呢？（问 刚才的生3） 生3：昨天我做倒水实验的时候不够细致，现在我按照 老师说的注意点再做倒水实验，也觉得圆柱的体积应该是圆 锥体积的3倍。

2﹒第二次验证 （1）师拿出准备的相对较大的等底等高的圆柱与圆锥 的教具，让学生上台比一比，感受圆柱圆锥是否等底等高。

（2）师：你猜想老师准备的这个圆锥的体积是与它等 底等高的圆柱体积的几分之几？（学生在下面纷纷回答说是 1/3） （3）请一位学生上台做倒水实验，让全班学生看到操 作结果“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。3﹒第三次验证 （1）师（拿出学生第一次验证用的圆柱和第二次验证 用的圆锥）：它们等底等高吗？（学生齐说“不”） （2）师：圆锥的体积是圆柱体积的1/3吗？（学生齐说 “不是”） （3）归纳结论：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积 的1/3。

教学效果分析：以上教学片段中，学生在课前进行倒水 实验的过程中，也出现了“在圆锥形容器中装满水，往圆柱 形容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的”现象。

但B老师教学时不仅不回避学生实际操作时暴露出的问题， 还特别放大了有些学生的错误，目的就是让全班同学都体会 到行为操作的精准会影响到最后的结论。另外，老师舍得花 时间让学生经历三次层层递进的验证活动过程，通过行为操 作、数学思维，学生真正在探索与交流中理解“圆锥的体积 是与它等底等高圆柱体积的1/3”。在这样的数学活动中， 学生行为操作的技能是提升的，认知是清晰的，理解是深刻 的。【延伸思考】数学基本活动经验获得的基本路径 王林先生在《我国目前数学活动经验研究综述》一文中 指出：“数学基本活动经验是学生个体在经历数学活动的基 础上获得的经验，是学生经历数学活动的过程与结果的有机 统一体，既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经 历数学活动获得经验的过程。”因此，数学活动的开展是否 有效、充分，直接影响活动经验积累的质量。

第一，数学活动经验的获得，应让学生的行为操作由粗 略走向精细。

本数学活动环节的设计，依据教材内容和学生的学习基 础，让学生经历从“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积 的1/2或者1/3”这一猜想到验证的过程。但学生常常受到认 知水平和操作能力的限制，如果他们在没有教师指导的前提 下开展操作活动，很可能会因操作过程的粗糙，导致操作结 果不够精确，影响数学结论的正确性。在A教师课堂的师生 交流中可以看到，学生在课前做倒水实验时，之所以对于归 纳出的“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”的结 论不信服，是因为在装水、倒水的过程中没有注意操作要点。

而B教师就关注到了这个细节。由此可见，操作过程中教师 应该帮助学生纠正“大概、也许、差不多”这样的粗略操作行为，让学生获得不同活动阶段的经验内容，促使他们从“经 历”走向“经验”。

第二，数学活动经验的积累，应让学生的理解由浅表走 向深刻。

（杨颖芳，无锡市前洲中心小学，214000）