图形与几何思维导图_抓住学生资源让思维自然流淌图形的放大与缩小》教学设计与思考

抓住学生资源让思维自然流淌图形的放大与缩小》教学设计与思考

一、凿渠引水：挖掘生成资源，支撑数学表达 每个学生都是不同的、鲜活的个体，面对问题时体现出 来的心理特征不同，思维方式不同，思考深度和广度不同， 从而解决策略也不相同。这些差异正是教师可以挖掘的生成 性资源，也是教师可以选择和利用的鲜活素材。

《图形的放大与缩小》一课中，理解“图形放大”的数 学含义仅靠一个例子是不够的，教师可以尝试让学生根据自 己的理解来举例，再引导学生进行比较、归类和提炼，初步获得对“图形放大”的数学含义的感悟和理解—— 师（在方格图中出示一个长方形，如图1）这是一个长3、 宽2的长方形，你能在方格纸上将它放大，画一个更大的长 方形吗？ （学生先自由画图，再利用交互式电子白板展示、交 流。） 师谁来说一说你画出的是什么样的长方形？长和宽各 是多少？ 生我画的长方形长是4，宽是2。

生我画了一个长是5、宽是3的长方形。

生我画的长方形长是6，宽是4。

师（根据学生的回答，在电子白板上相机画出各个长方 形）假如原来的这个长方形是一张照片，把它拿到照相馆去 放大，你觉得会按照哪种尺寸来放大？为什么？ 生可以放大成长是6、宽是4的长方形，因为这样不变形。

师其他两种会变形吗？为什么呢？ 生长是4、宽是2的长方形会变形，因为它只把长拉长了， 宽没变。

生长是5、宽是3的长方形也会变形，因为它虽然把长和 宽都拉长了，但不是按比例拉长的。

师为什么长是6、宽是4就不变形呢？ 生因为长扩大了2倍，宽也扩大了2倍。

师如果再让你画一个把原来长方形放大后不变形的长方形，你会怎么画？ 生把长和宽都扩大3倍，即长是9，宽是6。

生把长和宽都乘1.5，即长是4.5，宽是3。

师（根据学生的回答，在电子白板上相机画出各个长方 形）请用一句话来概括：怎么画原来的长方形不变形？ 生把原来长方形的长和宽同时乘一个相同的数，就不会 变形了。

师为什么会这样呢？对比一下屏幕中不变形的几个长 方形，你有什么发现？ 生这几个长方形长和宽的比都是3∶2。

师变中有不变：尽管各个长方形的长和宽不同，但是各 个长方形的长宽比相同。这才是我们数学意义上的图形放大。

…… 数学意义上的图形放大与缩小，不同于生活中的放大与 缩小：生活中往往把图形由小变大视作放大，由大变小视作 缩小；
数学里图形的放大与缩小是指图形每条边的长度都按 照相同的比变化，即图形所有边的长度都放大到原来的几倍 或缩小到原来的几分之一。学习图形放大与缩小的含义时， 学生的生活经验自然会被激活、提取。虽然这会对新概念的 获得造成一定的干扰，但是只要教师善加利用，就可以使原 本的“负迁移”发挥出“正能量”。

上述教学中，教师先让学生画一个放大后的长方形，然 后在学生现场生成的丰富例子中挑选可用的，从“不变形”入手引导学生发现图形中的“变与不变”。丰富的例子有利 于学生将正例与反例作对比，在正例之间作类比，也给了学 生交流的素材，支撑了学生的数学表达，从而让学生对“图 形放大”的数学内涵与外延有一个较清晰的认识。

二、借水行舟：利用经验资源，追寻概念本质 学生在学习新知识之前，总会带着相关的“已知”和“已 有”。教师要尊重学生的这些“已知”和“已有”，也要因 势利导，帮助学生以“已知”和“已有”为起点，去探寻“未 知”和“未有”。

《图形的放大与缩小》一课中，“图形放大”的定量关 系与学生的已有经验容易产生矛盾冲突，教师可以把这样的 认知困难当成认识提升的教学机遇，由此创造更自然、更合 理、更有效的教学过程—— 师（出示图2）观察原来的长方形和放大后的长方形， 比一比：它们的长有什么关系？宽呢？ 生放大后，长是原来的2倍，宽也是原来的2倍。

生原来的长与放大后的长的比是1∶2，宽的比也是1∶2。

生如果用放大后的长比原来的长，那就是2∶1；
宽的比 也是2∶1。

生原来的长和宽分别是放大后的12。

生除了长之间和宽之间有关系，我还想到面积是原来的 4倍。

师同学们非常善于观察和思考，从不同的角度说明了这两个长方形的联系：有的从边长的角度来考虑，有的从面积 的角度来考虑；
大家还想到了用“倍”和“比”来描述。（稍 停）如果用一个比来描述放大后的长方形与原来的长方形的 联系，你觉得用哪个合适？ 生1∶2。

师还有不同的想法吗？ 生2∶1。

生4∶1。

生1∶4。

师（相机把4个比写在黑板上）还有不同的想法吗？ （学生摇头。） 师从大家提出的这4个比可以看出，大家主要纠结两个 问题：一个是谁作比的前项、谁作比的后项，另一个是选择 面积比还是对应边长比。先来讨论一下：面积比和对应边长 比，哪个更合适？ （学生发生分歧，各有倾向的答案，但是没人能够提出 让人信服的理由。） 师（出示一个长是8、宽是3的长方形）再看看这个长方 形，有什么新的发现？ 生我想到了：用面积比不合适，因为不论是4∶1还是1 ∶4，都只能表示两个长方形的面积关系，而面积关系一定 的情况下，图形有可能会变形。

（其他学生纷纷表示同意。）师既然大家都觉得用对应边长比来表示更合适，那么究 竟是1∶2还是2∶1呢？ 生我觉得是2∶1，因为原来的长方形只是一个标准，要 让放大后的图形和原来的比，所以应该是2∶1。

师他说的有道理吗？ （其他学生纷纷表示赞同。） 师是的，把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后 的长方形与原来的长方形对应边的比是2∶1，就是把原来的 长方形按2∶1放大。这不仅是出于一种规定，也是因为将放 大后的图形作为比的前项容易凸显图形的变化。

…… 谈及“图形放大”的定量关系时，学生根据已有经验会 认为是把原来的边长扩大为2倍，即按1∶2放大，也会由面 积扩大到原来的4倍，回答“1∶4”；
而数学上的规定是2∶ 1。对于这样的矛盾冲突，有的教师认为，这个知识只是一 种“规定”或“说法”，可以不必讨论，而直接告知学生；

有的教师则认为，可以在让学生亮出自己的想法之后，引导 学生看书自学，以实现观念替代。这样做当然未尝不可，但 是总觉得少了些什么，不够“名正言顺”。

“图形的放大与缩小”是《比例》单元第一课时的教学 内容，《比例》单元之后的教学内容是“比例的意义与基本 性质”。这两个内容分别属于“图形与几何”和“数与代数” 领域，而一个单元涉及两个领域的内容很少出现。教材把这两个内容放在一个单元是因为它们能够互相利用、互相支持。

图形的放大与缩小不只是面积的增加或减少，而且是图形的 形状与结构保持不变，而比例能够准确地揭示图形放大与缩 小的本质特征，帮助学生建立图形放大与缩小的正确概念。

从这个角度去理解为什么用“2∶1”，就顺理成章多了，学 生也不会觉得别扭了。

三、静水深流：突破错误资源，有效沉淀内化 学生在学习新知识时，总会因为认识的不准确、理解的 不到位出现各种错误。学生出现的典型错例是很有价值的教 学资源，一旦得到突破，将会在头脑中产生“化学反应”， 将学生对相关知识的理解推向更深的层次。

《图形的放大与缩小》一课中，经历了上述过程，学生 对“图形放大与缩小”的数学含义应该说达到了理解的层面， 能够结合具体例子进行数学表达，并能够将教材中给出的图 形按照要求进行放大或缩小。但是，当教师出示如图3所示 的平行四边形，让学生在方格纸上画出其按照1∶2的比缩小 后的图形时，全班30位学生中，竟然只有2人画出了正确的 结果，其他学生不约而同地画出了如图4所示的典型错例。

为什么这道题的错误率如此高，错误如此雷同？这是因 为教师在之前的概念教学中，忽略了提供非标准性变式的策 略，干扰了学生对图形放大与缩小本质的辨析，使得正确的 表象掩盖了错误的本质。具体来说，为了方便画图，之前呈 现的例题和习题都是“标准形式”，即相关的对应边与方格线重合，使得学生只要注意对应边长比相等，无须考虑对应 角是否变化，画出的图形就是正确的。但事实上，图形的放 大和缩小的本质特征是形状不变，这不仅包括对应边的长度 成比例，而且包括对应角的大小相等。而教学中，教师没有 进一步拓展对应角变化的例子，学生自然也就忽略了。

因此，这里教师可以把学生画出的两种不同结果一起呈 现出来，让学生通过对比、辨析，找出哪个是错的、错在哪 里，使得学生对“对应边”“对应角”的理解逐渐沉淀内化；

然后，紧扣错例杀一个“回马枪”，再次证明“对应边长比” 比“面积比”更适合表示变化后的图形与原来的图形之间的 关系。