聚焦学习起来凸现面的二维特征_

聚焦学习起来凸现面的二维特征

情感态度起点：在说说你对“面”和“面积”的认识时， 学生把与“面”和“面积”相关的知识经验都予以了暴露， 但仅有0.6%的学生摸了曲面，72.9%的学生摸了长方形的面， 说明“长方形的面”心理接纳性最强。

可以发现，有大部分学生认为周长属于表面的“外面” 一部分，面积属于表面的“里面”一部分，可见学生无法感 知到两者之间一维、二维的差异，并由此生成了周长和面积 混淆的根源。从抽象的一维到二维，对学生而言是一次认知 飞跃。如何让学生自发地感悟两维的差异，顺利地从一维走 到二维，就成了这一课教学需要解决的根本问题。

一、 “面”不离体，初悟“面”的二维性（一）摸各类面，感受“规则物体—不规则物体”的“面” 的共性 物体的表面是一个二维的图形，学生能直观地感觉到它 所占的区域具有一定的大小，能发现不同书面的大小之分， 会比较“黑板面比桌面大”。但是要回答什么是“面”的问 题，他们又无法应答，因为他们的认识是零散的、模糊的、 感性的，需要一个全面、体验、抽象的过程。

所以，课堂上教师还需准备含曲面的物体和不规则形物 体。先放手让学生摸课桌上的面，发现“面”有水平的平平 的，也有竖起来的平平的，有大也有小，就有利于突破“面” 的水平固像，然后再让学生感知曲面。在经历了这一系列的 摸面活动后，让学生用自己的话说说什么是“面”。

生：我觉得面就是物体的表面，物体最上面的一层，有 平的也有凹凹凸凸的。

生：我觉得面就像是物体最外面的衣服，像我们人的皮 肤。

生：有各种各样形状的面，“面”把物体裹起来了。生：面有大有小，有圆有方。

生：面是这样摸过去整块整块的。

生：面有长方形、正方形、圆形等各种各样的形状。

因为学生对“面”的认知通常经由对身边常见物体表面 的“摸一摸”形成，因此，要尽可能地提供丰富的直观材料 突破一些位置上、形状上的认知局限，避免产生“面是水平 的”“面是方形的”等片面认识，发现面共有的特征。

（二）蒙眼摸面，感受“横向到边—纵向到底”的面的 二维特征 在教师没有指导之前，学生摸面基本都是用手指点一点， 那么如何让学生自发地经由规范的摸面来表达自己指的是 “一个区域”的本意从而跨向二维？如果把学生的“直观感 觉”蒙起来，让学生主动要求“我想把面摸完整”，那么学 生就能更好地感知“体—面—线”的内在序列，感受面的二 维性。

师：认识它们吗？（师出示：生：长方体、正方体。

师：它们身上的面是什么形状，看清了？如果把你的眼 睛蒙起来，让你摸一个面，你能猜出摸的是哪个立体图形 吗？摸的次数要尽可能少哦。谁来试试？其余同学也有任务， 要看清记住他是怎么摸的，摸了几次。（学生一只手摸面） 生：（摸两次）我知道了，是长方体。

师：摸了两次，成功了。我们把他摸的痕迹表示出来。

还有不同的摸法吗？请这一桌同学上来，一个摸一个表示出 摸的痕迹。

师：刚才第一位同学是横着摸竖着摸，第二位 同学是横着摸了两次，我们仔细观察他们摸面的痕迹，虽然 摸法不同，但是他们都摸出长方形的什么？ 生：这样摸，摸出了长方形的长和宽。

生：横着摸两次，长摸出来了，宽第一次摸出一大半， 第二次摸出一小半，宽也摸出来了。

师：说得真有意思，第一次宽摸出了一大半，这个时候 确定了哪一部分面的大小？（淡色部分）第二次宽摸出了一小半，就确定了哪一部分的大小？（深色部分）两次摸的面 加起来，就确定了整个面的大小。

学生原本总是难以规范地摸出整个“二维”的面，常在 内部画了个圈就算摸完，这是因为他在视觉上已经看到了整 个面。现在蒙眼摸，学生为了感知的准确性就自发地从长、 宽二维去摸，主动地从一维走向了二维。教师再结合摸“面” 的过程帮助学生对长、宽进行度量刻画，初步感受面积的可 加性，对面的二维性形成更清晰的认识。

二、 贯通三维，体会“面”的二维性 目之所及一个物体，应该是先看见整个“体”再看见“面” 最后才是“线”，可是学生是先测量周长，再测量面积，最 后测量体积，因为一维、二维、三维，测量难度逐步递增。

认识“面”的大小，是从一维测量拓展到二维测量的飞跃， 可以借助学生的视觉经验，去贯通一维、二维、三维。

（一）体上摸出面，体上摹出面——从三维到二维 面不离体，面可以从体上抽象出来。学生感受这样一个 过程，既能体会到面与体之间的联系与区别，也有利于学生 更好地理解“面”有别于“体”的二维特征。师：你能不能想一个办法，让一个“面”走到我们的纸 上来呢？ （学生拓、印面，展示交流作品“圆形”“硬币拓印圆 面”“长方形”“三角形”“正方形”，分别猜猜说说这个 “面”来自什么物体） 师：“面”可以在物体的表面，也可以是这样的平面图 形。

（二）线围出面积，线没围出面积——从一维到二维 物体的表面在客观上都可以视作一个有周界的“封闭” 图形，所以在讲平面图形时要借助“封闭”让学生正确理解 面积的含义：面积是对一个二维图形的表面进行度量的结果， 如果“表面”无法确定，那么就无法度量，也就没有面积。

师：现在屏幕上有根线，长为30厘米。我用这根线围出 一些平面图形，它们有面积吗？请用黄色表示出它们的面积。

师：都认为第4个图形没有面积？你们是怎么想的？如 果我想涂呢？（拿笔在实物投影上涂）生：那就能一直涂下去了。

生：到底能涂多大的面积，根本不能确定，涂也涂不完。

生：只有封闭图形才有确定的大小，才能涂完。

师：好，那你们就在已经涂出面积的封闭图形上用红色 笔涂出周长，再分别摸一摸面积、指一指周长给同桌看。现 在你觉得周长、面积有什么不同？ 生：周长是一周的长度，面积是里面的大小。

生：周长在外面，面积在里面。

生：周长都是30厘米，面积大小各不相同。

师：周长是长度，是测量图形一周得到的具体长度，这 里是30厘米。而面积是整个面的大小。

课件直观展示：
突出周长是一维测量的结果，是测量封闭图形外面一周 得到的长度，纠正学生脑海中“周长是面的一部分”“周长是面的外面部分”的一维二维混淆的根源性偏差。而用一维 的线围成二维的面，在封闭图形中抽取出一维的周长和二维 的面积，都能加深学生对周长和面积的维度感悟，对两个概 念的本质会有更深的理解。

三、 度量成积，理解“面”的二维性 人教版教材添加了“面积守恒”的知识点，并不仅仅是 为了感知面积的大小“不变”，而是在“可加可减”的测量 中认识到面积的测量本质。而在“面积”概念的学习过程中， 感受面积与周长的度量差异也有助于凸显两个概念之间的 区别。

（一）借格子图测量，利用大小的“块状测量”感受面 的二维特征 在“认识面积”一课的教学中，对于面积大小的比较， 更多的只是直观视觉上的判断或是直接的比较，如果借用格 子图，既能为测量打下基础，也能让学生“一块一块”地数 出面积，即从二维的角度用简单的数据来表述面的大小，从 而进一步理解面积的含义。

师出示右图：师：周长都是30厘米，面积大小各不相同，它们的面积 会是多少呢？正方形的面积有多大？和几个格子一样大？ 你是怎么看出来的？能上来数一数吗？ 师：嗯，正方形的面积=9个格子的大小。那么，谁的面 积比9个格子的面积大？谁比9个格子的面积小？这两个图 形（师出示左图）也想和长方形比面积，谁的面积大呢？和 同桌说一说你是怎么想的。

一开始，课件上的正方形上并没有格子线，要知道它有 几个格子那么大，对一部分学生来说是有挑战的。因此在一 部分学生表达自己的观点后，随即出现格子线进行辅助，使 全部学生都能看出两个图形的大小。学生计数表述的过程， 就是一个简单的测量过程。而面积相同、形状不同的图形的 比较，则是让学生在计数测量的同时，感受面积作为二维测 量的结果是可加可减的，可以“块状”地分割累计。

（二）借钉子板拉伸，利用矩形的“二维扩张”理解面 的变化要素 学生后续要学习的平面图形的面积计算，都会比较明显 地涉及面积的二维特性，那么在初始学习阶段就可以借助直观图像让学生对面积“变化”有更清晰的认识，同时对面积 变化的二维特性有更深的理解。

师：现在老师在钉子板上围出这样的一个长方形（出示 3×2的长方形），这个长方形的面积有多少个格子这么大？ 师：现在要使这个长方形的面积变大，你有哪些方法？ （作品反馈） 生：可以把橡皮筋往右拉，面积就大了。

师：往右拉，长方形的什么变长了？ 生：长方形的长从3格变成4格了，变长了，往左拉也可 以。

师：这时增加的面是哪一部分？什么形状？有多大？（ ）请同学上来指一指。

生：增加的部分是一个长是1，宽还是2的长方形。

师：非常好。下一个同学能不能也这样来说说你是怎么 做的，面积大在哪儿？生：我是长不变，宽拉大了。增加的面积也是一个长方 形。

生：我是把长方形的长和宽都变长。增加的面积可以看 作是两个长方形。

生：我也是把长和宽变长，长方形面积变大了，变大的 部分可以看作是4个长方形。

借助彩色皮筋在钉子板上的简易操作，面积从“不变” 走向“变化”。结合课件的直观展示，抓住“面积增加在哪 里”，让学生认识到“一个维度变化另一个维度不变（长变 宽不变）、两个维度变化，增加的都是能确定二维的面”， 使学生清楚地认识到面积变化的二维特性。

要让学生认识到周长和面积都是度量的结果，它们之间 有联系又有区别，要让学生对面的二维性形成深刻的认知， 认识到面积是二维度量的结果，就必须充分去了解学生的学 习起点，寻找到学生出现概念混淆的根本原因，从而帮助学 生从“一维周长和二维面积都是面的一部分”的认知误区中 走出来，引导学生从一维走向二维。参考文献：
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