思维风格_浸染数学式思维风格,渗透有效的数学文化

浸染数学式思维风格 渗透有效的数学文化

浸染数学式思维风格 渗透有效的数学文化 《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数学文化 是“贯穿于整个高中数学课程的重要内容之一”，并“要求 渗透在每个模块与专题中”.然而新课程改革至今虽已过去 十余年，但课堂上究竟该如何体现数学的文化价值，众多一 线教师仍深感茫然.有人认为渗透数学文化太浪费时间，影 响升学率.有人认为渗透数学文化无非就是课堂上介绍一些 数学家的生平、言论或数学趣题，它们不过是知识传授之余 供学生消遣、可有可无的一块内容.这些观点让数学文化的 浸染与知识点的传授油水分离.其最终后果是学生学到了数 学的壳却丢了核；
学到了数学的形式却丢了灵魂.那么，在 当下的应试环境下，我们究竟该如何教学，才能既兼顾学生 的眼前利益，又能让学生因数学的学科熏陶而有长远发展的 后劲？笔者认为，揭示数学式思维风格是鱼与熊掌兼得的一 个有效措施. 一、数学式思维风格的意义 哈里森在他的《善用你的思考风格》中给出的思维风格 含义是：“思维风格是人们在观察世界、理解世界及面对问 题、提出问题时的方式，面对问题或抉择时，无论是否出于 自觉，我们使用的一组特定的策略.”[1]斯腾伯格说：“思 维风格是指人们所偏好的思维方式，它不是一种能力，而是一种偏好的表达和使用能力的方式.”[2] 上述论述表明，思维风格是人们在面临问题、解决问题 时偏好的思考策略与行为方式.这种方式表现出如下三个特 点：一是它的独特性；
二是它的一贯性；
三是它的综合性. 因此，思维风格是个人价值观与行为方式的综合体现. 数学家群体看问题偏好共有的一套价值评判标准，我们 可称之为数学式思维风格.具体地说，即是数学共同体特有 的研究问题表现出来的着眼点的选择、共享的一套价值观念 系统、问题转换偏好的方式方法.回溯数学的发明发现历程， 不难窥见数学精神、数学价值取向、数学审美评判这些观念 性成分对数学发展进程的决定性作用.所以，揭示数学大师 们的思维风格，让学生由感悟、默会、赏析到知识背后的思 想动机，是数学教育更高层次的追求.是数学文化教学表达 的一种重要方式.这样的教学，将促使教师不仅关注数学知 识的显性层面，还将知识背后的数学价值判断与审美选择等 数学独有的思维特性加以彰显与揭示.这样学生不仅能学到 “是什么”的知识，还能学到“为什么”“干什么”“怎么 干”的知识，这种教学更能鞭辟入里地揭示数学思考的源头 与本质，学生才能更好地像弗氏所说进行有效的“再创造” 学习，“根之茂者其实遂，膏之沃者其光晔”.深受数学式 风格浸染的学生，走上社会即便忘掉了具体知识细节，相信他们也能自如地用相关的数学思想与适当的行动去应对面 临的种种情况. 二、数学式思维风格的特质 米山国藏谈过数学的七种精神，它们是：应用化精神；

扩张化、一般化精神；
组织化、系统化精神；
思想的经济化 精神；
致力于发明发现的精神；
统一建设的精神；
严密化的 精神.这七种精神活跃于数学家的研究中，表现为对周遭事 物的认识、理解、解释、表述都是数学式思维风格. 例如，陈省身由三角形内角和为180°，转换为外角和 为360°，推广并一般化，在此基础上，陈省身发展出一般 曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式. 又如，欧拉研究哥尼斯堡七桥问题，欧拉把桥、岛分别 抽象成线与点，把七桥问题简化为通过4个点、7条线的“一 笔画”问题.通过对“一笔画”问题的深入研究，寻找到满 足“一笔画”的充要条件，漂亮而彻底解决了“七桥问题”， [3]并由此诞生出数学的一大分支——图论. 再如，哲学家总是在前人工作的基础上，摧毁前人的建 筑，用自己的工作证明别人是错的，写出自己的一页.但数学家不一样，数学家总是用自己的新建筑使前人的工作显得 更加完满、更加巩固，添上自己的一页.[4]比如，从数学的 统一性着眼，早期数学家希望数学的全部对象统一于自然数， 然后希望统一于几何、统一于逻辑、统一于算术.经过这些 试图统一的努力都失败之后，诞生出哥德尔定理.数学家正 是在数学式思维风格──“统一建设的精神”之下探索、失 败、再探索过程中，发现了许多新的分支，通过不断改组、 不断完善自己的理论，从而使数学王国更加生机勃勃，气象 万千. 一叶知秋，见微知著，上述案例让我们看出数学式思维 风格的若干特质. 1.在变化中寻找不变量，在不变的事物中追寻可变量的 思维习性. 2.遇到特殊问题，试图用一般化的思维习性解决.陈省 身正是从不满足于三角形、四边形等多边形内角和随边数变 化的特点出发，把外角和为常数的结论推广到一般曲面，得 到“陈氏类”理论.这种步步深入、由特殊到一般思考问题 的方式，体现的是数学“扩张化的精神”“统一建设的精神” 及“严密化的精神”.3.大胆想象、小心求证的思维习性，丰富的直觉、精巧 的构思的习性.非欧几何的发明发现过程可说明这一点. 4.善于数学化、合理表征的思维习性.欧拉为了解决哥 尼斯堡七桥问题，把岛与道路抽象成点与线，上述“数学化” 过程使人更易集中精力于问题的关键处.同时，七桥问题的 解决过程让我们看到恰当表征的重要性——将七桥问题表 征为“一笔画”问题.七桥问题的解决过程，体现了数学“思 想的经济化精神”，而类比七桥问题设计出周游世界问题体 现的是“致力于发明发现的精神”.[5] 从毕氏试图把数学统一于自然数，到形式主义代表人物 希尔伯特希望把数学统一于算术，体现的是数学式的思维风 格──“统一建设的精神”“严密化的精神”. 人的观念系统中若持有这七种数学精神，他的思维风格 必将是数学式的，外显的行为处事方式也将是数学式的；
这 种人往往在没有数学的地方能看到数学，并总能恰当地运用 数学式思维高效经济地解决问题. 戴维斯指出：“在数学学习中，学生进行数学工作的方 式应当与做研究的数学家类似，这样才能有更多的机会取得 成功.”[6]这段话恰好说明了相比于知识的汲取，让学生感悟、模仿、习得数学式思维风格更具深远意义. 三、浸染数学式思维风格的教学策略 （一）生书熟讲 熟书生温 华罗庚在《高等数学讲义》中说：我讲书喜欢埋下伏笔， 有些重要概念、方法尽可能早地在具体问题中提出，生书熟 讲，熟书生温，似乎在复习，但把新东西讲进去了.揭示数 学式思维风格，我们不妨效仿华老的做法，即对整个中学教 材体系进行梳理，对教材中体现出的数学式思维不厌不倦地 反复揭示.比如每次上概念课前，教师都应该例行思考：本 节概念课，在引入、定义以及进行数学规定时，究竟体现了 数学的哪些特色思维？在概念引入前是否需要介绍相关的 数学价值观念，而把本节内容纳入为上述观点的具体应用？ 学完概念后对学生提点：反思学习过程，在哪些环节能看出 数学人的一贯做法？长久下去，学生对数学式思维风格就能 多一份了然，在后续学习中，只要遇到类似情境，就能自觉 地运用数学式思维，遇新思陈、推陈出新，对知识的学习与 运用就能做到前呼后应、上挂下连.这样的数学学习自然是 自觉、自娱、自得且高效的. 比如我们让学生感悟“思想的经济化精神”的体现── “化归”思想，初中学习二元一次方程、分式方程、无理方程最后都是化归为一元一次方程.那么高中学习一元二次方 程时，学生也将自觉运用“化归”这一思维的望远镜，“看 到”需要通过分解因式化归为一元一次方程.同样，一元高 次方程需要分解因式化归为一元一次方程.后续方程内容的 学习，学生就能知道“怎么干”“干什么”“为什么这么干”， 从而对解方程的思路了然于胸.在学习指数与对数函数初期， 学生对形如y=a f （x），y=loga f（x）的函数单调性、值 域等类问题常感吃力，但只要令f（x）=t，则只需先考虑t 的单调性、t的取值范围，问题就化归为初始的简单函数y=at， y=logat的问题了.在三角函数学习中，学习y=Asin（ω+φ） 的图象与性质时，无论是求值域、求单调区间，还是求对称 轴等，只要化归为最基本的函数y=sint（t=ωx+φ）的相关 问题.同样，立几问题多是降维化归为平几问题.“书读百遍， 其义自现”，学生对化归的方式遇之愈丰，知之愈明，迁移 愈广. 李白说“但得此中味，勿为醒者传”，不断经历化归 这一化繁为简过程的学生，对化归思维的妙处肯定与李白诗 中的醉汉有得一比，都是身心得到了难以言喻的高峰体验. （二）溯源析流 道术合一 杜威说：“如果学生不能筹划自己解决问题的方法，自 己寻找出路，他就学不到什么，即使他能背出一些正确的答 案，百分之百正确，他还是学不到什么.”弗赖登塔尔一直倡导“做中学”，他的理由是“……数学家从来不按照他们 发现、创造数学的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过 艰苦曲折的思维推理获得的结论，他们常常以‘显而易见’ 或是‘容易看出’轻描淡写地一笔带过；
而教科书则做得更 彻底，往往把表达的思维过程与实际创造的进程完全颠倒 ……”[7]因此，要让学生“做中学”有成效，学生就应该 了解一些数学式思维风格，这样当学生自己“做数学”时， 他们才会胸中有章法、目力能预见，才不至于整天被老师牵 着鼻子晕头转向，逐渐地，学习状态就能像贝特拉米所期望 的那样“学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行思考 活动”.这种亲历“做数学”的学习，学生除学到知识，还 能不断感悟、印证数学式思维风格的美妙与奇崛，这是溯源 析流、道术合一的数学教学. 比如教师讲授复数时，把复数概念的引入设计成：“已 知两数的和是10，积是40，求这两数.”让学生面临当初数 学家同样的困窘.这时教师设计先行组织者，即让学生了解 从自然数到正分数、负整数、负分数、有理数、无理数、实 数的发展历程，知晓数学式思维风格，即对数系扩充的规则 要求（因袭数性）.再启发学生，对于前面的每一种数，都 找到了它的几何表征并要研究其运算与性质，那么复数呢， 能否有几何表征方式？复数的运算法则又是什么样的？… …这样既避免了学生无方向的低效摸索，又让其在数学式思维风格引导下，像数学家一样经历知识的“再创造”过程. 让学生体悟到数学研究的一般精神与方法.这种方式的学习 对于学生的意义，正如美国谚语所说：我听到的会忘记，看 到的能记住，唯有做过的才入骨入髓.[7] （三）返身自观 缄默显化 由于教学进度关系，由于自身的怠惰与麻痹，或受师生 知识水平所限，师生容易关注显性知识的传递与学习，而让 个体在学习中的一些缄默感受一滑而过.比如为何集合中元 素要规定三性，为什么要定义直线的方向向量而非法向量， 有了倾斜角为何还要用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度， 数学归纳法为什么有了奠基步与递推步后就可以证明对一 切自然数都成立？如此诸多缄默感受会积压在学生心头.其 实学生缄默困惑点有极大成分是数学式思维风格导致的结 果. 学生懵懂，教师难言.如果师生在教学中能经常驻足停 留片刻，返身自观其思维活动中涉及的思路、方法、观念， 进行显化慢分析，并与同伴交流，一方面能放大定格其中的 数学式思维风格，并有效固化在学生的观念系统中；
另一方 面能帮助学生纠正模糊懵懂观念上的偏差.比如定义直线的 方向向量是为了刻画和确定直线的方向，因为直线的方向相 同指的是直线互相平行，而一条直线的法向量无法确定直线 的方向.两个不共线的法向量可以确定一个平面，而与平面垂直的直线方向是确定的，但用不共线的两个法向量刻画直 线显然不符合数学“思想的经济化精神”.讲过椭圆第二定 义后，教师可以让学生反思一篇小论文：学过椭圆第二定义 后，我们还可研究什么内容，怎么研究？定义需作哪些改 变？由数学的“统一建设的精神”学生知晓，前面既然讨论 了e<1，下面需要讨论e>1，e=1的情况，这些教学内容尽可 以放手让学生自己去探究.由于这些知识是学生自己亲身 “做数学”的体验，他们更易对数学式思维风格在数学应用 中的普适有效有深刻的认同感. 当学生对数学的基本认识是以文化观念为积淀而不是 单纯以知识为唯一目的，就可以获得更长久、更真实的对于 数学的印象……这种长久性只有在数学课程达到文化层面 的时候才有可能达到.[8]只有持续地在教学中濡染数学式 思维风格，学生数学素养的提升才能不期而至，不为而成. 在当前应试环境下，这是让数学课程抵达文化层面的最佳途 径. 参考文献：
[1] 哈里森.善用你的思考风格[M].廖立文，译.台北：
远流出版公司，1985：15.[2] 斯腾伯格.活用你的思考风格[M].薛侚，译.台北：
天下远见出版股份有限公司，1999：28. [3] 姜伯驹.一笔画和邮递线路问题[M]. 北京：中国青 年出版社，1962. [4] 黄晓学，苗正科.从七桥问题看图论的本原思想与 问话内涵[J].数学教育学报，2008（4）. [5] 张景中.数学与哲学 [M].北京：中国少年儿童出版 社，2003：99. [6] DAVIS W J.我们所教的数学就是我们所做的数学吗 [J].数学译林，1997（1）：56-63. [7] 乔爱萍.弗赖登塔尔教育思想在今天的现实意义[J]. 江苏教育与研究（理论版），2014（2）. [8] 张维忠.数学教育中的数学文化 [M].上海：上海教 育出版社，2011.