数学三 [合情估计法在大学数学教学中的应用]

合情估计法在大学数学教学中的应用

合情估计法也借助观察法，观察分为直接观察和间接观察，题前观察（审题）、 题中观察以及题后观察（类似验证）或相互结合综合分析应用。从推理角度分析， 合情估计法属于合情推理方法，不能取代严密的推导，只是给出解决问题的启示， 问题的解决必须采用演绎等严谨的数学推理方法（即论证推理）；
但是合情估计 法抓住了事物的本质、问题的核心，有其解决问题的内在逻辑（合情）。本文主 要通过一些案例，初步探索合情估計法在大学数学教学中的应用。

印象比较深的是，大学高等数学期中测验的一道题，需要利用微分的 近似计算给出 的近似值。有同学给出近似值为0.98，接近1，相差较大。如果事 先根据合情估计法，大致确定 接近 ，其真值在0.5左右，甚至进一步根据单调 性应该小于0.5，那么就知道演算过程肯定出错了。再如，如果计算得出一个人 的步行速度为100公里/小时，那就不符合常理了（除非是超人），可能计算方法 或过程有误。因此，在我们的大学数学教学中，有必要系统引入合情估计法，一 方面可以提高学生的认知能力，降低有些知识点的学习难度（特别是数学分析等 学习曲线较陡的课程）；
同时也能启发学生的学习思维，激发学生的学习兴趣， 加强与学生的互动，达到活跃课堂气氛，提升课堂教学效果。

一、客观题直接采用合情估计法 （一）设 ，则 . 答案为 ，该题的要点是要利用导数的定义求极限（合理）。如果考 虑到两点间函数的变化率问题，终点减起点，很容易（合情）得出答案。在学过 洛必达法则求极限后，根据合情估计法，假设该函数满足洛必达法则的条件，于 是利用该法则立刻得出答案。

该解法不严谨（洛必达法则只是充分条件），如果如上采用倒向洛必 达法则，那也只能属于合情估计法范畴。

（二）设 二阶连续可导，且 ，则 .（A） 是极小值 （B） 是极大值 （C） 是拐点 （D） 不是极值， 也不是拐点 该题应选择（C）。分析：最简单的合情估计法见前述，这里我们再 考虑采用倒向洛必达法则（属合情估计法）。事实上，由题意立刻得到：
为函 数的一个驻点，且由保号性定理得到在 的邻域内函数单调递增无极值；
再由倒 向洛必达法则得到 ，因此 是函数的一个拐点。该题正确解法（合理）如下：由 洛必达法则得到 ，于是 2 、设 二阶连续可导，且 ，则 . （A） 是极小值 （B） 是极大值 （C） 是拐点 （D） 不是极值， 也不是拐点 三、正项级数的比较审敛法 我们先给出正项级数比较审敛法的比较基准（Benchmark）级数（或 称参照物）之一， -级数的敛散性。

（一）判别级数 的敛散性. 分析：考虑到 ，因此采用合情估计法，该级数应与 在1到2之间的 - 级数同态（同敛散），因此简单起见，取参照基准级数为 =3/2的 -级数比较， 结果原级数收敛。

（二）设非负函数 的某一邻域内二阶连续可导，且 ，试证明：级数 收敛. （至此，采用合情估计法分析：
，于是我们通过合情估计法找到了 参照基准级数为 ） 因为 ， 所以两级数同态，或者（相对基准级数）原级数低态，因此级数 收 敛.四、广义积分的比较判别法 （一）瑕积分 与基准积分的 -积分 同态，严格的推导采用比较判别 法。

（二）计算I= . 解：I= + = - （分析：如果上述瑕积分收敛，则I=0.一般地，判别瑕积分 的敛散 性时，如果 不能利用合情估计直接法直接得到 ，那么可通过合情估计间接法来 定 。但是该法往往比较复杂，因为基准积分 -积分的定 法，需采用比较判别法 通过洛必达法则，事后来定 以及考虑三态等。特别地，如果假设需判别的积分 收敛，最简单的方法可事先选取 =1/2；
如果假定发散，最简单的方法可选取 为 1或3/2或2。本题依据合情估计法直接得到，应选取 为1/2。） 考虑 ，得到 （更）收敛（低态）， 因此，I=0. 合情估计法，作为启发式教学法，学生比较容易理解容易接受。我们 知道，数学名词分为专业术语（formal）和口语（informal），如收敛、发散以及 可导等就是专业术语，而有无极限、极限存在与否甚至广义存在与否以及有无导 数等都是口语化的数学术语。作为专业术语的“合情估计法”，在教学实践中，可 采用口语化的数学术语“毛估估法”（“姓毛名估估”）代替；
对学习大学数学的学 生，特别是作为通识基础课的高等数学学习的大一学生而言，相对容易理解和接 受。近几年，我们也把合情估计法（毛估估法）具体运用到了教学实践中，效果 相当不错。

“最重要的知识是关于方法的知识”。通过前述一些案例，我们初步探 索了合情估计法在大学数学教学中的应用，还有许多类似的教学案例，需要我们 不断发现总结以及丰富提炼。同时建议在我们的大学数学教学中，系统引入合情 估计法（毛估估法），一方面可以提高学生的认知能力，降低有些知识点的学习 难度（特别是数学分析等学习曲线较陡的课程）；
另一方面，也能进一步启发学 生的学习思维，激发学生的学习兴趣，加强与学生的互动，活跃课堂氛围，提升 课堂教学效果，而且丰富我们的教学内容，拓展我们的教学方法论，从而能够不 断提高我们的大学数学教学质量。