注重反思 经历过程的教学管理策略
注重反思 经历过程的教学管理策略 习题教学是数学教学过程中不可缺少的环节，是向学 生展示应用基础知识解决问题的窗口，是向学生渗透数学思 想方法，传播解题技巧技能的途径. 因此我们要关注习题教 学过程的设计，俯视问题——用活问题，仰视学生——以生 为本，激励学生养成善于研究、善于思考的习惯，培养学生 学会以整体、联系、动态的观点进行思考，通过师生的共同 探究归纳出解题的通法，使隐性、零碎的解题经验显性化、 系统化，追求解题教学的效益最大化. 一、一道习题的教学片段 题目：如图1，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同 侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4， AO=6■，那么AC的长等于 . 1.反思题意忆关联：让学生获得合理的“经历” 生1：Rt△ABC想到勾股定理，正方形BCEF的中心为O， 想到正方形的对角线相等且互相垂直平分，可得到△BOC为 等腰直角三角形. 生2：已知AB，AO的长度求AC的长度，我会尝试利用勾 股定理加以计算，但是由于Rt△ABC中仅确定AB一边，BC边 不确定导致了正方形BCEF的不确定、O点的不确定、△BOC的 不确定，所以我考虑设未知数解方程组来试试. 师：根据已有信息，不妨试一试. 生3：设AC=x，则BC=■，OB=OC=■，虽然可用含x的代数式表示相关的线段，但是很难与已知AO= 6■之间建立关系. 生4：如图2，以O为原点，OC，OB分别为x，y轴建立直 角坐标系，利用两点间距离公式可将AO，AB，AC，BC表示出 来，设C（a，0），B（0，a），A（x，y），则x2+y2=72， x2+（y-a）2=16，（x-a）2+y2=2a2-16， 得y=■；
x=■. ∴（■）2+（■）2=72，化简整理得 a4-176a2+5440=0，解得a2=136（a2=40不合题意，舍去）. ∴ AC=■=16. 解题时需要从辨认出某个已给的因素开始，逐一回忆起 一些关联的因素，进而从我们的记忆中把有关的条款提取出 来，并对可能的结果与解题的方法进行直觉的猜测.虽然计 算烦琐，但是运用方程思想的思考有其合理的成分，通过利 用勾股定理计算直角三角形中的线段长度是一种非常重要 的常用策略. 如果直接说这种思路行不通或很难突破或很麻 烦，这对促进学生的系统思考并无多大益处. 2.反思烦琐辟蹊径：让学生获得优化的“经历” 生（众）：计算太烦琐，估计此题应该还有简捷方法. 师：依题意，题设中除了想到常用的勾股定理，是否还 有信息呢？ 生5：由∠BAC=90°，∠BOC=90°，得∠OBA=∠OCA，还 有OB=OC，这里的角相等，边相等，是否有三角形全等呢？ 师：已有一条边和一个角分别相等，那如何添辅助线构造全等三角形呢？ 生6：如图3，在AC上截取CG=AB，连结OG，利用“SAS” 证明△ABO≌△GCO，∴∠AOB=∠GOC，AO=GO；
然后求出∠AOG= ∠BOC=90°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴ AC=AG+CG=16. 生7：如图3，过点O作GO⊥AO交AC于点G，根据同角的余 角相等求出∠AOB=∠GOC，利用“ASA”证明△ABO≌△GCO， ∴CG=AB，AO=GO；
∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12， ∴AC=16. 生9：如图4，过点O作GO⊥AO交BA的延长线于点G，∴∠ BOG=90°+∠BOA=∠AOC，利用“ASA”证明△BOG≌△COA， ∴BG=AC，GO=AO；
∴△AOG是等腰直角三角形，∴AG=12，∴ BG=BA+AG=16，即AC=16. 相比解析法，如此思考，时效大为提高. ∠OBA=∠OCA 与OB=OC的一角一边分别相等的发现，构造全等三角形也许 会柳暗花明，经过尝试验证便是顺水推舟、水到渠成，是解 析法的优化与完善. 因此，如果陷入“烦琐”的境地，不要 一味硬闯，要学会回旋或回头. 3.反思过程求创新：让学生获得
感悟的“经历” 师：在上述构造全等三角形的方法中，不论截长还是补 短，△AOG是等腰直角三角形，那你对这一结论有什么要说 的吗？ 生10：题设所得的信息中△BOC为等腰直角三角形，可联系∠OAC与∠OBC的相等关系. 师：不构造全等三角形能找到∠OAC与∠OBC的相等关系 吗？ 生11：由∠BOC=∠BAC=90°得A，O，C，B四点共圆，根 据圆周角定理可得∠OAC=∠OBC=45°. 师：由AO=6■，∠OAC=45°，那你又有什么想法吗？ 生12：如图5，作高线构造等腰直角三角形，过点O作OH ⊥AC，垂足为H，∴AH=OH=6，由△ABG∽△HOG得AG=■，HG= ■.∴BG=■■，OG=■■，BO=2■，BC=4■，∴AC=16. 生13：如图6，过点C作CH⊥AO，垂足为H，△ACH为等腰 直角三角形，由△COH∽△CBA，得■=■=■，∴OH =2■∴ AH=CH=8■，∴AC=16. 生14：如图7，过点O作OH⊥BA，垂足为H，△AOH为等腰 直角三角形，∴AH=OH=6，BH=10，BO=2■，BC=4■，∴AC=16. 生15：如图8，过点B作BH⊥OA，垂足为H，△ABH为等腰 直角三角形，BH=AH=2■，OH=8■，由△BOH∽△BCA，得■= ■=■，∴AC=16. 截长补短构造全等三角形的解法后，反思得出题中隐含 着∠OAC=∠OBA=45°的条件后，十分自然与流畅地想到构造 等腰直角三角形，又是“花开满堂并未圆”的状态. 因此解 题后的反思是解题活动中不可缺少的一环，是提升数学思维 创新能力的“催化剂”，也是强化和丰富学生的
学习经验和 扩大解题效益的有效途径.4.反思思维增智慧：让学生获得提升的“经历” 师：这四种方法是怎么想到的？这些辅助线有什么共同 特点？与前四种方法有什么不同？ 师：做完此题后你有什么收获？ 生17：解题如果停留在对条件和结论的孤立的思考阶段， 很难进一步发现它们之间的内在联系. 生18：解题要善于发现题目中的“蛛丝马迹”，善于根 据切入点进行突破，善于如何寻找作辅助线的切入点. 师：做完此题后你有什么新的想法？ 生19：根据计算的过程与结果可发现AB，AO，AC满足 AC-AB=■AO. 生20：将计算题改为探究题，去掉AB=4，AO= 6■，其他条件不变，请探究AB，AO，AC三者之间的关 系. 生21：如图9，将同侧作正方形BCEF的条件改为异侧作 正方形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？ 生22：如图10，将同侧作正方形BCEF的条件改为同侧作 ∠CBF=60°的菱形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？ 生23：如图11，将同侧作正方形BCEF的条件改为异侧作 ∠BCE=60°的菱形BCEF，AB，AO，AC三者之间又有何关系？ 回顾解法，反思解题的关键，熔炼作辅助线的切入点， 析离AB，AO，AC三者之间的关系，去“形”留“神”的变式， 不仅有助于学生更深刻地认识问题的本质，真正明白它的“心”，而且这些探究形式背后的解题思维也上升到理性层 面，久而久之便形成可持续发展的数学解题技巧和数学解题 能力. 二、从教后的思考中品悟收获 1.解题教学应让学生获得有价值的“经历” 对每个学生来说，不论过程怎么样，每一次“经历”都 是值得拥有，都具有不可替代的价值.为此，数学教师在讲 题目的时候，千万不能直接把答案写在黑板上，让学生看懂 就行了，这样的教学过程只注重知识的强化，没有锻炼学生 的思维和自主解决问题的能力. 解题教学要把“学”的权利 交还给学生，应注重过程反思，凸现体验感悟，让学生亲身 经历数学知识的形成过程，经历丰富而生动的思维
活动过程， 经历实践和创新的过程，为
学生的终身学习和可持续发展打 下基础. 2.解题教学应追求“成果扩大” 3.解题教学应注重反思，提升思维能力 解题显然是一种认知操作，但同时也是一种思维过程， 总是和思维联系在一起的，因此注重解题反思及问题解决的 思维过程对思维品质发展的促进作用是必然的. 荷兰著名数 学家弗赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力， 通过反思才能使现实世界数学化. 可见解题反思在数学教学 中有着相当重要的作用，教师应为学生搭建数学学习的典型 框架，让学生主动地参与深层次的思维活动，形成基本的数学观念，为学生的长远发展踩下一层真实的脚印.
