思维惯性 解题教学强化方向性分析避免惯性思维

解题教学强化方向性分析避免惯性思维

一、现象：学生解题的“惯性”思维严重 数学教学离不开解题，解题水平体现了学生的综合能力， 尤其体现了学生的思维能力。然而在日常教学中，我们发现， 不少学生解题的“惯性”思维很严重，题目一拿到手，就能 做，但是由于种种原因，往往又不能做到底。为什么会产生 这种“惯性”思维的现象呢？笔者觉得主要有以下两方面的 原因：
第一，解题训练密度大。目前高考试卷的题量偏大，导 致平时的练习、检测卷容量也偏高，主要训练学生的“熟能 生巧”，只要求学生找到一种方法并准确求解。因此学生审 题之后，要能快速反馈方法并求解。这样快速反馈的方法往 往是根据教师平时的总结归纳以及自身的解题经验得到的， “惯性”很强。所幸的是，在即将颁布新的普通高中数学课程标准的征求意见稿中，提到了这样的学业水平考试与高考 命题原则：“适度调整考试时间或题量，在不增加题量的前 提下适当延长考试时间，或在考试时间不变的前提下适当减 少题量，以给学生足够的思维时间；
逐步减少选择题、填空 题的题量……”这是一个非常正确的导向：给学生自主思考 的时间，有助于减少学生的“惯性”思维。

第二，解题教学缺少方向性分析。不可否认，我国中小 学数学教师的基本功是比较扎实的，解题教学水平也是较高 的，他们善于题型的归类、方法的总结。然而，有时只是解 题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现，很少分析“为什 么这样解”，很少研究“怎样让学生学会解”。换言之，他 们的解题教学往往是解题技法的研究，解题分析的观点并不 高，缺少思想性、策略性的研究。他们虽然多善于一题多解， 但是这里的“多解”有时是学生不同处理过程的梳理，是一 个大思路下的不同技法，缺少不同方向的寻找分析，缺少不 同方向的比较分析。这导致学生具体解题时，不能权衡不同 方向的解题思路，往往是“一条道走到黑”，也即“惯性” 思维。

二、对策：解题教学要强化方向性分析 作为中学一线教师，我们所能做的是，提高自身的解题 教学水平，把自己的“高观点”与学生的“初思维”相对接， 带领学生逐步深入地认识问题的本质，把握数学的思想方法，引领学生从不同的方向解决问题，权衡不同思路的利弊，以 使学生合理选择解题思路，避免麻木地“惯性”解题。下面 针对新的普通高中数学课程标准的征求意见稿提出的课程 结构的三条主线“函数”“几何与代数”“统计与概率”， 各选择一道题目，说明解题方向的分析，供读者教学中参考。

题1设函数f(x)=(x－3)ln x，是否存在整数λ，使得关 于x的不等式f(x)≤2λ有解？若存在，请求出λ的最小值；

若不存在，请说明理由。（参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3 ≈1.098 6） 对此，学生审题之后，容易得到处理方法1：先研究f(x) 的最小值，再由2λ大于等于这个最小值求出整数λ的最小 值。很显然，这是一个自然而朴素的想法，当然需要考虑。

但是，很多学生由于基本功不够扎实，而且缺少其他解题方 向的思考，以致“折腾”而败。那么，我们应该怎样开展解 题教学活动呢？ 首先，不应立即指导学生完善上述解法，因为一有想法 就做下去，容易造成学生“惯性”解题的习惯；
而应引导学 生分析、寻求其他解题思路，让学生学会方法利弊的权衡， 学会比较、选择方法。这道题有没有其他解题思路？可以引 导学生从问题切入，分析“求出整数λ的最小值”，从而得 到一个重要的解题策略，即“先猜后证”，于是得到处理方法2：先检验一些整数λ是否能使不等式f(x)≤2λ有解，初 步估计整数λ的最小值，然后证明比这个整数小1的整数λ 不能使不等式f(x)≤2λ有解。

其次，引导学生分析、比较这两个方法，找出这两个方 法的解题关键，从而思考：准备先用哪个方法解题？这个问 题，很少有教师考虑，但是其实非常有必要。考试的时间紧 张，学生不能在不同的解法之间徘徊；
平时学会方法的权衡 选择，有利于考试时迅速得到合理的解题思路。这里，对于 方法1，求出f′(x)=ln x+1－3/x之后，无法通过f′(x)=0 解出f(x)的极值点，因此最小值的控制是这个方法的难点；

对于方法2，容易发现当λ=0时不等式(x－3)ln x≤0有解x=3， 但是很难检验λ=－1是否 能使不等式f(x)≤2λ有解，因此0是不是整数λ的最小 值成为疑问。当然，根据各自不同的经验以及不同的直觉， 有些学生会认为方法1容易完成，而有些学生则会认为方法2 容易一点。教师要给出一点时间，让学生先试做一下。

最后，帮助学生突破这两个方法的难点。对于方法1， 易知f′(x)=ln x+1－3/x单调递增，由零点存在定理可知 f(x)存在唯一极小值点x0，即ln x0+1－3/x0=0。这时，需 要注意运用二分法缩小x0的范围，使得 fmin(x)=f(x0)=(x0-3)ln x0=(x0-3)(3/x0-1）=6－（x0+9、 x0）控制在一个较小的范围内，就容易求出整数λ的最小值了。对此，可以给时间让学生完成，强化基本功训练，然后 展示、解读个别学生的解答。对于方法2，当λ=－1时，容 易发现x∈(0,1］∪［3,+∞)时不等式(x－3)ln x>－2恒成 立。这时，如果能证明当x∈(1,3)时不等式(x－3)ln x>－2 也恒成立，就说明当λ≤－1时不等式f(x)≤2λ无解，从而 得到整数λ的最小值为0。那么，怎样证明当x∈(1,3)时不 等式(x－3)ln x>－2恒成立呢？若求f(x)=(x－3)ln x的最 小值来证明，则与方法1差异不大，可重新构造函数证明。

对此，同样可以给时间让学生完成，然后展示、点评。

题2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为________。

这是我市一次高三调研考试的填空题压轴题，得分率比 较低。究其原因，还是“惯性”思维的问题：学生看到题目 之后，自然而然地就考虑三角形的边角关系与面积的联系， 而不考虑其他解题方向；
但是，由于条件与问题的几何转化 关系比较复杂，导致部分学生束手无策，部分学生因运算基 本功不够而无法得到正确答案。可见，学生缺乏对解题策略 的思考，特殊化意识、解析意识非常淡薄。事实上，少数得 到正确答案的学生几乎都是用特殊化手段猜出答案或用解 析法完成解答的。因此，强化对解题策略的分析，加强运算 基本功训练，是此题教学的重点。首先回顾学生普遍运用的方法：先由余弦定理求cos C， 得sin C，再由面积公式S=1/2absin C求最大值。然后指出：
这一方法由于运算的基本功要求较高，而使很多同学未能完 成。接着引导：怎样进行合理的运算这个问题可以等会儿再 研究，作为填空题而言，我们能不能通过一定的手段先得出 一个结论？学生自然会想到特殊化的手段，先猜一猜答案。

这时指出：虽然这 是不严密的方法，但是它是数学发现的一个有效方法， 我们不应忽视它。由此，让学生先用特殊化的方法，看看能 不能迅速得出结论。

此后，可以提问：除此之外，我们还有没有别的解题思 路呢？不同的班级，学生的反应不一样，但是绝大多数学生 解析意识淡薄，感到茫然。这时，需要引导：这道题是一个 什么样的问题呢？可以说是最值问题，也可以说是三角问题、 几何问题，进而可以笼统地说是一个三角或几何的最值问题。

同学们先求cos C，得sin C，再由面积公式求最大值，它是 通过寻求三角形（几何图形）的边角关系研究三角形的面积。

这个方法的本质是什么？它虽然有较大的运算量，但是实际 上是边角关系的研究，是几何法。对这样的几何问题，我们 缺少了一个重要的解题方向，是什么呢？学生都会恍然大 悟：原来还可以用解析法完成这道题。

不能就此作罢，还要进一步分析：解析法的本质是运用 代数方法解决几何问题，建立坐标系、进行坐标运算是解决几何问题的一个重要的思想方法。事实上，任何一道几何题 都有两个解题方向，即几何法和解析法。当然，不是说每一 道几何题用解析法都简单。有些几何图形中有特殊的角度 （如60°、90°等）或特殊的长度关系，我们往往能想到解 析法，通常也好做；
有些几何题的建系痕迹则不太明显，建 系后也不太好做，但是我们平时解题时都应该试一试，强化 解析意识，加强解析法与几何法的比较。长久地积累经验， 到考试时，我们才能迅速地选择简便快捷的方法。如此分析 好像有点儿啰嗦，但是是必要的，能促进学生理解几何法与 解析法。学生解析意识淡薄的原因就是道理不清，因此必须 先促进理解，再加强演练，才能印象深刻。最后，可以让学 生实际演练上述几个方法，再帮助他们分析、比较。

题3一种抛掷硬币的游戏规则是：每抛掷一次，若正面 向上，得1分；
若反面向上，得2分。多次抛掷，分数累计。

（1）抛掷5次，求总得分ξ的分布列及数学期望；

（2）求得分为n的概率。

本题的第（1）小题，学生基本能完成。关键是第（2） 小题，学生千篇一律地先求得分n=1,2,3,…的概率，然后试 图归纳一般性结论，再给予证明，而别无他想；
但是由于本 题“得分为n的概率”非常难归纳，以致学生全军覆没。当 然，上述方法确实是一个重要的解题策略，即“先猜后证”， 但是所有学生都“惯性”地运用这种方法，也很不正常。实 际上，学生对本题的本质与所涉及的思想方法理解并不深刻，只是套用以前的解题模式而已，这是平时教学“驯化”的结 果。因此，本题的教学要让学生深化理解其本质与所涉及的 思想方法，从而把握好解题方向。

首先指出：本题的第（2）小题表面上是一个概率问题， 但是本质上是一个数列问题，因为把“得分为n的概率”记 为Pn后，它实际上就是要求数列{Pn}的通项公式。然后提 问：求数列的通项公式只能用“先猜后证”的方法吗？让学 生反思数列的学习，反思数列通项公式的求法。由此指出：
其实，我们忘记了求数列通项公式的另一个重要的解题方向， 即由数列的递推关系，结合数列的第一项或前几项，也能求 数列的通项公式。这里的递推关系就是数列相邻两项或几项 的一般性数量关系，通常是等式关系。因此，求数列的通项 公式有两个思路，即有时可以由前几项猜出数列的通项公式， 然后证明；
但有时数列的通项公式比较复杂、很难猜出（就 如本题），这时可以先研究数列的递推关系，然后求数列的 通项公式。让学生尝试寻找递推关系，解决本题。

实际上，学生已经得出该数列的前几项，如P1=1/2， P2=3/4等。给足时间让他们思考递推关系，并提醒他们注意 递推关系不一定只是相邻两项的关系，就会有不少学生得到 递推关系Pn=1/2Pn－1+1/2Pn－2(n≥3)。这时可以对其进行 解读，让所有学生通晓。然后可以带领学生研究这个递推关 系，强化基本功训练，最终求出该数列的通项公式，完成解 题。三、反思：解题教学要“慢下来” 解题教学是数学教学的重要组成部分。为了提高解题教 学的效果，笔者认为解题教学要适当慢一点。过快的解题教 学，无非是多讲了一些题目， 让学生多接触了一些题型，但是这样的解题教学弊端非 常明显：学生碰到熟悉的题型时，往往立即就能产生方法， 但是这只是条件反射，也即本文所讲的“惯性”解题，因此 不会变通，也容易陷入困境；
学生碰到陌生的题型时，问题 就更大了，往往不会分析、无从下手。而像高考这样的正规 考试，往往不仅有不少要变通的“常规题”，而且有不少“新 颖题”，因此，这样教学对于应试也是不利的。

让解题教学慢下来，其目的有三点：一是要透彻研究问 题的本质。比如题3，问题的本质明白了，是求数列的通项 公式，解题方向自然就明确了，要么归纳处理，要么研究递 推关系。二是要深入理解数学思想方法。思想方法具有普遍 性、迁移性，是不容易真正透彻理解的，需要反复提及、渗 透、认识、运用。比如题2，运用解析法解决就不容易想到， 就需要深化对“用代数方法解决几何问题”的理解。三是要 强化解题策略的分析，让学生学会寻找有益的解题策略，能 够优化解题。比如题1，要求整数λ的最小值，可以先找到 这个最小值，再证明，这就是合理的解题策略。

最后需要强调的是，让解题教学慢下来，寻找不同的解 题方向，不能简单地理解成一题多解，更不是追求技巧性方法的研究。比如题2，通过边角关系研究三角形的面积就是 几何法，不同的学生可能会有不同的处理过程，有些只是技 巧，我们不一定要去细化这些技巧，而只要有一种自然而然 的几何法就可以了。

*本文系江苏省中小学教学研究第十一期重点课题“基 于数学学习理论的高中数学教学设计研究”（编号：
2015JK11-Z061）的阶段性研究成果。

参考文献：
［1］ 崔志荣.提高“用代数方法研究几何问题”的教 学意识［J］.数学通讯，2016（8）.